高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性文

高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性文

第 12 题 函数的周期性与对称性 I．题源探究·黄金母题 【例 1】容易知道，正弦函数 y=sinx 是奇函数，正弦曲线关 于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦 曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形 吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质 解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问 题． 【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为 ( ,0)( )k k z  ，正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性 质知 其对称轴方程纬 ( )2x k k Z    ．对于余弦函数同样 有类似的性质，因为 cosA=sin(A+ 2  ) 所以对称中心为 ( ,0)( )2 k k Z   ，余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数 的性质知 X=Kπ(K 为整数) ．正切函数同样有类似的性质，对 称中心为(kπ/2，0)(K 为整数)但不是轴对称图形，而是中心 对称图形． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修四第 46 页 A 组第 11 题 【母题评析】本题以正弦函数是奇函数 为依据，让你去探索正弦函数有没有对 称中心、对称轴，然后类比正弦函数， 在去探索总结余弦函数、正切函数的对 称性，此题的结论也是高考常考的知识 点． 【思路方法】以旧探新是一种重要的学 习、解题方法，这种类比推理思想是近 几年高考试题常常采用的命题形式． 【例 2】已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期； （2）画出函数 y＝f(x＋1)的图象； （3）你能写出函数 y＝f(x)的解析式吗？ 考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）从图象得知，x 从 0 变 化到 1，函数经历 1 2 个周期，即 12 T  ，故函数的周期 T=2； （2）函数 y=f（x+1）的图象可由函数 y=f（x）的图象向左平 【试题来源】人教版 A 版必修四第 47 页 B 组第 3 题 【母题评析】本题以 y＝f(x)的图象为载 体，考查函数周期的求法、函数图像的 平移及由图定式（根据图像求解析式） 问题，此类问题是高考常考的题型之一． 【思路方法】数形结合思想是高中数学 中常用的解题思想之一，特别是在解决 函数问题中起着举足轻重中的作用，因 此，通常说“解决函数问题，数形结合 移 1 个单位得到，因为函数 y=f（x）的图象过点（0，0）、点 （1，1）所以 y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1）， 再根据函数为周期函数画出图象： （3）当-1≤x＜0 时，f（x）=-x， 当 0≤x＜1 时，f（x）=x； 当 2n-1≤x＜2n 时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x， 当 2n≤x＜2n+1 时，f（x）=f（x-2n）=x-2n， ∴ 2 ,2 1 2( ) 2 ,2 2 1 n x n x nf x x n n x n          （n 为整数） 点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式， 属于基础题． 你准备好了吗？”． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 I 卷】已知函数 ( ) ln ln(2 )f x x x   ，则 （ ） A． ( )f x 在（0，2）单调递增 B． ( )f x 在（0，2）单调递减 C．y= ( )f x 的图像关于直线 x=1 对称 D．y= ( )f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】由题意知， (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x     ，所以 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称，C 正确，D 错误；又 1 1 2(1 )'( ) 2 (2 ) xf x x x x x     （ 0 2x  ），在 (0,1) 上单调递 增，在[1,2) 上单调递减，A，B 错误，故选 C． 【例 2】【2017 高考山东卷】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 【命题意图】本类题通常主要考查函数 的概念、函数的奇偶性与周期性，是高 考常考知识内容．本题具备一定难度．解 答此类问题，关键在于利用分段函数的 概念，发现周期函数特征，进行函数值 的转化．本题能较好的考查考生分析问 题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题包括确定函数周 期性、对称性、利用周期性求解析式或 函数值、利用对称性进行图像变换，都 是高考的热点及重点．常与函数的图象 及其他性质交汇命题．题型多以选择题、 填空题形式出现，函数的周期性、对称 性常与函数的其他性质，如与单调性、 奇偶性相结合求函数值或参数的取值范 围．备考时应加强对这部分内容的训练． 【难点中心】对于函数性质的考查，一般 不会单纯地考查某一个性质，而是对奇 偶性、周期性、单调性的综合考查，主 且 f(x+4)=f(x-2)．若当 [ 3,0]x  时， ( ) 6 xf x  ，则 f(919)= ． 【答案】 6 【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知，  f x 是周期函数，且 6T  ， 所以 (919) (6 653 1) (1)f f f    ( 1) 6f   ． 【例 3】【2017 江苏高考 14】设 ( )f x 是定义在 R 且周期为 1 的 函数，在区间[0,1) 上， 2 , ,( ) , , x x Df x x x D     其中集合 1, *nD x x nn      N ，则方程 ( ) lg 0f x x  的解的个数是 ▲ ． 【答案】8 【解析】解法一：由于      0 ,1 , lg 0 ,1 ,f x x   则需考 虑1 10x  的情况，在此范围内， x Q 时，设 *, , , 2qx p q pp   N ，且 ,p q 互质．若 lg x Q ，则由 lg (0,1)x ，可设 *lg , , , 2nx m n mm   N ，且 ,m n 互 质．因此10 n m q p  ，则10 ( )n mq p  ，此时左边为整数，右 边非整数，矛盾，因此 lg x Q ．因此 lg x 不可能与每个周 期内 x D 对应的部分相等， 只需考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，画出函数图 象，图中交点除 1, 0 外其它交点横坐标均为无理数，属于每 个周期 x D 的部分，且 1x  处  1 1lg 1ln10 ln10x x     ， 则在 1x  附近仅有一个交点，一次方程解的个数为 8． 要考查学生的综合能力、创新能力、数 形结合的能力．这就要求学生对函数的 奇偶性、周期性、单调性三者之间的关 系了如指掌，并能灵活运用． 分段函数的考查方向注重对应性，即 必须明确不同的自变量所对应的函数解 析式是什么．函数周期性质可以将未知 区 间上的自变量转化到已知区间上．解 决此类问题时，要注意区间端点是否取 到及其所对应的函数值，尤其是分段函 数结合点处函数值． 解法二： D 是有理数集，∴自变量 x D ，所对应的函数值都 为有理数，且 x D 在函数 y x 上对应的空心点函数值也为有 理数，令 lgy x 等于这些函数值与空心点函数值所求得 x 在区 间 0 ,1 内皆为无理数，故 lgy x 不能与函数上 1 2 3, , ,2 3 4x  所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案 为 8 个． 【例 4】【2016 年高考山东卷】已知函数 f(x)的定义域为 R．， 当 x<0 时， 3( ) 1f x x  ；当 1 1x   时， ( ) ( )f x f x   ； 当 1 2x  时， 1 1( ) ( )2 2f x f x   ．则 f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】当 1 2x  时， 1 1( ) ( )2 2f x f x   ，所以当 1 2x  时， 函数 ( )f x 是周期为1 的周期函数，所以 (6) (1)f f ，又函数 ( )f x 是奇函数，所以  3(1) ( 1) 1 1 2f f           ，故 选 D． 【例 5】【2016 高考新课标 1 卷】已知 ( ) sin( )f x x+  ( 0 ),2 4x     ， 为 ( )f x 的零点， 4x  为 ( )y f x 图像的对称轴，且 ( )f x 在 5( )18 36  ， 单调，则 的最大值为( ) （A）11 （B）9 （C） 7 （D）5 【答案】B 【解析】因为 4x   为 ( )f x 的零点， 4x  为 ( )f x 图像的 对称轴，所以 ( )4 4 4 T kT     ，即 4 1 2 4 k T   4 1 2 4 k     ，所以 4 1( *)k k N    ，又因为 ( )f x 在 5,18 36       单调，所以 5 2 36 18 12 2 2 T        ，即 12  ， 由此 的最大值为 9．故选 B． 【例 6】【2016 高考浙江卷】设函数 2( ) sinf x x  sinb x c ，则 ( )f x 的最小正周期（ ） A．与 b 有关，且与 c 有关 B．与 b 有关，但与 c 无关 C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关 【答案】B 【解析】 2 1 cos2( ) sin sin 2     xf x x b x c cos2 1sin sin2 2      xb x c b x c ，其中当 0b 时， cos2 1( ) 2 2    xf x c ，此时周期是 ；当 0b 时，周期 为 2 ，而 c 不影响周期．故选 B． 【例 7】【2016 高考江苏卷】设 ( )f x 是定义在 R 上且周 期为 2 的函数，在区间[ 1,1) 上， , 1 0, ( ) 2 ,0 1,5 x a x f x x x          ( aR)，若 5 9( ) ( )2 2f f  ，则 (5 )f a 的值是 ． 【答案】 2 5  【解析】 5 1 9 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2f f f f a         1 2 3 2 5 5a   ，因此 2(5 ) (3) (1) ( 1) 5f a f f f      III．理论基础·解题原理 考点一 函数的周期性 1．周期性：对任意的 x D ，都有 ( ) ( )f x T f x  ，则T 叫做函数 ( )f x 的周期． ①若 ( ) ( )f x a f x  ，周期T a ； ②若 ( ) ( )f x a f x   （相反），周期 2T a ； ③若 )( 1)( xfaxf  ( 0a )（互倒），周期 2T a ； ④若 1( ) ( )f x a f x    ( 0a )（反倒），周期 2T a ； ⑤若 ( ) ( )f x a f x a   ，周期 2T a ； ⑥若 ( ) ( ) ( )f x f x a f x a    ，周期 6T a ． 考点二 函数的称性 1．一个函数的对称关系：若函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x   ，则 ( )y f x 关于直线 x a 对称， 若函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f b x   ，则 ( )y f x 关于直线 2 a bx  对称． 2．两个函数的对称关系： 函数 )( xafy  与函数 )( xbfy  的图像关于直线 2 abx  对称；（巧记：相等求 x ） 函数 )( xafy  与函数 )( xbfy  的图像关于点 )0,2( ab  对称；（巧记：相等求 x ） 考点三 周期与对称的关系： 1．若 )(xf 的图像有两条对称轴 ax  和 bx  ( ba  )，则 )(xf 为周期函数， ||2 ab  为一个周 期．（告知周期T 和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴．） 2．若 )(xf 的图像有两个对称中心 )0,(a 和 )0,(b ( ba  )，则 )(xf 为周期函数， ||2 ab  为一个 周期．（告知周期T 和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心．） 3．若 )(xf 的图像有一条对称轴 ax  和一个对称中心 )0,(b ( ba  )，则 )(xf 为周期函数， ||4 ab  为一个周期． 考点四、如何计算一般形式的周期和对称： 若 )()( bxfaxf  ( ba  )，则 | ( ) | | |T a b a b     ；（巧记：消去 x ） 若 )()( xbfxaf  ，则 )(xf 的图像关于直线 2 bax  对称；（巧记：消去 x ，相加除 2） 若 )()( xbfxaf  ，则 )(xf 的图像关于点 )0,2( ba  对称；（巧记：消去 x ，相加除 2） 若 cxbfxaf  )()( ，则 )(xf 的图像关于点 )2,2( cba  对称．（巧记：消去 x ，相加除 2，除 2） IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换， 都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函 数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备 考时应加强对这部分内容的训练． 【技能方法】 解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进 行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法．函数对称性、周期性的考察，往往以三 角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先 对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数 解析式化为单一函数． 【易错指导】 （1）如果对于函数 ( )f x 定义域中的任意 x ，满足 ( ) ( )f x a f x b   ，则得函数 ( )f x 的周期是 || baT  ； （2）如果对于函数 ( )f x 定义域中的任意 x ，满足 ( ) ( )f x a f x b    ，则得函数 ( )f x 的对称轴 是 2 bax  ． V．举一反三·触类旁通 考向 1 函数周期性 【例 1】【2018 届江苏常州横林高级中学月考】定义在 R 上的函数  f x 满足:    2 1f x f x   ，当  2,0x  时，    2log 3f x x   ，则  2017f =________． 【答案】 1 2 【例 2】设定义在 R 上的函数  f x 满足    2 2012f x f x   ，若  1 2f  ，则  99 ________f  ． 【答案】1006 【例 3】设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1]上， 1, 1 0 ( )= 2 ,0 11 ax x f x bx xx         其中 a，b∈R．若 1 3f( )=f( )2 2 ，则 a＋3b 的值为________． 【正解】因为 f(x)的周期为 2，所以 3 3 1f( )=f( -2)=f(- )2 2 2 ，即 1 1f( )=f(- )2 2 ．又因为 21 1 1 42f(- )=- a+1,f( )= 12 2 2 312 b b   ，所以 1 4a+1= ,2 3 b  ．整理，得 2a=- (b+1)3 ．① 又因为 f(－1)＝f（1），所以 2-a+1= 2 b  ，即 b＝－2a． ② 将②代入①，得 a＝2，b＝－4．所以 a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10． 【跟踪练习】 1．x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)＝x－[x]在 R 上为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 【答案】D 【解析】由图象可知选 D． 2．设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则 f(－1)＝__________． 【答案】－1 【解析】因为 T＝2，则 f(x)＝f(x＋2)，又 f(－1)＝f(－1＋2)＝f（1），因为 x∈[1，3)时，f(x)＝x－ 2，所以 f(－1)＝f（1）＝1－2＝－1． 3．设 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)x  时， 24 2, 1 0,( ) , 0 1, x xf x x x         ，则 3( )2f  ． 【答案】1 【解析】 3 1 1( ) ( ) 4 2 12 2 4f f       ． 考向 2 周期性与奇偶性相结合 【例 4】已知 ( )f x 是 R 上的奇函数，对 x R 都有 ( 4) ( ) (2)f x f x f   成立，若 ( 1) 2f    ，则 (2013)f 等于（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013 【答案】A 【例5】【2016 年高考四川卷】已知函数 ( )f x 是定义在R 上的周期为2 的奇函数，当 0＜x＜1 时， ( ) 4xf x  ， 则  5 12f f     = ． 【答案】 2 【解析】因为函数 ( )f x 是定义在 R 上周期为2的奇函数，所以 ( 1) (1), ( 1) ( 1 2) (1)f f f f f        ， (1) (1)f f  ，即 (1) 0f  ， 1 25 1 1 1( ) ( 2) ( ) ( ) 4 22 2 2 2f f f f            5( ) (1) 22f f     ． 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 5( )2f  和 (1)f ，利用奇 偶性与周期性化为 (0,1) 上的函数值即可． 【跟踪练习】 已知定义在 R 上的奇函数，  f x 满足    2f x f x  ，则  8f 的值为__________． 【答案】0 【解析】∵  f x 是定义在 R 上的奇函数，∴  0 0f  又  f x 满足    2f x f x  ，∴  f x 的周期为 2，∴    8 0 0f f  ． 考向 2 对称性与单调性相结合 【例 6】【2018 河北衡水模拟】定义在 R 上的函数  f x 对任意  1 2 1 2,x x x x 都有    1 2 1 2 0f x f x x x   ， 且函数  1y f x  的图象关于（1，0）成中心对称，若 ,s t 满足不等式    2 22 2f s s f t t    ， 则当1 4s  时， 2t s s t   的取值范围是（ ） A． 13, 2      B． 13, 2      C． 15, 2      D． 15, 2      【答案】D 【例 7】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间 (0, ) 上单调递增的是 （ ） （A） 1y x  （B） 2 1y x   （C） 2xy  （D） lg | 1|y x  【答案】D． 【解析】对于 A ，函数 1y x  是关于原点对称且在 ( ,0) 和 (0, ) 上单调递减；对于 B ，函数 2 1y x   是关于 y 轴对称且在 (0, ) 上单调递减；对于C ，函数 2xy  无对称性且在 R 上单调递增；对于 D ， 函数 lg | 1|y x  是关于 1x   对称且在 ( 1, )  上单调递增；故选 D ． 【跟踪练习】 1．【2018 海南模拟】已知函数      ,0),10(log ,0,1)2sin()( xaax xxxf a 且  的图像上关于 y 轴对称的点至少有3 对，则实数 a 的取值范围是（ ） A． )5 5,0( B． )1,5 5( C． )1,3 3( D． )3 3,0( 【答案】A 2．已知定义在 R 上的函数  f x 满足条件；①对任意的 x R ，都有    4f x f x  ；②对任意的      1 2 1 2 1 2, 0,2x x x x x f x  且 ，都有f ；③函数  2f x  的图象关于 y 轴对称．则下列结论正确 的是( ) A．      7 6.5 4.5f f f  B．      7 4.5 6.5f f f  C．      4.5 6.5 7f f f  D．      4.5 7 6.5f f f  【答案】D 【解析】函数  2f x  的图象关于 y 轴对称，得  2+ (2 )f x f x  ，又    4f x f x  ， 所以    4.5 0.5f f ，          7 3 2 1 2 1 1f f f f f      ，          6.5 2.5 2 0.5 2 0.5 1.5f f f f f      ，由题意， ( )f x 在 0,2 上是增函数，所以 )5.6()7()5.4( fff  ．故选 D 3．已知  f x 是定义 R 在上的偶函数，且    1f x f x   ，若  f x 在 1,0 上单调递减，则  f x 在 1,3 上是 ( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】D 考向 3 周期性与命题的判断相结合 【例 8】【2016 高考上海卷】设 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均为增函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 中至少有一个增函数；②若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均是以T 为周期的函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 均是以T 为周期的函数，下 列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】①不成立，可举反例 2 , 1) 1( 3, xxf x x x        ， 0 3, 0 2 3, 2 1 ( ) 1 , x x x x x x g x          ， 0( 0) 2 , ,xh x x xx       ② ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x T g x T     ( ) ( ) ( ) ( )f x h x f x T h x T     ( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x T h x T     前两式作差，可得 ( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x T h x T     ，结合第三式，可得 ( ) ( )g x g x T  ， ( ) ( )h x h x T  也有 ( ) ( )f x f x T  ，∴②正确，故选 D． 【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难 度．解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等． 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【跟踪练习】 1．【2018 河北邯郸模拟】已知 ( )f x 为定义在 R 上的偶函数，当 0x  时，有 ( 1) ( )f x f x   ，且当  0,1x 时， 2( ) log ( 1)f x x  ，给出下列命题：① (2014) ( 2015) 0f f   ；②函数 ( )f x 在定义域 上是周期为 2 的函数；③直线 y x 与函数 ( )f x 的图象有 2 个交点；④函数 ( )f x 的值域为 ( 1,1) ．其 中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．① ④ D．①②③④ 【答案】C 【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键． 2．已知实数 0, 0a b  ，对于定义在 R 上的函数 )(xf ，有下述命题： ①“ )(xf 是奇函数”的充要条件是“函数 ( )f x a 的图像关于点 ( ,0)A a 对称”； ②“ )(xf 是偶函数”的充要条件是“函数 ( )f x a 的图像关于直线 x a 对称”； ③“ 2a 是 ( )f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的 Rx  ，都有 ( ) ( )f x a f x   ”； ④ “函数 ( )y f x a  与 ( )y f b x  的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a b ” 其中正确命题的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数 ( )f x 是奇函数的充要条件是函数 ( )f x 的图象关于原点对称，而 ( )f x 的图象关于原点对称与函数 ( )f x a 的图象关于点 ( ,0)A a 对称是等 价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选 A 了，对于③，我们知道函数 ( )f x 满足“对任意 的 Rx  ，都有 ( ) ( )f x a f x   ”时， ( )f x 是周期为 2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如 ( )f x 满足“对任意的 Rx  ，都有 1( ) ( )f x f x a   ”时， ( )f x 也是周期为 2a 的周期函数，③错误，而函数 ( )y f x a  与函数 ( )y f a x  的图象是关于直线 x a 对称，而还是 y 轴，故④错误． 考向 4 奇偶性、周期性与单调性 【例 9】【2018 海南模拟】已知函数 ( )f x 关于直线 2x   对称，且周期为 2，当 [ 3, 2]x   时， 2( ) ( 2)f x x  ，则 5( )2f  （ ） A．0 B． 1 4 C． 1 16 D．1 【答案】B 【解析】由题意可得 25 1 3 5 5 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)2 2 2 2 2 4f f f f         ，故选 B． 【例 10】【2018 黑龙江大庆模拟】若偶函数 )(xfy  对任意实数 x 都有 )()2( xfxf  ，且在 ]0,2[ 上 为单调递减函数，则（ ） A． )4 11()3 11()2 11( fff  B． )3 11()2 11()4 11( fff  C． )3 11()4 11()2 11( fff  D． )2 11()4 11()3 11( fff  【答案】C 【跟踪练习】 1．【2018 浙江联考】定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 ( 2) ( ) 0f x f x   ，且在[ 1,0] 上单调递增，设 3(log 2)a f ， 1 27 (log 2)b f ， 19( )12c f ，则 a ，b ， c 的大小关系是（ ） A． a b c  B． a c b  C． b c a  D． c b a  【答案】C 【解析】由 ( 2) ( ) 0f x f x   ，得函数的周期为 2；由 ( )f x 为偶函数且在[ 1,0] 上单调递增可得，函 数 ( )f x 在[0,1] 上单调递减．而 3 3 3 11 log 3 log 2 log 3 2     ，所以 3 1(log 2) ( )2f f ；因为 1 27 (log 2)f  27 27( log 2) (log 2)f f  ，而 27 27 10 log 2 log 3 3    ，所以 27 1(log 2) ( )3f f ，因为 19 5( ) (2 )12 12f f  5 5( ) ( )12 12f f   ，而 1 5 1 3 12 2   ，所以 1 5 1( ) ( ) ( )3 12 2f f f  ． 综上 3 1 27 19(log 2) ( ) (log 2)12f f f  ，即b c a  ．故选 C． 2．【2017 安徽亳州二中质检】已知函数的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的  1 2, 4,8x x  ，当 1 2x x 时，都有    1 2 1 2 0f x f x x x   ； ②    4f x f x   ； ③  4y f x  是偶函数； 若  6a f ，  11b f ，  2017c f ，则 , ,a b c 的大小关系正确的是（ ） A． a b c  B．b a c  C． a c b  D． c b a  【答案】B 考向 5 周期性、对称性与单调性 【例 11】【2018 呼伦贝尔模拟】已知函数 ( )f x 满足 )2()2(  xfxf ， ( 2)y f x  关于 y 轴对称， 当 )2,0(x 时， 2 2( ) logf x x ，则下列结论中正确的是（ ） A． (4.5) (7) (6.5)f f f  B． (7) (4.5) (6.5)f f f  C． (7) (6.5) (4.5)f f f  D． (4.5) (6.5) (7)f f f  【答案】A 【解析】∵      2 2 2f x f x y f x    ， 关于 y 轴对称，∴  f x 是以 4 为周期的周期函数，其 图象的对称轴为 2x  ，∵当  0 2x ， 时， 2 2( ) logf x x ，∴  f x 在区间 0 2， 是增函数；∴  4.5f             0.5 7 3 2 1 2 1 1f f f f f f     ， ，      6.5 2.5 2 0.5f f f       2 0.5 1.5f f  ，∵ 0 0.5 1 1.5 2    ，且函数  y f x 在区间[0 ]2， 上是增函数，∴      0.5 1 1.5f f f  ，即      4.5 7 6.5f f f＜ ＜ ，故选：A． 【跟踪练习】 1．【2018 浙江宁波模拟】设函数 )(),( xgxf 的定义域为 R ，且 )(xf 是奇函数， )(xg 是偶函数，设 )1()1()(  xgxfxh ，则下列结论中正确的是（ ） A． )(xh 关于 )0,1( 对称 B． )(xh 关于 )0,1-( 对称 C． )(xh 关于 1x 对称 D． )(xh 关于 1x 对称 【答案】C 2．已知 f(x)是定义在 R 上的函数，对任意 x∈R 都有 f(x＋4)＝f(x)＋2f（2），若函数 f(x－1)的图象关 于直线 x＝1 对称，且 f（1）＝2，则 f(2011)等于( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 【答案】A 【解析】 是偶函数，所以 f（2）＝f(－2)，在 f(x＋4)＝f(x)＋2f（2）中，令 x＝－2 得 f（2）＝f(－2)＋2f（2）， 所以 f（2）＝0，于是 f(x＋4)＝f(x)，即函数 f(x)的周期等于 4，于是 f(2011)＝f(－1)＝f（1）＝2， 故选 A． 3．已知函数  f x 与  g x 的定义域为 R ，有下列 5 个命题： ①若    2 2f x f x   ，则  f x 的图象自身关于直线 y 轴对称； ②  2y f x  与  2y f x  的图象关于直线 2x  对称； ③函数  2y f x  与  2y f x  的图象关于 y 轴对称； ④  f x 为奇函数，且  f x 图象关于直线 1 2x  对称，则  f x 周期为 2； ⑤  f x 为偶函数，  g x 为奇函数，且    1g x f x  ，则  f x 周期为 2． 其中正确命题的序号是____________． 【答案】①②③④ 对于③，设 F(x)=f(x+2)，则 f(2−x)=F(−x)，由于 F(x)与 F(−x)图象关于 y 轴对称， 所以函数 y=f(x+2)与 y=f(2−x)的图象关于 y 轴对称，得③正确； 对于④，因为 f(x)图象关于直线 1 2x  对称，所以 f(−x)=f(1+x)， 结合函数为奇函数，得 f(−x)=−f(x)，故 f(x+1)=−f(x) 由此可得 f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，得 f(x)是周期为 2 的周期函数，故④正确； 对于⑤，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且 g(x)=f(x−1)， 则由于 g(x)+g(−x)=0，得 f(x−1)+f(−x−1)=0， 又因为 f(−x−1)=f(x+1)，所以 f(x−1)+f(x+1)=0， 由此可证出 f(x+4)=f(x)，得 f(x)是周期为 4 的周期函数，故⑤不正确 故答案为：①②③④ 考向 6 三角函数与对称性、周期性相结合 【例 12】【2018 湖北咸宁模拟】若函数 π( ) sin( ) 1( 0, 0)6f x A x A      的最大值为 3，其图像相 邻两条对称轴之间的距离为 π 2 ，则 π( )3f ＝________________； 【答案】3 【解析】∵函数 f（x）的最大值为 3，∴A+1=3，即 A=2；∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 ， 即 1 π 2 2T  ，∴最小正周期 T=π，∴ω=2，∴函数 f（x）的解析式为：y=2sin（2x- π 6 ）+1； π π π( ) 2sin(2 ) 13 3 6f     π2sin 1 32    ． 【例 13】【2017 江苏无锡模拟】将函数  3 cos siny x x x   R 的图像向左平移个  0m m  单位长 度后，所得的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 【答案】 π 6 【解析】 π3 cos sin 2sin( )3y x x x    ，所以向左平移个  0m m  单位长度后变换为 π2sin( )3y x m   ，由题意得 π π ππ( ), 0 π( ),3 2 6m k k m m k k        Z N 因此 m 的最小值 是 π 6 【跟踪练习】 【2015 高考天津卷文】已知函数    sin cos 0f x x x     ，xR ，若函数  f x 在区间 ,  内单调递增，且函数  f x 的图像关于直线 x  对称，则 的值为 ． 解法二：由  f x 在区间  ,  内单调递增可得，当  ,x    时，   cos sinf x x x       π2 cos 04x      恒成立，由 2 2π π π,4 4 4x          ，可得， 2 π π 4 2    且 2 π π 4 2     ， 解得 π0 2   ，又函数  f x 在区间 ,  内单调递增，且函数  f x 的图像关于直线 x  对称， 所以  f  是  f x 的最大值，    2 2 2 2π π πsin cos 2 sin 1 2 π4 4 2f k k                  Z ，由 π0 2   可得， 2 π π π .4 2 2      考向 7 周期性、对称性与函数的零点、方程的根及函数图象的交点 【例 14】【2018 河南豫南九校之间】定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，若 ，则方程 在区间 上所有实根之和为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 又∵ 关于(2，2)中心对称，故方程 f(x)=g(x)在区间[−1，5]上的根就是函数 y=f(x)和 y=g(x) 的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为 ， ， ，其中 和 关于(2，2)中心对称，∴ + =4， =1，故 + =5，故选 C． 【例 15】【2017 湖南浏阳一中 6 月考】已知定义在 上的偶函数 满足： 时， ， 且 ，若方程 恰好有 12 个实数根，则实数 的取值范 围是 （ ） A．(5，6) B．(6，8) C．(7，8) D．(10，12) 【答案】B 【解析】 时， ， ，故 在[0，1]上单调递增，且 ，由 可知函数 是周期为 2 的周期函数，而函数 与 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两 个函数在 有 6 个不同交点，显然 ，结合图象可得 ，即 ，故 ，故选 B． 【例 16】已知周期函数 ( )f x 的定义域为 R ，周期为 2，且当 1 1x   时， 2( ) 1f x x  ．若直线 y x a   与曲线 ( )y f x 恰有 2 个交点，则实数 a 的所有可能取值构成的集合为( ) A． 3{ | 2 4a a k  或 52 , }4k k Z  B． 1{ | 2 4a a k  或 32 , }4k k Z  C．{ | 2 1a a k  或 52 , }4k k Z  D．{ | 2 1a a k  , }k Z 【答案】C 【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加 减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复 出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的 函数图象． 【例 17】【2016 高考新课标 II 卷】已知函数 ( )( )f x xR 满足 ( ) 2 ( )f x f x   ，若函数 1xy x  与 ( )y f x 图像的交点为 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , ),m mx y x y x y 则 1 ( ) m i i i x y    （ ） （A）0 （B） m （C） 2m （D） 4m 【答案】C 【解析】由于     2f x f x   ，不妨设   1f x x  ，与函数 1 11xy x x    的交点为    1,2 , 1,0 ， 故 1 2 1 2 2x x y y    ，故选 C． 【跟踪练习】 1．若 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，且 f（2）＝0，则方程 f(x)＝0 在区间(0，6)内解的个数 至少是( ) A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】B 2．奇函数 f(x)定义在 R 上，且对常数 T＞0，恒有 f(x＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程 f(x)＝0 根的个数至少有 ( ) A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【错解】由 f(x)是 R 上的奇函数，得 f(0)＝0 x1＝0．再由 f(x＋T)＝f(x)得 f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0 x2 ＝T，x3＝2T．即在区间[0，2T]上，方程 f(x)＝0 根的个数最小值为 3 个． 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即 ( ) ( )f x f x   ……① ( ) ( )f x f x T  ……② 解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动． 3．已知 )2()(),1()1(  xfxfxfxf ，方程 0)( xf 在［0，1］内有且只有一个根 2 1x ，则 0)( xf 在区间 2013,0 内根的个数为（ ） A．2011 B．1006 C．2013 D．1007 【答案】C 4．函数  f x 是定义在 R 上的偶函数，且满足    2f x f x  ，当  0,1x 时，   2f x x ，若方 程   0ax a f x   （ 0a  ）恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 ,12      B． 0,2 C． 1,2 D． 1, 【答案】A 【解析】由题意可得周期为T=2，原方程可变形为    1f x a x  ，则为 y=f(x)与 y=a（x+1）（ 0a  ） 曲线交点恰有三个．由图可知斜率 k=a 1 ,12     ，选 A．