【数学】2020届一轮复习北师大版函数的图象与性质学案

【数学】2020届一轮复习北师大版函数的图象与性质学案

第1讲　小题考法——函数的图象与性质 一、主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性 ‎(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．‎ ‎(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．‎ 二、二级结论要用好 ‎1．函数单调性和奇偶性的重要结论 ‎(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．‎ ‎(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. ‎ ‎(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；‎ f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．‎ ‎(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．‎ ‎(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0．‎ ‎(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．‎ ‎2．抽象函数的周期性与对称性的结论 ‎(1)函数的周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝‎2a．‎ ‎②若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝‎2a．‎ ‎③若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝‎2a．‎ ‎(2)函数图象的对称性 ‎①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(‎2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(‎2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．‎ ‎③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎3．函数图象平移变换的相关结论 ‎(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．‎ 三、易错易混要明了 ‎1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．‎ ‎2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．‎ ‎3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．‎ ‎4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．‎ ‎5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．‎ 考点一　函数的概念及表示 ‎1．函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．‎ ‎2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提 求参数 ‎“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 利用函数 性质求值 必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解 ‎1．(2018·邵阳模拟)设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f的定义域为(　B　)‎ A．(1,2] B．(2,4]‎ C．[1,2] D．[2,4)‎ 解析　f(x)的定义域为⇒1＜x≤2, 故1＜≤2,2＜x≤4, 所以选B．‎ ‎2．(2018·南充三联)已知函数f(x)＝则f(2 018)＝__1_008__．‎ 解析　函数f(x)＝则f(2 018)＝f(2 016)＋1＝f(2 014)＋2＝…＝f(0)＋1 009＝1－2＋1 009＝1 008, 故答案为1 008．‎ ‎3．(2018·百校联盟4月联考)已知f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)(a＞0)，则实数a的值为__1__．‎ 解析　∵a＞0，∴1－a＜1,1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝，即a2－‎2a＋1＝0，所以a＝1．‎ 考点二　函数的图象及应用 由函数解析式识别函数图象的策略 ‎1．(2018·郴州二模)函数f(x)＝lnx－x2的大致图象是(　A　)‎ 解析　因为f′(x)＝－x＝，所以0＜x＜2，f′(x)＞0，x＞2，f′(x)＜0，函数在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数，故C，D选项错误，又f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e＝ln ＞ln 1＝0，故选A．‎ ‎2．(2018·江门一模)函数y＝·sin x的部分图象大致为(　A　)‎ 解析　设f(x)＝·sin x，‎ 由1＋ln |x|≠0得x≠±，则函数的定义域为 ∪∪．‎ ‎∵f(－x)＝·sin (－x)‎ ‎＝－·sin x＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数，排除D．‎ 又1＞，且f(1)＝sin 1＞0，故可排除B．＜，‎ 且f＝·sin ＝·sin ＝－3·sin ＜0，故可排除C．选A．‎ ‎3．已知f(x)＝则方程‎2f2(x)－‎3f(x)＋1＝0解的个数是__5__．‎ 解析　方程‎2f2(x)－‎3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为5．‎ 考点三　函数的性质及应用 函数3个性质的应用 ‎(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．‎ ‎(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．‎ ‎(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．‎ ‎1．(2018·山西联考)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(2))＝(　D　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 解析　设x＞0，则－x＜0，故f(－x)＝2x－2＝－f(x)，故x＞0时，f(x)＝2－2x，由g(2)＝f(2)＝2－4＝－2，故f(g(2))＝ f(－2)＝－f(2)＝2，故选D．‎ ‎2．(2018·雅安三诊)已知函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)＞0，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，1) B．(－∞，3)‎ C．(－1,2) D．(－2,1)‎ 解析　∵函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，‎ ‎∴f(－x)＝x3＋7x－sin x＝－f(x)，即函数f(x)在R上为奇函数．‎ ‎∵f′(x)＝－3x2－7＋cos x，‎ ‎∴f′(x)＝－3x2－7＋cos x＜0恒成立，‎ 即函数f(x)在R上为减函数．‎ ‎∵f(a2)＋‎ f(a－2)＞0，∴f(a2)＞‎ ‎－f(a－2)＝f(2－a)，‎ ‎∴a2＜2－a，即a2＋a－2＜0．‎ ‎∴－2＜a＜1，故选D．‎ ‎3．(2018·石嘴山二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝__－1__．‎ 解析　f(－21)＝f(－1)‎ ‎＝－f(1)‎ ‎＝－1，f(16)‎ ‎＝f(0)＝0，‎ ‎∴f(－21)＋f(16)＝－1，故答案为－1．‎ ‎4．(2018·延边模拟)若函数f(x)＝ ‎(a＞0，a≠1)，当x1，x2∈R，x1≠x2，时有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，则a的取值范围是__(2,3]__．‎ 解析　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，得函数f(x)是增函数，∴解得2＜a≤3.故答案为(2,3]．‎