【数学】2020届一轮复习人教B版12-3二项式定理学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版12-3二项式定理学案

‎12.3二项式定理 典例精析 题型一 二项展开式的通项公式及应用 ‎【例1】 已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.‎ ‎(1)求证:展开式中没有常数项;‎ ‎(2)求展开式中所有的有理项. ‎ ‎【解析】由题意得‎2C·=1+C·()2,‎ 即n2-9n+8=0,所以n=8,n=1(舍去).‎ ‎ 所以Tr+1=·()·‎ ‎=(-)r···‎ ‎=(-1)r··(0≤r≤8,r∈Z).‎ ‎(1)若Tr+1是常数项,则=0,即16-3r=0,‎ 因为r∈Z,这不可能,所以展开式中没有常数项.‎ ‎(2)若Tr+1是有理项,当且仅当为整数,‎ 又0≤r≤8,r∈Z,所以 r=0,4,8,‎ 即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5= x,T9= x-2.‎ ‎【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式,是掌握二项式定理的关键.除通项公式外,还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质;‎ ‎(2)应用通项公式求二项展开式的特定项,如求某一项,含x某次幂的项,常数项,有理项,系数最大的项等,一般是应用通项公式根据题意列方程,在求得n或r后,再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系);‎ ‎(3) 注意区分展开式“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”.‎ ‎【变式训练1】若(x+)n的展开式的前3项系数和为129,则这个展开式中是否含有常数项,一次项?如果有,求出该项,如果没有,请说明理由.‎ ‎【解析】由题知C+C·2+C·22=129,‎ 所以n=8,所以通项为Tr+1=C(x)8-r =,‎ 故r=6时,T7=‎26Cx=1 792x,‎ 所以不存在常数项,而存在一次项,为1 792x.‎ 题型二 运用赋值法求值 ‎【例2】(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=29-n,则n=  ;‎ ‎(2)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若‎5a1+‎2a2=0,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=  .‎ ‎ 【解析】(1)易知an=1,令x=0得a0=n,所以a0+a1+…+an=30.‎ 又令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30,‎ 即2n+1-2=30,所以n=4.‎ ‎(2)由二项式定理得,‎ a1=-C=-n,a2=C=,‎ 代入已知得-5n+n(n-1)=0,所以n=6,‎ 令x=-1得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,‎ 即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64.‎ ‎【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征,通过一些特殊值代入构造相应的结构.‎ ‎【变式训练2】设(3x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的值.‎ ‎【解析】令f(x)=(3x-1)8,‎ 因为f(1)=a0+a1+a2+…+a8=28,‎ f(-1)=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=48,‎ 所以a0+a2+a4+a6+a8==27×(1+28).‎ 题型三 二项式定理的综合应用 ‎【例3】求证:4×6n+5n+1-9能被20整除.‎ ‎【解析】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+C5n-2+…+C)+(4n-1+C4n-2+…+C)],是20的倍数,所以4×6n+5n+1-9能被20整除.‎ ‎【点拨】用二项式定理证明整除问题时,首先需注意(a+b)n中,a,b中有一个是除数的倍数;其次展开式有什么规律,余项是什么,必须清楚.‎ ‎【变式训练3】求0.9986的近似值,使误差小于0.001.‎ ‎【解析】0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)1+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6.‎ 因为T3=C(-0.002)2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001,‎ ‎ 且第3项以后的绝对值都小于0.001,‎ 所以从第3项起,以后的项都可以忽略不计.‎ 所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.‎ 总结提高 ‎1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等),解决这些问题通常采用待定系数法,运用通项公式写出待定式,再根据待定项的要求写出n、r满足的条件,求出n和r,再确定所需的项;‎ ‎2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段;‎ ‎3.利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理的变形,使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题,要注意余数的取值范围. ‎
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