【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（Ⅰ）—证明平行与垂直学案

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（Ⅰ）—证明平行与垂直学案

第07节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 ‎(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).‎ ‎2013•新课标I. 18;II.18；‎ ‎2014•新课标I. 19‎ ‎2016•新课标I.18；II.19;III19;‎ ‎2017•新课标I.18;II.19;III19.‎ ‎1.以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行垂直证明.‎ ‎2.利用平行、垂直关系及其性质进行适当的转化，处理综合问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握空间向量的坐标运算；‎ ‎(2)掌握平行关系、垂直关系的常见证明方法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 利用空间向量证明平行问题 ‎1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．‎ ‎②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ‎2.用向量证明空间中的平行关系 ‎①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.‎ ‎②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.‎ ‎③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.‎ ‎④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.‎ 对点练习：‎ ‎【选自2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4， AB=2. ‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎【答案】 （Ⅰ）证明见解析 ‎ ‎【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎2. 利用空间向量证明垂直问题 ‎1. 用向量证明空间中的垂直关系 ‎ ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.‎ ‎ ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.‎ ‎ ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.‎ ‎2.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．‎ 对点练习：‎ ‎【河南省信阳市期末】已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为四边形为正方形，且平面平面，所以两两垂直，且，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为，，所以，‎ 则,，设平面 的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取，‎ 因为平面平面，所以，解得.故选C.‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 利用空间向量证明平行问题 ‎【1-1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.‎ ‎【答案】MN∥平面A1BD.‎ ‎【解析】证明：法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，‎ 法二　＝－＝－＝(－)＝，‎ ‎∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，‎ 又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，‎ ‎∴MN∥平面A1BD.‎ ‎【1-2】(1)如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.‎ ‎【答案】PQ∥RS ‎【解析】证明：方法一，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，‎ O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)．∵|AP|＝2|PA1|，∴.即＝(0,0,2)＝(0,0，)．‎ ‎∴P点坐标为(3,0，)．同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，)．‎ ‎∴.∴∥.又∵R∉PQ，∴PQ∥RS.‎ 方法二：设，则 ，‎ .‎ ,//.又∵R∉PQ，∴PQ∥RS.‎ ‎【领悟技法】‎ 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【湖北卷】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.‎ （1） 当时，证明：直线平面.‎ ‎【答案】直线平面.‎ ‎【解析】以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，‎ 由已知得，‎ 所以，，，‎ ‎【变式二】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝‎ AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.‎ ‎【答案】PB∥平面EFG ‎【解析】证明：∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，‎ ‎∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axy ，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．‎ ‎∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，‎ 设＝s＋t，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，‎ ‎∴解得s＝t＝2.‎ ‎∴＝2＋2，‎ 又∵与不共线，∴、与共面．‎ ‎∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.‎ 考点2 利用空间向量证明垂直问题 ‎【2-1】如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxy .‎ ‎ (1)求证A1F⊥C1E；‎ ‎ (2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋. ‎ ‎【答案】（1）A1F⊥C1E；（2）＝＋. ‎ ‎ ‎ ‎(2)＝(－x,1，－1)，＝(－1,1,0)，＝(0，x，－1)，‎ 设＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝1.‎ ‎∴＝＋.‎ ‎【2-2】【2017届江西省上饶市二模】如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．‎ ‎①当时， 平面；‎ ‎②当时， 平面；‎ ‎③的最大值为；‎ ‎④的最小值为.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得， ，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时， ，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据， ,‎ ，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.‎ ‎【领悟技法】‎ 1. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．‎ ‎2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．‎ ‎3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．‎ ‎4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】 【辽宁卷】如图，和所在平面互相垂直，且， ，E、F分别为AC、DC的中点.‎ （1） 求证：.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.‎ ‎【变式二】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试】如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）故当时，、、、四点共面.‎ ‎【解析】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、‎ 、，‎ 所以，，因为，‎ 所以，所以；‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1.已知A(1,0,0)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，D(1,2,0)，E(0,0,1)，则直线DE与平面ABC(　　)‎ A．平行　　　　　　　 B．DE⊂平面ABC C．相交 D．平行或DE⊂平面ABC 易错分析：因忽视对位置关系的进一步考查而致错.‎ 正确解析：因为＝(－1,1,1)，＝(1,0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，‎ y,1) ，‎ 则，‎ 所以解得 所以n＝(1,0,1)．又＝(－1，－2,1)，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC.‎ 因为＝(1,1，－1)，所以，所以A，B，C，D四点共面，即点D在平面ABC内，所以DE⊂平面ABC.选B.‎ 温馨提醒：当时，DE与平面ABC不一定平行，还有可能在平面内，到底是哪种情形，需要进一步考查方可获知．‎ 易错典例2已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．‎ ‎(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；‎ ‎(2)是否存在点E，使二面角D—BE—A等于60，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．‎ 易错分析：利用空间向量解决存在性问题时，容易出现解题不规范的情况．‎ 正确解析：　(1)证明：连结DC1，因为ABC—A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，‎ 又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.‎ 因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，‎ 所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，‎ 所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1.‎ ‎(2)假设存在点E满足条件，设AE＝h.‎ 取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，‎ 分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y， 轴建立空间直角坐标系D—xy ，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，‎ 设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1， 1)，‎ 温馨提醒：　1.对于存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合条件的解，则存在，若不能求出符合条件的解，则不存在.2.利用空间向量的方法解立体几何中开放性问题，可以化繁为简，化难为易，降低了思维难度.‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 ‎1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决 (当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.‎ ‎2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.‎ 非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！‎ ‎3.转化与化归的原则 ‎（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；‎ ‎（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；‎ ‎（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.‎ ‎（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；‎ ‎（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.‎ ‎4.转化与化归的基本类型 ‎（1） 正与反、一般与特殊的转化；‎ ‎（2） 常量与变量的转化；‎ ‎（3） 数与形的转化；‎ ‎（4） 数学各分支之间的转化；‎ ‎（5） 相等与不相等之间的转化；‎ ‎（6） 实际问题与数学模型的转化.‎ ‎5．常见的转化方法 ‎（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；‎ ‎（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；‎ ‎（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；‎ ‎（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；‎ ‎（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；‎ ‎（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；‎ ‎（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；‎ ‎（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；‎ ‎（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；‎ ‎（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.‎ 立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.‎ ‎【典例】【云南大理州宾川县第四高级中学】在边长是2的正方体-中，分别为 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. ‎ ‎ (1)求EF的长 ‎ (2)证明：平面；‎ ‎ (3)证明: 平面.‎ ‎【答案】（1） ‎（2）根据题意，关键是能根据向量法来得到即可。‎ ‎（3）对于题目中，则可以根据线面垂直的判定定理来的得到.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解(1)如图建立空间直角坐标系 4分 ‎ ‎