【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第五章第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第五章第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

知识点 考纲下载 平面向量的实际背景及基本概念 ‎ 了解向量的实际背景.‎ ‎ 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.‎ 向量的线性运算 ‎ 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.‎ ‎ 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.‎ ‎ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎ 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎ 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 平面向量的数量积及向量的应用 ‎ 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎ 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎ 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎ 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 第1讲　平面向量的概念及线性运算 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；‎ 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；‎ 当λ<0时，λa与 a的方向相反；‎ 当λ＝0时，λ a＝0‎ λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)‎ ‎(2)零向量与任意向量平行．(　　)‎ ‎(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ ‎(6)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√‎ ‎ 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)‎ A．①　　　　　　　　 B．③‎ C．①③ D．①②‎ 答案：A ‎ (教材习题改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　)‎ A．＝ B．与共线 C．与是相反向量 D．＝||‎ 解析：选D.根据向量的概念可知选D.‎ ‎ 对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．若a＋b＝0，则a＝－b，故a∥b；反之，a∥b a＋b＝0.‎ ‎ (教材习题改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)‎ A．a＋b　　　　　　 B．a－b C．－a－b D．－a＋b 解析：选D.＝＝(b－a)＝－a＋b，故选D.‎ ‎ (教材习题改编)化简：‎ ‎(1)(＋)＋＋＝________．‎ ‎(2)＋＋－＝________．‎ 解析：(1)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.‎ ‎(2)＋＋－＝＋＝0.‎ 答案：(1)　(2)0‎ 平面向量的有关概念 ‎[典例引领]‎ ‎ 给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．‎ ‎③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.‎ ‎【答案】　③‎ 辨析向量有关概念的五个关键点 ‎(1)向量定义的关键是方向和长度．‎ ‎(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．‎ ‎(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．‎ ‎(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．‎ ‎(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．判断下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A．只有④正确．‎ ‎2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则 a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ 平面向量的线性运算(高频考点)‎ 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：‎ ‎(1)向量的线性运算；‎ ‎(2)根据向量线性运算求参数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　向量的线性运算 ‎ (1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A．＝－＋　 B．＝－ C．＝＋ D．＝－ ‎(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　)‎ A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ ‎【解析】　(1)法一：因为＝3，所以＝，‎ 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A．‎ 法二：因为＝3，所以－＝3(－)，‎ 所以＝－＋.故选A．‎ ‎(2)在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝‎ eq o(AC,sup6(→))＋＝＋＝＋，故选B．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B ‎ 角度二　根据向量线性运算求参数 ‎ (1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，‎ 所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.‎ ‎(2)设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ 因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．‎ 所以y∈，‎ 因为＝x＋(1－x)，‎ 所以x＝－y，所以x∈.‎ ‎【答案】　(1)　(2) 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．‎ ‎(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．‎ ‎[注意]‎ ‎　注意应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化运算．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选A．＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A．‎ ‎2.如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若＝x＋，则x＝________(用含有n的代数式表示)．‎ 解析：依题意与图形得＝＝(n∈N且n≥2)，所以＝，所以＝＋＝＋，又因为＝x＋，所以x＝.‎ 答案： 平面向量共线定理的应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2　　　　　　 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ ‎(2)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　(1)因为A、B、C三点共线，所以∥，‎ 设＝m(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.‎ ‎(2)注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝.故选B．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 共线向量定理的3个应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎[注意]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A．因为＝，＝，‎ 所以＝，＝2.‎ 由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，‎ 所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，‎ 由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A．‎ ‎2．已知非零向量e1，e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，‎ 求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．‎ 解：(1)证明：因为＝e1＋e2，‎ ＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，‎ 所以与共线，‎ 且有公共点B，‎ 所以A、B、D三点共线．‎ ‎(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，‎ 所以存在λ，‎ 使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，‎ 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.‎ 由于e1与e2不共线，‎ 只能有 所以k＝±1.‎ ‎ 向量线性运算的三要素 向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．‎ ‎ 向量线性运算的常见结论 ‎(1)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)；‎ ‎(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；‎ ‎(3)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2.‎ ‎(4)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎ 解决向量的概念问题的注意点 ‎(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；‎ ‎(2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性；‎ ‎(3)注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．　　　 ‎ ‎1．如图，向量a－b等于(　　)‎ A．－4e1－2e2　　　　　　　 B．－2e1－4e2‎ C．e1－3e2 D．3e1－e2‎ 解析：选C．由题图可知a－b＝e1－3e2.故选C．‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 解析：选A．依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A．‎ ‎3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.‎ ‎4.如图所示，已知向量＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)‎ A．c＝b－a B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝a－b 解析：选A．由＝2得＋＝2(＋)，即2＝－＋3，所以＝－，即c＝b－a.故选A．‎ ‎5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b　　　　　　　　 B．a－b C．a＋b D．a＋b 解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ ‎6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.‎ 其中正确命题的个数为________．‎ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；‎ ＝＋＝a＋b，故②正确；‎ ＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；‎ 所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．‎ 所以正确命题为②③④.‎ 答案：3‎ ‎7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．‎ 解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.‎ 答案：2 ‎8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．‎ 解析：取AC的中点D，连接OD，则＋＝2，所以＝－，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC与△AOC面积之比为2.‎ 答案：2‎ ‎9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎10．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎ 结论得证．‎ ‎1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝2，则＝(　　)‎ A．b－a B．b－a C．b－a D．b＋a 解析：选C．因为＝－＝＋－，所以＝＋－＝－＋－＝－＝b－a，故选C．‎ ‎2.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A． B． C． D．2‎ 解析：选B．因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以解得λ＋μ＝.故选B．‎ ‎3．(2018·江西吉安模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A．由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎4．已知点P、Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________．‎ 解析：由条件＋＝0知＝－＝，所以点P是边AC的中点，又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是与边BC平行的中位线，所以||＝||，故λ＝.‎ 答案： ‎5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，求实数m的值．‎ 解：由N是OD的中点得＝＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，所以解得故实数m＝.‎