【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第二章 第4讲 二次函数与幂函数学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第二章 第4讲 二次函数与幂函数学案

第4讲 二次函数与幂函数 一、知识梳理 ‎1.幂函数 ‎(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1.‎ ‎(2)五种幂函数的图象 ‎(3)性质 ‎①幂函数在(0,+∞)上都有定义;‎ ‎②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;‎ ‎③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.‎ ‎2.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).‎ ‎②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).‎ ‎③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)‎ f(x)=ax2+bx+c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(-∞,+∞)‎ ‎(-∞,+∞)‎ 值域 单调性 在上递减;‎ 在上递增 在上递增;‎ 在上递减 对称性 函数的图象关于x=-对称 常用结论 ‎1.幂函数的图象和性质 ‎(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.‎ ‎(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.‎ ‎(3)当α>0时,y=xα在[0,+∞)上为增函数;‎ 当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.‎ ‎2.一元二次不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 二、教材衍化 ‎1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=________.‎ 解析:因为函数f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1,又函数f(x)的图象过点,所以=,解得α=,则k+α=.‎ 答案: ‎2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为________.‎ 解析:根据幂函数的性质可知a<0,b>1,00,则函数y=ax2+bx的大致图象是________(填序号).‎ 解析:由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确.又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x=->0,故③正确.‎ 答案:③‎ ‎2.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,则m的取值范围是________.‎ 解析:因为函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,‎ 所以,即m≤-.‎ 答案: ‎3.已知幂函数f(x)=x-,若f(a+1)b=,因为y=是减函数,‎ 所以a=0时,y=xα在(0,+∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,所以00,若在(0,+∞)上是减少的,则α<0.  ‎ ‎      二次函数的解析式(师生共研)‎ ‎ (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.‎ ‎【解】 法一:(利用一般式)‎ 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).‎ 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.‎ 法二:(利用顶点式)‎ 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).‎ 因为f(2)=f(-1),‎ 所以抛物线的对称轴为x==.‎ 所以m=.又根据题意函数有最大值8,所以n=8,‎ 所以f(x)=a+8.‎ 因为f(2)=-1,所以a+8=-1,‎ 解得a=-4,所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.‎ 法三:(利用零点式)‎ 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,‎ 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),‎ 即f(x)=ax2-ax-2a-1.‎ 又函数有最大值8,即=8.‎ 解得a=-4或a=0(舍去),‎ 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.‎ 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下:‎ ‎  ‎ ‎1.已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对任意的x∈R.都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为____________.‎ 解析:由f(0)=3,得c=3,‎ 又f(1+x)=f(1-x),‎ 所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,‎ 所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.‎ 答案:f(x)=x2-2x+3‎ ‎2.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为(-,49),且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是________.‎ 解析:设f(x)=a+49(a≠0),方程a2+49=0的两个根分别为x1,x2,则|x1-x2|=2=7,所以a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.‎ 答案:f(x)=-4x2-12x+40‎ ‎      二次函数的图象与性质(多维探究)‎ 角度一 二次函数的图象 ‎ 已知abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(  )‎ ‎【解析】 A项,因为a<0,-<0,所以b<0.‎ 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故A错.‎ B项,因为a<0,->0,所以b>0.‎ 又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错.‎ C项,因为a>0,-<0,所以b>0.又因为abc>0,‎ 所以c>0,而f(0)=c<0,故C错.‎ D项,因为a>0,->0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c<0,故选D.‎ ‎【答案】 D 角度二 二次函数的单调性 ‎ 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是减少的,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【解析】 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足条件.‎ 当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,‎ 由f(x)在[-1,+∞)上是减少的知 解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].‎ ‎【答案】 [-3,0]‎ ‎【迁移探究】 (变条件)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的减区间是[-1,+∞),求a为何值?‎ 解:因为函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的减区间为[-1,+∞),所以解得a=-3.‎ 角度三 二次函数的最值问题 ‎ 设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.‎ ‎【解】 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;‎ 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;‎ 当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值f(t)=t2-2t+2.‎ 综上可知,f(x)min= 角度四 二次函数中的恒成立问题 ‎ 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.‎ ‎【解析】 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.‎ 当x=0时,-3<0,成立;‎ 当x≠0时,a<-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值 ‎,所以a<.‎ 综上,实数a的取值范围是.‎ ‎【答案】  解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点 ‎(1)抛物线的开口方向,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论.‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).‎ ‎(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. ‎ ‎1.(2020·河南省实验中学模拟)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为(  )‎ A.{0,-3}       B.[-3,0]‎ C.(-∞,-3]∪[0,+∞) D.{0,3}‎ 解析:选A.函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,所以m=-3或m=0,所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.‎ ‎2.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].‎ ‎(1)当a=-2时,求f(x)的最值;‎ ‎(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.‎ 解:(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],‎ 所以f(x)在[-4,2]上是减少的,在(2,6]上是增加的,‎ 所以f(x)的最小值是f(2)=-1,‎ 又f(-4)=35,f(6)=15,‎ 故f(x)的最大值是35.‎ ‎(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4,‎ 故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).‎ ‎ 分类讨论思想在二次函数问题中的应用 ‎ 已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.‎ ‎【解】 (1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上是减少的,‎ 所以f(x)min=f(1)=-2;‎ ‎(2)当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上且对称轴为x=.‎ ‎①当0<≤1,即a≥1时,‎ f(x)=ax2-2x的对称轴在(0,1]内,‎ 所以f(x)在上是减少的,在上是增加的.‎ 所以f(x)min=f=-=-;‎ ‎②当>1,即00时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;‎ ‎(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.‎ 综上可知,a的值为或-3.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则a的值为(  )‎ A.-1          B.0‎ C.1 D.-2‎ 解析:选D.函数f(x)=-x2+4x+a的对称轴为直线x=2,开口向下,f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上是增加的,则当x=0时,f(x)的最小值为f(0)=a=-2.‎ ‎2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象大致是(  )‎ 解析:选C.若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故可排除B.故选C.‎ ‎3.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(  )‎ A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0‎ C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0‎ 解析:选A.由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),f(4)>f(1),所以f(x)先减后增,于是a>0,故选A.‎ ‎4.幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选C.因为y=xm2-4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即00,所以01,即a<-时,‎ f(x)max=f(-1)=-2a-1,‎ 所以-2a-1=1,‎ 即a=-1满足题意.‎ 综上可知,a=-或-1.‎ ‎10.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)当∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)设f(x)=ax2+bx+1(a≠0),‎ 由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.‎ 所以,2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1,‎ 因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.‎ ‎(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,‎ 所以在[-1,1]上,x2-x+1>2x+m恒成立;‎ 即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.‎ 所以令g(x)=x2-3x+1=-,‎ 因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,‎ 所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·湖南4月联考)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2] B.[2,+∞)‎ C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ 解析:选B.易知定义在R上的函数f(x)=-x3+m是减少的,所以函数g(x)=x2-kx+m在[-1,1]上是减少的,所以抛物线的对称轴x=≥1,所以k≥2.故选B.‎ ‎2.(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]‎ C.(-∞,0] D.[0,+∞)‎ 解析:选B.因为(3x+a)3≤8x3,y=x3在R上递增,所以3x+a≤2x,可得x≤-a,即x∈(-∞,-a],因为对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3成立,所以[a,a+2]是(-∞,-a]的子集,所以a+2≤-a,所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1],故选B.‎ ‎3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为____________.‎ 解析:当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈,所以f(x)min=f(-1‎ ‎)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1.所以m-n的最小值是1.‎ 答案:1‎ ‎5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,‎ F(x)=求F(2)+F(-2)的值;‎ ‎(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.‎ 解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,‎ 且-=-1,‎ 解得a=1,b=2,‎ 所以f(x)=(x+1)2.‎ 所以F(x)= 所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.‎ ‎(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,‎ 即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.‎ 又当x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.‎ 故b的取值范围是[-2,0].‎
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