2020年河南省驻马店市高考数学模拟试卷(理科)(二) (含答案解析)

2020年河南省驻马店市高考数学模拟试卷(理科)(二) (含答案解析)

2020 年河南省驻马店市高考数学模拟试卷(理科)(二) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设 n a 1 ，则 n 䁪 A. a B. a 쳌 C. 쳌 a D. 쳌 a 쳌 a. 集合 n 䁪 ȁȁȁ a ， n 䁪 쳌 1쳌 0， a ， n 䁪 쳌 1쳌 0，1， ，则 䁪 n 䁪A. 䁪 쳌 1쳌 0，1， B. 䁪 쳌 1쳌 0，1，2， C. 䁪 쳌 a쳌 쳌 1쳌 0，1， D. 䁪 쳌 a쳌 쳌 1쳌 0，1，2， . 已知向量 ， ȁȁ n 1 ，则 ȁ ȁȁ ȁ n 䁪A. a B. C. D. 4. 若双曲线 a 쳌 a n 1 的一条渐近线为 쳌 a n 䳌 ，则实数 n 䁪A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 . 已知某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，如图所示， 则该几何体的体积为 䁪A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 1a . 已知随机变量 X 服从正态分布 䁪쳌 a ，且 䁪 쳌 a a n 䳌.44 ， 䁪 쳌 n 䳌.Ǥa ，若 n 4 ， n 1 ，则 䁪 n 䁪A. 䳌.1Ǥ B. 䳌.1 C. 䳌.a1 D. 䳌.a1Ǥ . 设函数 䁪 n asin䁪 4 䁪 䳌쳌ȁȁ a 的最小正周期为 ，且 䁪 쳌 n 䁪 ，则 䁪A. 䁪 在 䁪䳌쳌 a 单调递减 B. 䁪 在 䁪 4 쳌 4 单调递减 C. 䁪 在 䁪䳌쳌 a 单调递增 D. 䁪 在 䁪 4 쳌 4 单调递增 Ǥ. 函数 䁪 n a lnȁȁ a 的图象大致为 䁪 A. B. C. D. . 已知平面区域 ： 䁪 a 쳌 1䁪 쳌 a 䳌 ȁ 쳌 1ȁ ，则 的面积为 䁪A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 1䳌. 函数 䁪 n 的零点所在的区间为 䁪A. 䁪 쳌 a쳌 쳌 1 B. 䁪 쳌 1쳌䳌 C. 䁪䳌쳌1 D. 䁪1쳌a 11. 已知抛物线 C： a n 4 的焦点为 F，直线 l： n 䁪 쳌 1 与抛物线 C 交于 A、B 两点，若 n ， 则 ȁȁ n 䁪A. 1 B. 4 C. 3 D. 1 1a. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题： 已知 1䳌쳌䳌䳌 且 x 是整数，则满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 的所有 x 的取值的和为 䁪 ． A. 2020 B. 2305 C. 4610 D. 4675 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 二项式 䁪a a 쳌 1 的展开式中的第______项为常数项． 14. 函数 䁪 n 쳌 1 a 的值域为______ ． 1. 已知等比数列 䁪 中， 1 n Ǥ ， 4 n 1 ，记 n 1a ，当 达到最大值时，n 的值为________． 1. 在平行四边形 ABCD 中， n 䳌 ，且 n 1 ， n a ，若将其沿 BD 折起使平面 平面 BCD，则三棱锥 쳌 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 1. 已知 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 ݏa n ݏ ． 䁪1 求 A； 䁪a 求 cos䁪 sin䁪 的最大值． 18. 如图，四棱锥 쳌 中， 底面 ABCD， 䁠䁠 ， n ， n a ， n ，M 为 PC 上一点， 쳌 n a쳌 ． 䁪 Ⅰ 证明： 쳌䁠䁠 平面 PAD； 䁪 Ⅱ 若 n a ， n ，求二面角 쳌 쳌 쳌 的正弦值． 19. 根据空气质量指数 9.䁪 为整数 的不同，可将空气质量分级如下表： 9.䁪 数值 䳌 ～ 䳌 1 ～ 1䳌䳌 1䳌1 ～ 1䳌 11 ～ a䳌䳌 a䳌1 ～ 䳌䳌 䳌䳌空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市 2014 年 11 月 1 日 쳌 11 月 30 日，对空气质量指数 AQI 进行监测，获得数据后得到如下条 形图： 䁪1 市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城 市本月 䁪 按 30 天计 学生可以进行户外跑步活动的概率； 䁪a 在上述 30 个监测数据中任取 2 个， 设 为空气质量类别颜色为绿色的天数，求 的分布列与数学期望． 20. 已知椭圆 C： a a a n 1䁪 的离心率为 1 a ，点 䁪4쳌䳌 ，过右焦点 F 作与 y 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点． 䁪 Ⅰ 求椭圆 C 的方程； 䁪 Ⅱ 求证：以坐标原点 O 为圆心与 PA 相切的圆，必与直线 PB 相切． 21. 已知函数 䁪 n 䁪 쳌 1 ， 䁪 ． 䁪 Ⅰ 讨论 䁪 的单调性； 䁪 Ⅱ 当 䳌 时，证明： ． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 n쳌 1 acos n asin 䁪 其中 为参数 ，以坐标 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 n 1 asin䁪 4 ，设 1 与 C 相交于 A，B 两点，AB 的中点为 M，过点 M 作 1 的垂线 a 交 C 于 P，Q 两点． 䁪1 写出曲线 C 的普通方程与直线 1 的直角坐标方程； 䁪a 求 ȁ9ȁ ȁ쳌ȁȁ쳌9ȁ 的值． 23. 已知函数 䁪 n ȁȁ ȁ 1ȁ ． 䁪 Ⅰ 解关于 x 的不等式 䁪 a ； 䁪 Ⅱ 若 a，b， ，函数 䁪 的最小值为 m，若 n ，求证： 1 ． 【答案与解析】 1.答案：B 解析： 本题考查复数的四则运算，属于基础题 . 根据复数运算法则解答即可， 解：因为 n a 1 ， 所以 n a 1 n a 쳌 故选 B． 2.答案：C 解析： 本题考查集合的综合运算，属于基础题． 先化简 A，再求 ，最后求并集即可． 解：因为 n 䁪 ȁȁȁ a n 䁪 쳌 a쳌 쳌 1쳌 0，1， a ， n 䁪 쳌 1쳌 0， a ， 所以 n 䁪 쳌 a쳌1 ， 又 n 䁪 쳌 1쳌 0，1， ， 所以 䁪 n 䁪 쳌 a쳌 쳌 1쳌䳌쳌1쳌 ． 故选 C． 3.答案：A 解析： 利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查． 解：向量 ， ȁȁ n 1 ， 则 ȁ ȁȁ ȁ n 䁪 ȁȁ a a ȁȁ a n 1 1 n a ． 故选：A． 4.答案：B 解析： 本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 利用双曲线的渐近线方程，转化求解 m 即可． 解：若双曲线 a 쳌 a n 1 的一条渐近线为 쳌 a n 䳌 ， 可得 1 n 1 a ，解得 n 4 ， 故选：B． 5.答案：C 解析： 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据求解几何体的 体积，可得答案． 本题考查的知识点是由三视图，求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分， 쳌 ， 几何体的体积为： 1 1 a 1 1 1 n 1 ． 故选 C． 6.答案：B 解析：解： 随机变量 X 服从正态分布 䁪쳌 a ， 䁪 쳌 a a n 䳌.44 ， 䁪 쳌 n 䳌.Ǥa ， n 4 ， n 1 ， 䁪a n 䳌.44 ， 䁪 n 䳌.Ǥa ， 䁪a 쳌 䁪 n 䳌.44 쳌 䳌.Ǥa n 䳌.a1Ǥ ， 䁪 n 1 a 䳌.a1Ǥ n 䳌.1 ． 故选：B． 根据变量符合正态分布，和所给的 和 的值，根据 原则，得到 䁪a n 䳌.44 ， 䁪 n 䳌.Ǥa ，两个式子相减，根据对称性得到结果． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线 的对称性，本题是一个基础题． 7.答案：A 解析： 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题． 由条件利用正弦函数的周期性求得 的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得 的值，可得 函数的解析式，从而得到它的单调性． 解：函数 䁪 n asin䁪 4 䁪 䳌쳌ȁȁ a 的最小正周期为 ， 则 a n ，求得 n a ，函数 䁪 n asin䁪a 4 .再根据 䁪 쳌 n 䁪 ，可得 䁪 为偶函数， 故 4 n a ， ，即 n 4 ， ， ȁȁ a ， 故取 n 4 ，函数 䁪 n asin䁪a 4 4 n a݋ݏa ． 故 䁪 在 䁪䳌쳌 a 单调递减， 故选：A． 8.答案：B 解析： 分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性 和函数的零点，难度中档． 解：函数 䁪 n a lnȁȁ a 满足 䁪 쳌 n 䁪 ， 即函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除 D； 又 䁪1 n a 䳌 ，故排除 A、C， 故选：B． 9.答案：B 解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 a 쳌 1 n 䳌 쳌 a n 䳌 ，解得 n쳌 1 n 1 ，即 䁪 쳌 1쳌1 ， 当 n쳌 a a 쳌 1 n 䳌 ，解得 n쳌 a n a ，即 䁪 쳌 a쳌 a ， 由 n쳌 a 쳌 a n 䳌 ，解得 n쳌 a n 1 a ，即 䁪 쳌 a쳌 1 a ， 由 n 4 a 쳌 1 n 䳌 ，解得 n 4 n쳌 a ，即 䁪4쳌 쳌 a ， 由 n 4 쳌 a n 䳌 ，解得 n 4 n a ，即 䁪4쳌 a ， 则 的面积为 1 a 䁪 a 쳌 1 a 쳌 1 쳌 䁪 쳌 a n 1 a ， 则 的面积为 1 a a 쳌 䁪 쳌 a 4 쳌 䁪 쳌 1 n a a ， 则阴影部分的面积之和为 1 a a a n 1 ， 故选 B． 作出不等式组对应的平面区域，根据对应的图象即可求出对应的面积． 本题主要考查阴影部分的面积的计算，根据条件作出对应的平面区域是解决本题的关键． 10.答案：B 解析：解：由函数的解析式可得 䁪 쳌 1 n쳌 1 1 n쳌 a 䳌 ， 䁪䳌 n 䳌 1 n 1 䳌 ， 䁪 쳌 1䁪䳌 䳌 ， 根据函数零点的判定定理可得函数 䁪 n 的零点所在的区间为 䁪 쳌 1쳌䳌 ， 故选：B． 由函数的解析式可得 䁪 쳌 1䁪䳌 䳌 ，根据函数零点的判定定理可得函数 䁪 n 的零点所在 的区间． 本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题． 11.答案：A 解析： 本题考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 根据题意，可得抛物线焦点为 䁪1쳌䳌 ，由直线 l 方程为 n 䁪 쳌 1 ，与抛物线方程联解消去 y，得 a a 쳌 䁪a a 4 a n 䳌. 再设 䁪1쳌1 ， 䁪a쳌a ，由根与系数的关系和 ȁȁ n ȁȁ ，建立关于 1 、 a 和 k 的方程组，解之可得 a 值，再根据 ȁȁ n 1 a 即可求出． 解： 抛物线 C 方程为 a n 4 ，可得它的焦点为 䁪1쳌䳌 ， 由 n 䁪 쳌 1 a n 4 消去 y 可得 a a 쳌 䁪a a 4 a n 䳌 ． 设 䁪1쳌1 ， 䁪a쳌a ， 可得 1 a n a 4 a ， 1a n 1 ， 䁪 ‴ n ， 䁪1 쳌 1쳌 쳌 1 n 䁪a 쳌 1쳌a 1 쳌 1 n 䁪a 쳌 1 ， 1 n쳌 a 4 ， 代入 䁪 ‴ 得 쳌 aa 4 n a 4 a ，且 䁪 쳌 a 4a n 1 ， 消去 a 得 a n ， ȁȁ n 1 a n a 4 a n 1 ， 故选：A． 12.答案：B 解析： 【试题解析】 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，属于中档题． 满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 正整数构成首项为 13，公差 n 1 的等差数列，求其通项公式， 由 1䳌쳌䳌䳌 且 x 是整数求得 n 值，再由等差数列的前 n 项和求解． 解：满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 正整数构成首项为 13，公差 n 1 的等差数列，记数列 䁪.则 n 1 1䁪 쳌 1 n 1 쳌 a ， 1䳌쳌䳌䳌 ， 1䳌 1 쳌 a 䳌䳌 ， 解得 1a 1 䳌a 1 ． 故 n 从 11 开始，到 20 结束， 11 n 1 ， a䳌 n aǤ 该数列各项之和为 1䳌䁪11 a䳌 a n 1䳌䁪1 aǤ a n a䳌 ， 故选：B． 13.答案：5 解析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项． 解：二项式 䁪a a 쳌 1 的展开式的通项公式为 1 n 䁪 쳌 1 a 쳌 1䳌쳌 a ， 令 1䳌 쳌 a n 䳌 ，求得 n 4 ， 故展开式中的第 5 项为常数项， 故答案为 5． 14.答案： a쳌 解析：解：由 쳌 1 䳌 ，得 1 ， 又 n 쳌 1 为 1쳌 上的增函数， n a 在 1쳌 上也是增函数， 䁪 n 쳌 1 a 是 1쳌 上的增函数， 则 䁪 n a ， 函数 䁪 n 쳌 1 a 的值域为 a쳌 ． 故答案为： a쳌 ． 由根式内部的代数式大于等于 0 求出函数的定义域，再由函数的单调性求得答案． 本题考查函数的值域，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是基础题． 15.答案：3 或 4 解析： 本题考查满足的等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合 理运用． 首先根据已知条件求出 ，然后根据 n 1a 求出 ，再根据复合函数的单调性分析最值． 解： 等比数列 䁪 的首项 1 n Ǥ ， 4 n 1 ， 设公比为 q，则 n 4 1 n 1 Ǥ ， n 1 a ， n Ǥ 1 a 쳌1 n a 4쳌 ． n 1a n 1 a 쳌 a ， 当 쳌 a 取最小时， 取最大， 此时 n 的值为 3 或 4， 达到最大值时，n 的值为 3 或 4． 故答案为 3 或 4． 16.答案： 4 解析：解：由已知：平面 平面 BCD， 䁠䁠 ， n 䳌 得： ， 故 CD 平面 ABD， 由 n 1 ， n a ，得：三棱锥 쳌 是一个以 n 1 为高，以平面 ABD 为底面的棱锥， 故球心到底面的距离 n 1 a n 1 a ，底面外接圆半径 n 1 a n a ， 故三棱锥 쳌 的外接球的表面积 n 4䁪 a a n 4 ， 故答案为： 4由已知可得三棱锥 쳌 是一个以 n 1 为高，以平面 ABD 为底面的棱锥，求出球心到底面的 距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式 n 4䁪 a a ，可得答案． 本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解 答的关键． 17.答案：解： 䁪1 ݏa n ݏ ， aݏ݋ݏ n ݏ ， 由正弦定理 ，得 ， ， ， 又 三角形内角 A ， n ； 䁪a 由 䁪1 n ，又 n ，得 n ，B ， cos䁪 sin䁪 ， ， 当 ， 即 时， 取最大值 1， cos䁪 sin䁪 的最大值为 1． 解析：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题． 䁪1 ݏa n ݏ ， aݏ݋ݏ n ݏ ，利用正弦定理，得 ，求得 A． 䁪a 化简 cos䁪 sin䁪 求得最值． 18.答案：证明： 䁪 Ⅰ 在 DC 上取点 E，使 n a ， 则 䁠䁠 ， n ， 则四边形 ABED 是平行四边形， 则 䁠䁠 ， 쳌 쳌 n n a ， 䁠䁠쳌 ， 则平面 䁠䁠 平面 MBE， 쳌 平面 MBE， 쳌 平面 PAD， 쳌䁠䁠 平面 PAD 䁪 Ⅱ 是正三角形，建立以 D 为坐标原点的空间直角坐标系如图： 则 䁪 쳌 1， 䳌 ， 䁪䳌쳌 0， ， 䁪䳌쳌 3， 䳌 ， 쳌䁪䳌쳌 2， 1 ， n 䁪 쳌 1， 䳌 ， 쳌 n 䁪䳌쳌 2， 1 ， 设平面 DBM 的法向量为 n 䁪쳌 y， ， 则由 n n 䳌 ， 쳌 n a n 䳌 ，得 n쳌 n쳌 a ， 令 n 1 ，则 n쳌 ， n a 则 n 䁪1쳌 쳌 쳌a ， 设平面 MBC 的法向量为 n 䁪쳌 y， ， n 䁪 쳌 쳌 2， 䳌 ， 쳌 n 䁪䳌쳌 1， 쳌 1 ， 则 n쳌 a n 䳌 ， 쳌 n 쳌 n 䳌 ， 令 n a ，则 n ， n ， 即 n 䁪a쳌 쳌 ， 则 cos ， n ȁ ȁȁȁ n a쳌 4 1䳌 n 4 1䳌 n 1䳌 Ǥ ， 则二面角 쳌 쳌 쳌 的正弦值 ݏ n 1 쳌 䁪 1䳌 Ǥ a n Ǥ ． 解析： 䁪 Ⅰ 根据线面平行的判定定理即可证明 쳌䁠䁠 平面 PAD； 䁪 Ⅱ 若 n a ， n ，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 쳌 쳌 쳌 的正弦值 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量， 利用向量法是解二面角的常用方法． 19.答案：解： 䁪1 由条形统计图知： 空气质量类别达到中度污染及以上的天数为： 4 a n 1a 天， 该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率 n 1 쳌 1a 䳌 n ． 䁪a 由已知得 的可能值为 0，1，2， 䁪 n 䳌 n a a 䳌 a n Ǥ ， 䁪 n 1 n 4 1 a 1 䳌 a n 1䳌4 4 ， 䁪 n a n 4 a a䳌 a n a 14 ， 的分布列为： 0 1 2 P Ǥ 1䳌4 4 a 14 n 䳌 Ǥ 1 1䳌4 4 a a 14 n 11 4 ． 解析： 䁪1 由条形统计图知空气质量类别达到中度污染及以上的天数为 12 天，由此利用对立事件概 率计算公式能求出该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率． 䁪a 由已知得 的可能值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列与数学期望． 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用． 20.答案：解： 䁪 Ⅰ 由椭圆离心率为 1 a 得： a 쳌 n 1 a ，解得 a n 4 ， 所以椭圆 C 的方程为 a 4 a n 1洠证明： 䁪 Ⅱ 由 n 1 ，则焦点 䁪1쳌䳌 ，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程 n 1 ， A，B 两点关于 x 轴对称，点 䁪4쳌䳌 在 x 轴上， 直线 PA 与直线 PB 关于 x 轴对称， 点 O 到直线 PA 的距离与到 PB 的距离相等， 以坐标原点 O 为圆心与 PA 相切的圆，必与直线 PB 相切， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： n 䁪 쳌 1 ， 䁪1쳌1 ， 䁪a쳌a ， 由 n 䁪 쳌 1 a 4 a 쳌 1a n 䳌 ，整理得： 䁪 4 a a 쳌 Ǥ a 4 a 쳌 1a n 䳌 ， 䳌 ，由韦达定理可知： 1 a n Ǥ a 4 a ， 1a n 4 a 쳌1a 4 a ， 由 n 1 1쳌4 n 䁪1쳌1 1쳌4 ， n a a쳌4 n 䁪a쳌1 a쳌4 ， 则 n 䁪1쳌1 1쳌4 䁪a쳌1 a쳌4 n a1a 쳌 䁪1 a Ǥ 䁪1 쳌 4䁪a 쳌 4 n 䁪 Ǥa쳌a4 4a 쳌 4䳌a 4a Ǥ 䁪1쳌4䁪a쳌4 n 䳌 ， h n h ，则点 O 到直线 PA 和直线 PB 的距离相等， 以坐标原点 O 为圆心与 PA 相切的圆，必与直线 PB 相切． 解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的 斜率公式，属于中档题． 䁪 Ⅰ 由椭圆的离心率和椭圆方程，求得 a 的值，即可求得； 䁪 Ⅱ 对直线斜率是否存在分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，利用韦达定理及直线的斜率 公式可知 n 䳌 ，即可证明以坐标原点 O 为圆心与 PA 相切的圆，必与直线 PB 相切． 21.答案：解： 䁪 Ⅰ 䁪 的定义域为 R，且 䁪 n 䁪 쳌 1 ． 当 n 䳌 时， 䁪 n쳌 䳌 ，此时 䁪 的单调递减区间为 䁪 쳌 쳌 ； 当 䳌 时，由 䁪 䳌 ，得 쳌 쳌1 ，由 䁪 䳌 ，得 쳌 쳌1 ． 此时 䁪 的单调减区间为 䁪 쳌 쳌 쳌 쳌1 ，单调增区间为 䁪 쳌 쳌1 쳌 ； 当 䳌 时，由 䁪 䳌 ，得 쳌 쳌1 ，由 䁪 䳌 ，得 쳌 쳌1 ． 此时 䁪 的单调减区间为 䁪 쳌 쳌1 쳌 ，单调增区间为 䁪 쳌 쳌 쳌 쳌1 . 䁪 Ⅱ 证明：要证 ，即证 쳌 쳌 ， 也就是证 䁪 쳌 1 䁪 쳌 1 ． 也就是证 쳌1 쳌1 ， 令 䁪 n 쳌1 ， 䳌 ， 䁪 n 쳌 1 a ， 再令 䁪 n 쳌 1 ， 䁪 n 쳌 n 䳌 ， 可得 䁪 在 䳌 递增，即有 䁪 䁪䳌 n 䳌 ， 则 䁪 䳌 ， 䁪 在 䁪䳌쳌 递增， 由 䳌 ，可得 쳌1 쳌1 ， 故原不等式成立． 解析：本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式的证明等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，属难题． 䁪 Ⅰ 求出 䁪 的定义域，以及导数，讨论 n 䳌 ， 䳌 ， 䳌 ，判断导数符号，解不等式即可得到 所求单调区间； 䁪 Ⅱ 运用分析法证明．要证 ，即证 쳌 쳌 ，也就是证 쳌1 쳌1 ， 令 䁪 n 쳌1 ， 䳌 ，求出导数，再令 䁪 n 쳌 1 ，求出导数，判断单调性，即可得证． 22.答案：解： 䁪1 由曲线 C 的参数方程 n쳌 1 acos n asin ，消去参数 ， 得曲线 C 的普通方程为 䁪 1 a a n 4 ． 由曲线 1 的极坐标方程 n 1 asin䁪 4 ，得 ݏ ݋ݏ n 1 ， 将 n ݋ݏ ， n ݏ 代入，得 1 的直角坐标方程为 쳌 1 n 䳌 ； 䁪a 由 1 a ，得直线 a 的斜率 a n쳌 1 1 n 1 ，所以 a 的倾斜角为 4 ， 又 a 过圆心 䁪 쳌 1쳌䳌 ，所以 a 的方程为 n 1 ，与 쳌 1 n 䳌 联立，得 AB 的中点 쳌䁪䳌쳌1 ， 故 a 的参数方程为 n ㌷cos 4 n 1 ㌷sin 4 쳌䁪㌷ 为参数 ， 即 n a a ㌷ n 1 a a ㌷ 쳌䁪㌷ 为参数 ， 代入 䁪 1 a a n 4 中，化简、整理得 ㌷ a a a㌷ 쳌 a n 䳌 ， 设 P，Q 对应的参数分别为 ㌷1 ， ㌷a ，则由韦达定理得 ㌷1㌷a n쳌 a ， 又线段 PQ 为圆的直径，所以 ȁ9ȁ n 4 ， 所以 ȁ9ȁ ȁ쳌ȁȁ쳌9ȁ n 4 ȁ쳌aȁ n a ． 解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和 系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 䁪1 直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． 䁪a 利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 23.答案：解： 䁪 Ⅰ 䁪 a 即 ȁȁ ȁ 1ȁ a ， 可得 䳌 1 a 或 쳌 1 䳌 쳌 1 a 或 쳌 1 쳌 쳌 쳌 1 a ， 解得 1 a 或 或 쳌 a ， 则原不等式的解集为 䁪ȁ 1 a 或 쳌 a ； 䁪 Ⅱ 证明： 䁪 n ȁȁ ȁ 1ȁ ȁ 쳌 쳌 1ȁ n 1 ， 当且仅当 䁪 1 䳌 ，即 쳌 1 䳌 时，上式取得等号， 可得函数 䁪 的最小值为 1， 则 n 1 ，且 a，b， ， 由 䁪 a n a a a a a a a a a n 䁪 ， 可得 䁪 1 ，当且仅当 n n n 1 取得等号， 即 1 ． 解析： 䁪 Ⅰ 由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集； 䁪 Ⅱ 运用绝对值不等式的性质可得 䁪 的最小值 m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结 合不等式的性质即可得证． 本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不 等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．