【数学】2018届一轮复习人教A版双曲线学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版双曲线学案

‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用.‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ 知识点一 双曲线的定义 ‎ 平面内动点P与两个定点F1,F2(|F‎1F2|=‎2c>0)的距离____________为常数‎2a(‎2a<‎2c),则点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.‎ 答案 之差的绝对值 ‎1.判断正误 ‎(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(  )‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(  )‎ 答案:(1)× (2)×‎ ‎2.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(  )‎ A.1 B.17‎ C.1或17 D.以上答案均不对 解析:由题意知|PF1|=90,b>0)‎ -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a,y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 顶点坐标:‎ A1(-a,0),A2(a,0)‎ 顶点坐标:‎ A1______,A2______‎ 渐近线 y=±x ‎__________‎ 离心率 e=,e∈______,其中c= 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A‎1A2|=____;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=______(c>a>0,c>b>0)‎ ‎2.等轴双曲线 ‎______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为______,离心率为______.‎ 答案 ‎1.(0,-a) (0,a) y=±x (1,+∞) ‎2a a2+b2‎ ‎2.实轴 虚轴 y=±x e= ‎3.双曲线方程:+=1,那么k的范围是(  )‎ A.k>5‎ B.25‎ 解析:由题意知,(|k|-2)(5-k)<0,解得-25.‎ 答案:D ‎4.(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF‎2F1=,则E的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 解析:设F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程,得-=1,所以=-1=,所以y=±.因为sin∠MF‎2F1=,所以tan∠MF‎2F1=====-=-=,所以e2-e-1=0,所以e=.故选A.‎ 答案:A ‎5.(选修1-1P53练习第3题改编)以椭圆+=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为__________.‎ 解析:设要求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由椭圆+=1,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为x2-=1.‎ 答案:x2-=1‎ 热点一 双曲线的定义及应用 ‎ ‎【例1】 已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P在双曲线右支上运动,则|PF|+|PA|的最小值为______.‎ ‎【解析】 如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.‎ ‎【答案】 9‎ ‎【总结反思】‎ 双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=‎2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:(1)由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=‎2a=2,又|PF1|=2|PF2|,‎ ‎∴|PF1|=4,|PF2|=2,在△PF‎1F2中,‎ ‎|F‎1F2|=‎2c=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2‎ ‎==.‎ ‎(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,‎ 则||PF1|-|PF2||=8<10=|F‎1F2|.‎ 由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a=4,b=3.‎ 故曲线C2的标准方程为-=1.‎ 答案:(1)C (2)A 热点二 双曲线的标准方程 ‎ ‎【例2】 (2016·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(  )‎ A.-y2=1 B.x2-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【解析】 由题意得c=,=,则a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1.‎ ‎【答案】 A ‎【总结反思】‎ 求双曲线的标准方程的方法 ‎(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义,确定‎2a,2b或‎2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.‎ ‎(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎(2)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为__________.‎ 解析:(1)由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e==,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为-=1.‎ ‎(2)法1:∵双曲线的渐近线方程为y=±x,∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ ‎(λ≠0).∵双曲线过点(4,),∴λ=16-4×()2=4,∴双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 法2:∵渐近线y=x过点(4,2),而<2,∴点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).∴双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 答案:(1)A (2)-y2=1‎ 热点三 双曲线的几何性质 ‎ 考向1 求双曲线的离心率 ‎【例3】 (2016·山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.‎ ‎【解析】 ‎ 如图,由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中,|MN|=‎2c=2,故|BN|===.由双曲线的定义可得‎2a=|BN|-|BM|=-=1,而‎2c=|MN|=2.所以双曲线的离心率e==2.‎ ‎【答案】 2‎ 考向2 求双曲线的渐近线 ‎【例4】 已知F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=‎6a,且△PF‎1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是(  )‎ A.x±y=0 B.x±y=0‎ C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ ‎【解析】 由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=‎2a,又|PF1|+|PF2|=‎6a,解得|PF1|=‎4a,|PF2|=‎2a.在△PF‎1F2中,|F‎1F2|=‎2c,而c>a,所以有|PF2|<|F‎1F2|,所以∠PF‎1F2=30°,所以(‎2a)2=(‎2c)2+(‎4a)2-2·‎2c·4acos30°,得c=a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.‎ ‎【答案】 A 考向3 求变量的取值范围 ‎【例5】 已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).∵·<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,即x-3+y<0.∵点M(x0,y0)在双曲线上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0,∴-0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2.‎ ‎(2)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c 的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.‎ ‎ ‎ ‎(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C1:-=1与C2:-=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ ‎(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A1,A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率k·k<2,则双曲线C的离心率的取值范围为(  )‎ A.(0,) B.(1,)‎ C.(,+∞) D.(0,3) ‎ 解析:(1)由题意,得=2⇒b=‎2a,C2的焦距‎2c=4⇒c==2⇒b=4,故选B.‎ ‎(2)由题意得,e==⇒c=a⇒a2=a2+b2⇒b=a,故渐近线方程为y=±x=±x,故选C.‎ ‎(3)设M(x,y),A1(-a,0),A2(a,0),则k=,k=,∴k·k=(*).又M(x,y)在双曲线-=1上,∴y2=b2,代入(*)式得,=<2,即=e2-1<2⇒1
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