【数学】2019届一轮复习北师大版分类与整合思想、化归与转化思想学案

【数学】2019届一轮复习北师大版分类与整合思想、化归与转化思想学案

‎【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.‎ ‎【命题热点突破一】分类与整合思想 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. ‎ 方法一、公式、定理分类整合法 公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点 ‎ ‎①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准． ‎ ‎②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．‎ ‎③汇总结论，汇总分类结果，得结论．‎ 例1、设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－1,0)∪(0，＋∞)‎ ‎【特别提醒】‎ 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．‎ ‎【变式探究】Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为(　　)‎ A. B．2 C．－ D．－2‎ ‎【答案】D 方法二　位置关系的分类整合法 对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点 ‎ ‎①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．‎ ‎②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．‎ ‎③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．‎ 例2、在约束条件下，当3≤s≤5时， ＝3x＋2y的最大值的变化范围是(　　)‎ A．[6,15] B．[7,15]‎ C．[6,8] D．[7,8]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可得 由图，可得A(2,0)，‎ B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．‎ ‎①当3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时， ＝3x＋2y在点B处取得最大值，且 max＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤ max<8.‎ ‎②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时 ＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且 max＝8.‎ 综上可知， ＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D. ‎ ‎【特别提醒】　(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．‎ ‎(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一 打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．‎ ‎【变式探究】抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．‎ ‎【答案】4‎ 方法三　含参问题的分类整合法 含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点 ‎ ‎①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．‎ ‎②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．‎ ‎③分类解决问题，对分类出 的各相应问题分别进行求解．‎ ‎④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．‎ 例3、函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(0，＋∞)‎ ‎【答案】B 方法二　由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4，‎ 要使函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，‎ 需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，则f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立，‎ 当x＝0时成立，当x≠0时，由x∈(0,2]，得a≥－，‎ 因为－在(0,2]上的最大值为－1，所以a≥－1.‎ 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故选B.‎ ‎【特别提醒】对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型 (1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a|的定义分a>0，a＝0，a<0三种情况．‎ ‎(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n项和公式，分q＝1和q≠1两种情况．‎ ‎(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．‎ ‎【变式探究】已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P 外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．‎ ‎①若－4t≤－2，即t≥时，‎ 当y＝－2时，|QM|取得最大值，‎ 且|QM|max＝＝，‎ 解得t＝<(舍去)．‎ ‎②若－4t>－2，即0

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