2021高考数学一轮复习专练7二次函数与幂函数含解析理新人教版
专练7 二次函数与幂函数
命题范围：二次函数、幂函数的解析式、图象与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．[2020·包头市一中测试]若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(2)为( )
A. B.
C. D．－1
2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是( )
A．a≥8 B．a≤8
C．a≥4 D．a≥－4
5．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(0)
0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
7．[2020·邢台一中测试]已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
8．[2020·唐山摸底]设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
9．[2020·衡水一中测试]已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3
，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
二、填空题
10．已知a∈，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.
11．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)3}
C．{x|12}
14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，则实数a的取值范围是________．
专练7 二次函数与幂函数
1．C ∵幂函数y＝f(x)的图象过点，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(2)＝f(2)＝f＝－1＝，故选C.
2．D 设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得a＝，∴f(x)＝x.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
3．A 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.
4．A 函数图象的对称轴为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.故选A.
5．A 由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝，而抛物线的开口向上，且＝，＝，＝，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A.
6．B 因为f(x)>0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以即令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4，故选B.
7．B 由题意得
∴ac＝1，又a>0，∴c>0.
∴＋≥2＝6.
8．A ∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
9．A 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，
∴f(x)＝x3(x∈R)，
易知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)，故选A.
10．－1
11．f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x (k∈N*)满足f(2)0，∴－10在a∈[－1,1]上恒成立，
只需
⇒⇒x<1或x>3，故选B.
14．B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误．
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立．令g(x)＝－＋＝－22＋，因为∈，所以g(x)max＝g(2)＝，所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可，故实数a的取值范围是.
