【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第20讲函数y=Asin(ωxφ)的图像学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第20讲函数y=Asin(ωxφ)的图像学案

第20讲　函数y=Asin(ωx+φ)的图像 及三角函数模型的简单应用 ‎1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 y=Asin(ωx+φ)‎ ‎(A>0,ω>0),‎ x∈[0,+∞)‎ A T=‎ ‎　　 ‎ f=‎1‎T=‎ ‎　　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎ 　　 ‎ ‎2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:‎ x ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ωx+φ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤 图3-20-1‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 某函数的图像向右平移π‎2‎个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sinx+‎π‎4‎,则原函数的解析式是　　　　　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 函数y=cos‎2x-‎π‎2‎的周期为　　　　,单调递增区间为　　　　　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 已知简谐运动f(x)=2sinπ‎3‎x+φ‎|φ|<‎π‎2‎的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.‎ ‎5.为得到函数y=cos‎2x+‎π‎3‎的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向　　　　平移　　　　个单位长度. ‎ ‎6.设ω>0,若函数f(x)=‎1‎‎2‎sin ωx在区间‎-π‎2‎,‎π‎2‎上单调递增,则ω的取值范围是　　　　. ‎ ‎7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有fπ‎8‎‎+t=fπ‎8‎‎-t,且fπ‎8‎=-3,则实数m=　　　　. ‎ 图3-20-2‎ ‎8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎的部分图像如图3-20-2所示,则φ=　　　　. ‎ 探究点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换 例1 (1)将函数f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎的图像沿x轴向左平移π‎8‎个单位长度后所得图像对应的函数解析式为 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y=cos 2x B.y=-cos 2x C.y=sin‎2x+‎‎3π‎8‎ D.y=sin‎2x-‎π‎8‎ ‎(2)若由函数y=sin‎2x+‎π‎2‎的图像变换得到y=sinx‎2‎+π‎3‎的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin2x+π‎2‎图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x轴 (　　)‎ A.向右平移π‎3‎个单位长度 ‎ B.向右平移‎5π‎12‎个单位长度 C.向左平移π‎3‎个单位长度 ‎ D.向左平移‎5π‎12‎个单位长度 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是‎|φ|‎ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.‎ 变式题 (1)[2018·江西八所重点中学联考] 将函数y=sinx-π‎6‎的图像上所有的点向右平移π‎4‎个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为 (　　)‎ A.y=sin‎2x-‎‎5π‎12‎ B.y=sinx‎2‎‎+‎π‎12‎ C.y=sinx‎2‎‎-‎‎5π‎12‎ D.y=sinx‎2‎‎-‎‎5π‎24‎ ‎(2)为了得到函数y=sin 3x的图像,可以将y=cos 3x的图像 (　　)‎ A.向右平移π‎6‎个单位长度 ‎ B.向左平移π‎6‎个单位长度 C.向右平移π‎2‎个单位长度 ‎ D.向左平移π‎3‎个单位长度 探究点二　函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式 例2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f(x)的图像向右平移π‎4‎个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为 (　　)‎ A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin‎2x+‎π‎8‎ C.g(x)=2sin‎2x+‎π‎4‎ D.g(x)=2sin‎2x-‎π‎4‎ 图3-20-3‎ ‎ (2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则φ=　　　　. ‎ 图3-20-4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:‎ ‎(1)根据最大值或最小值求出A的值.‎ ‎(2)根据周期求出ω的值.‎ ‎(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.‎ 图3-20-5‎ 变式题 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且Aπ‎2‎,1,B(π,-1),则φ的值为　　　　. ‎ 探究点三　函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 例3 [2018·湖北八市联考] 函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎在它的某一个周期内的单调递减区间是‎5π‎12‎‎,‎‎11π‎12‎.将y=f(x)的图像先向左平移π‎4‎个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的‎1‎‎2‎(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x).‎ ‎(1)求g(x)的解析式;‎ ‎(2)求g(x)在区间‎0,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [总结反思] 三角函数图像与性质综合问题的求解思路:(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;(2)把ωx+φ看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sin x的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.‎ 变式题 (1)[2018·益阳调研] 将函数f(x)=cos(2x+θ)‎|θ|<‎π‎2‎的图像向右平移π‎3‎个单位长度后得到函数g(x)的图像,若g(x)的图像关于直线x=π‎4‎对称,则θ= (　　)‎ A.π‎6‎ B.‎π‎12‎ C.-π‎6‎ D.-‎π‎12‎ ‎(2)[2018·葫芦岛二模] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,π‎2‎<φ<π的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是(　　)‎ 图3-20-6‎ A.函数f(x)的周期为π B.函数y=f(x-π)为奇函数 C.函数f(x)在‎-π,‎π‎2‎上单调递增 D.函数f(x)的图像关于点‎3π‎4‎,0对称 探究点四　三角函数模型的简单应用 例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设∠AA1H1=α.‎ 图3-20-7‎ ‎(1)试用α表示△AA1H1的面积;‎ ‎(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时α的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [总结反思] 三角函数模型在实际问题中的应用体现在两个方面:(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的含义及自变量与函数之间的对应法则;(2)把实际问题抽象转化成三角函数模型问题,关键是利用三角函数表示实际问题中的有关量,建立模型.‎ 变式题 某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ‎6‎(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ℃,12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为　　　　℃. ‎ 第20讲　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 考试说明 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.‎ ‎2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.‎2πω　ω‎2π　ωx+φ　φ ‎2.‎-φω　π‎2‎‎-φω　π-φω　‎3π‎2‎‎-φω　‎2π-φω　0　π‎2‎　π　‎3π‎2‎　2π ‎3.|φ|　‎φω 对点演练 ‎1.y=2sin x　[解析] 根据函数图像变换法则可得.‎ ‎2.y=sinx+‎‎3π‎4‎　[解析] 函数y=sinx+‎π‎4‎的图像向左平移π‎2‎个单位长度后得到y=sinx+π‎2‎+‎π‎4‎=sinx+‎‎3π‎4‎的图像,即原函数的解析式为y=sinx+‎3π‎4‎.‎ ‎3.π　‎-π‎4‎+kπ,π‎4‎+kπ(k∈Z)　[解析] y=cos‎2x-‎π‎2‎=sin 2x,所以函数的周期T=‎2π‎2‎=π.由-π‎2‎+2kπ≤2x≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),得-π‎4‎+kπ≤x≤π‎4‎+kπ(k∈Z),故函数的单调递增区间为‎-π‎4‎+kπ,π‎4‎+kπ(k∈Z).‎ ‎4.π‎6‎　[解析] 将点(0,1)代入函数解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=‎1‎‎2‎.∵|φ|<π‎2‎,∴φ=π‎6‎.‎ ‎5.左　‎5π‎12‎　[解析] y=cos‎2x+‎π‎3‎=sinπ‎2‎+‎2x+‎π‎3‎=sin‎2x+‎‎5π‎6‎.‎ 故要得到y=sin‎2x+‎‎5π‎6‎=sin 2x+‎‎5π‎12‎的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移‎5π‎12‎个单位长度.‎ ‎6.(0,1]　[解析] 因为函数f(x)=‎1‎‎2‎sin ωx在区间‎-π‎2‎,‎π‎2‎上单调递增,所以T‎2‎=πω≥π‎2‎+π‎2‎=π,所以ω≤1,又因为ω>0,所以ω∈(0,1].‎ ‎7.-5或-1　[解析] 由fπ‎8‎‎+t=fπ‎8‎‎-t得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=π‎8‎.故当x=π‎8‎时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.‎ ‎8.-π‎6‎　[解析] 由图像可知,T=4×‎7π‎12‎-π‎3‎=π,所以ω=‎2ππ=2.因为fπ‎3‎=sin‎2π‎3‎+φ=1,所以‎2π‎3‎+φ=π‎2‎+2kπ(k∈Z),即φ=-π‎6‎+2kπ(k∈Z),又|φ|<π‎2‎,所以φ=-π‎6‎.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] 根据图像平移“左加右减”的规则以及平移量确定结果.‎ ‎(1)A　(2)A　[解析] (1)由题意知,将f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎的图像向左平移π‎8‎个单位长度后,得到y=sin‎2x+‎π‎8‎+‎π‎4‎=sin‎2x+‎π‎2‎=cos 2x的图像,故选A.‎ ‎(2)把y=sin‎2x+‎π‎2‎图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,得到函数y=sinx‎2‎‎+‎π‎2‎的图像,再把所得图像沿x轴向右平移π‎3‎个单位长度,可以得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎3‎‎+‎π‎2‎=sin‎1‎‎2‎x+‎π‎3‎的图像.故选A. ‎ 变式题　(1)C　(2)A　[解析] (1)将函数y=sinx-‎π‎6‎的图像向右平移π‎4‎个单位长度,得到y=sinx-‎‎5π‎12‎的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx‎2‎‎-‎‎5π‎12‎的图像,故选C.‎ ‎(2)由题意知,y=cos 3x=sin‎3x+‎π‎2‎=sin 3x+‎π‎6‎,将函数y=sin 3x+‎π‎6‎的图像向右平移π‎6‎个单位长度,得到y=sin 3x+π‎6‎-‎π‎6‎=sin 3x的图像,故选A.‎ 例2　[思路点拨] (1)先根据图像确定A,T,ω,θ,再根据平移得函数g(x)的解析式;(2)结合函数的图像首先确定ω的值,然后确定φ的值即可.‎ ‎(1)D　(2)‎9π‎10‎　[解析] (1)由题图得,A=2,T=‎7π‎8‎-‎-‎π‎8‎=π,∴ω=‎2πT=2.‎ ‎∵当x=‎3π‎8‎‎-‎π‎8‎‎2‎=π‎8‎时,y=2,∴2×π‎8‎+θ=π‎2‎+2kπ(k∈Z),∴θ=π‎4‎+2kπ(k∈Z),又∵|θ|<π,∴θ=π‎4‎,∴f(x)=2sin‎2x+‎π‎4‎,‎ ‎∴g(x)=2sin‎2x-‎π‎4‎+‎π‎4‎=2sin‎2x-‎π‎4‎,故选D.‎ ‎(2)由题意可知,函数的最小正周期T=2×‎2π-‎3‎‎4‎π=‎5‎‎2‎π,‎ 则ω=‎2πT=‎2π‎5‎‎2‎π=‎4‎‎5‎.当x=2π时,ωx+φ=‎4‎‎5‎×2π+φ=2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 则φ=2kπ-‎11‎‎10‎π(k∈Z),由于-π≤φ<π,故φ=‎9π‎10‎.‎ 变式题　-‎5π‎6‎　[解析] 根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且Aπ‎2‎,1,B(π,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即‎1‎‎2‎×‎2πω=π-π‎2‎,∴ω=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式,可得2sin2×π‎2‎+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ )=2sin φ=-1,∴sin φ=-‎1‎‎2‎,∴φ=2kπ-π‎6‎或φ=2kπ-‎5π‎6‎,k∈Z.再结合“五点作图法”,可得φ=-‎5π‎6‎.‎ 例3　[思路点拨] (1)根据已知求得ω的值,然后求出φ的值,从而可求出f(x)的解析式,进而得到g(x)的解析式;(2)确定g(x)的单调性,然后求出最值.‎ 解:(1)由题意可知,T‎2‎=‎11π‎12‎-‎5π‎12‎=π‎2‎,∴ω=2,又sin‎2×‎5π‎12‎+φ=1,|φ|<π‎2‎,∴φ=-π‎3‎,‎ ‎∴f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎,‎ ‎∴g(x)=sin‎4x+‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)可知,g(x)在‎0,‎π‎12‎上为增函数,在π‎12‎‎,‎π‎4‎上为减函数,∴g(x)max=gπ‎12‎=1,又∵g(0)=‎1‎‎2‎,gπ‎4‎=-‎1‎‎2‎,∴g(x)min=gπ‎4‎=-‎1‎‎2‎,故函数g(x)在‎0,‎π‎4‎上的最大值和最小值分别为1和-‎1‎‎2‎. ‎ 变式题　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题意知,g(x)=cos2x-‎π‎3‎+θ=cos2x-‎2π‎3‎+θ,令2x-‎2π‎3‎+θ=kπ(k∈Z),则函数g(x)的图像的对称轴为直线x=π‎3‎-θ‎2‎+kπ‎2‎(k∈Z),令π‎3‎-θ‎2‎+kπ‎2‎=π‎4‎(k∈Z),则θ=π‎6‎+kπ(k∈Z),又|θ|<π‎2‎,所以θ=π‎6‎.故选A.‎ ‎(2)观察图像可得,函数的最小值为-2,所以A=2.由图像可知函数过点(0,‎3‎),‎ 所以‎3‎=2sin φ,又因为π‎2‎<φ<π,所以φ=‎2π‎3‎.由图像可知,‎5π‎4‎·ω+‎2π‎3‎=‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,解得ω=‎2‎‎3‎+‎8‎‎5‎k,k∈Z,又T‎2‎=πω>‎5π‎4‎,所以0<ω<‎4‎‎5‎,所以ω=‎2‎‎3‎,则f(x)=2sin‎2‎‎3‎x+‎‎2π‎3‎.显然A选项错误;‎ 对于B,f(x-π)=2sin‎2‎‎3‎(x-π)+‎2π‎3‎=2sin‎2‎‎3‎x,是奇函数,故B选项正确;‎ 对于C,观察图像可知,f(x)在‎-π,‎π‎2‎上不单调,故C选项错误;‎ 对于D,f‎3π‎4‎=2sin‎2‎‎3‎×‎3π‎4‎+‎2π‎3‎=2sin‎7π‎6‎≠0,故D选项错误.‎ 故选B.‎ 例4　[思路点拨] (1)注意到BA1=AA1,AH1=H1H,从而知△AA1H1的周长为4,设AH1=x,从而可求得S‎△AA‎1‎H‎1‎;(2)令t=sin α+cos α,用t表示S‎△AA‎1‎H‎1‎,根据t∈(1,‎2‎]可求得最大值.‎ 解:(1)设AH1=x,由题意知,x+xsinα+xtanα=4,‎ ‎∴x=‎4sinαsinα+cosα+1‎,∴S‎△AA‎1‎H‎1‎=‎1‎‎2‎·x‎2‎tanα=‎8sinαcosα‎(sinα+cosα+1‎‎)‎‎2‎,α∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(2)令t=sin α+cos α,∵α∈‎0,‎π‎2‎,∴t∈(1,‎2‎].‎ 当八角形所覆盖的面积最大时,S‎△AA‎1‎H‎1‎取得最大值.由(1)可知,S‎△AA‎1‎H‎1‎=‎4(t‎2‎-1)‎‎(t+1‎‎)‎‎2‎=4-‎8‎t+1‎,‎ ‎∴当t=‎2‎,即α=π‎4‎时,S‎△AA‎1‎H‎1‎取得最大值,此时八角形所覆盖的面积最大,设为S,则S=16+4×‎4-‎‎8‎‎2‎‎+1‎=64-32‎2‎,∴八角形所覆盖面积的最大值为64-32‎2‎.‎ 变式题　20.5　[解析] 因为当x=6时,y=a+A=28,当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,‎ 所以y=23+5cosπ‎6‎(x-6),所以当x=10时,y=23+5cosπ‎6‎‎×4‎=23-5×‎1‎‎2‎=20.5.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查正切函数的图像,是对例题中正弦、余弦函数图像问题的补充;例2重点考查函数的对称性,对正弦函数图像的对称轴与对称中心加深理解;例3主要考查了三角函数图像与性质的综合应用问题,着重考查了推理与运算能力;例4是实际应用题目,要根据条件转化为数学中的知识.‎ 例1　[配合例2使用] 已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图像如图所示,则fπ‎12‎= (　　)‎ A.3‎ B.‎‎3‎ C.1‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎[解析] A　由题可知,T‎2‎=‎5π‎12‎-π‎6‎=π‎4‎,∴T=π‎2‎,∴ω=πT=2.由图像可知,‎5π‎12‎×2+φ=kπ(k∈Z),得φ=-‎5π‎6‎+kπ(k∈Z),又|φ|<π‎2‎,∴φ=π‎6‎,‎ ‎∴f(x)=Atan‎2x+‎π‎6‎.‎ 又f(0)=Atanπ‎6‎=1,∴A=‎3‎,‎ ‎∴f(x)=‎3‎tan‎2x+‎π‎6‎,‎ ‎∴fπ‎12‎=‎3‎tanπ‎6‎‎+‎π‎6‎=‎3‎tanπ‎3‎=3.故选A.‎ 例2　[配合例3使用] [2018·长沙长郡中学二模] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π‎4‎,将函数y=f(x)的图像向左平移‎3π‎16‎个单位长度后,得到的图像关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图像 (　　)‎ A.关于点‎-π‎16‎,0‎对称 B.关于点π‎16‎‎,0‎对称 C.关于直线x=π‎16‎对称 D.关于直线x=-π‎4‎对称 ‎[解析] B　∵函数y=f(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为π‎4‎,‎ ‎∴函数的周期T=π‎2‎,∴ω=‎2πT=4,∴f(x)=sin(4x+φ).‎ 将函数y=f(x)的图像向左平移‎3π‎16‎个单位长度后, ‎ 得到函数y=sin‎4x+‎‎3π‎16‎+φ的图像,‎ ‎∵所得图像关于y轴对称,‎ ‎∴4×‎3π‎16‎+φ=kπ+π‎2‎,k∈Z,即φ=kπ-π‎4‎,k∈Z,‎ 又|φ|<π‎2‎,∴φ=-π‎4‎,∴f(x)=sin‎4x-‎π‎4‎.‎ 令4x-π‎4‎=kπ,k∈Z,‎ 解得x=kπ‎4‎+π‎16‎,k∈Z,‎ 令k=0,得f(x)的图像关于点π‎16‎‎,0‎对称.故选B.‎ 例3　[配合例3使用] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若x∈‎-‎3π‎8‎,‎π‎4‎,求函数f(x)的值域.‎ 解:(1)由图像可知,T‎2‎=‎3π‎8‎-‎-‎π‎8‎=π‎2‎,∴T=π,∴ω=‎2πT=2.又函数的最大值为2,且A>0,∴A=2.∵f‎-‎π‎8‎=2,∴2×‎-‎π‎8‎+φ=π‎2‎+2kπ,k∈Z,∴φ=‎3π‎4‎+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=‎3π‎4‎,∴f(x)=2sin‎2x+‎‎3π‎4‎.‎ 由-π‎2‎+2kπ≤2x+‎3π‎4‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 得-‎5π‎8‎+kπ≤x≤-π‎8‎+kπ,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为‎-‎5π‎8‎+kπ,-π‎8‎+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)∵x∈‎-‎3π‎8‎,‎π‎4‎,∴2x+‎3π‎4‎∈‎0,‎‎5π‎4‎,‎ ‎∴当2x+‎3π‎4‎=‎5π‎4‎,即x=π‎4‎时,f(x)min=-‎2‎,当2x+‎3π‎4‎=π‎2‎,即x=-π‎8‎时,f(x)max=2, ‎ ‎∴函数f(x)在‎-‎3‎‎8‎π,‎π‎4‎上的值域为[-‎2‎,2].‎ 例4　[配合例4使用] 一根长a cm的线一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cosgat+‎π‎3‎,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为　　　　s. ‎ ‎[答案] ‎‎2πag ‎[解析] ∵小球的位移s与时间t的函数关系式为s=3cosgat+‎π‎3‎,t∈[0,+∞),∴小球摆动的周期T=‎2πga=‎2πag.‎