高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南卷·理科）（附答案，完全word版）

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绝密★启用前 2008 年普通高校招生统一考试湖南 (理数)试题与答案 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．复数（1+ 1 i ）3 等于 A.8 B.－8 C.8i D.－8i (D) 2．“|x-1|＜2 成立”是“x（x-3）＜0 成立”的 A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （B） 3.已知变量 x、y 满足条件 1, 0, 2 9 0, x x y x y         则 x+y 的最大值是 A.2 B.5 C.6 D.8 (C) 4.设随机变量 服从正态分布 N(2,9) ,若 P ( ＞c+1)=P( ＜c－ 1 ,则 c= A.1 B.2 C.3 D.4 (B) 5.设有直线 m、n 和平面 、  。下列四个命题中，正确的是 A.若 m∥ ,n∥ ,则 m∥n B.若 m   ,n   ,m∥  ,n∥  ,则 ∥  C.若   ，m   ,则 m   D.若   ，m   ，m   ,则 m∥ （D） 6.函数 f(x)=sin2x+ 3sin cosx x 在区间 ,4 2       上的最大值是 A.1 B.1 3 2  C. 3 2 D.1+ 3 (C) 7.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 2 ,DC BD  2 ,CE EA  2 ,AF FB  则 AD BE CF    与 BC  A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (A) 8.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）上横坐标为 3 2 a 的点到右焦点的距离大于它到左准 线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+  ) C.(1,5) D. (5,+  ) (B) 9.长方体 ABCD－A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1, 则顶点 A、B 间的球面距离是 A.2 2 B. 2 C. 2 2  D. 2 4  (C) 10.设［x］表示不超过 x 的最大整数（如［2］=2, ［ 5 4 ］=1）,对于给定的 nN*,定义     2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n xC x x x x         ，x  1, ,则当 x 3 ,32     时，函数 2 nC 的值域是 A. 16 ,283      B. 16 ,563     C. 284, 3       28,56 D. 16 284, ,283 3          (D) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11. 21 1lim 3 4x x x x    1 5 . 12.已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e= 5 .5 过顶点 A(0,b) 作 AM  l,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 1 2 . 13.设函数 y=f(x)存在反函数 y=f－1（x）,且函数 y=x-f(x)的图象过点(1,2). 则函数 y=f－1(x)-x 的图象一定过点 (-1,2) . 14.已知函数 f(x)＝ 3 ( 1).1 ax aa   （1）若 a＞1,则 f(x)的定义域是 3, a     ; (2)若 f(x)在区间 0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是   ,0 1,3  . 15.对有 n(n≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体 ｛1,2,…，m｝和｛m+1、m+2,…，n｝(m 是给定的正整数，且 2≤m≤n-2),再从每个子总 体中各随机抽取 2 个元素组成样本，用 Pij 表示元素 i 和 f 同时出现在样本中的概率，则 P1m= 4 ( )m n m ;所有 Pif(1≤i＜j≤ n 的和等于 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合 格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格 的概率都是 1 2 ，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有 1 人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数 的分布列和数学期望. 解 用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立，且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝ 1 2 . （Ⅰ）至少有 1 人面试合格的概率是 31 71 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .2 8P ABC P A P B P C      （Ⅱ）  的可能取值为 0，1，2，3. ( 0) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  ＝ 3 2 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8    ( 1) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  = 3 3 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8    1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C     1( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C     所以，  的分布列是  0 1 2 3 P 3 8 3 8 1 8 1 8  的期望 3 3 1 10 1 2 3 1.8 8 8 8E          17.（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面 PBE⊥平面 PAB; （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知，△BCD 是 等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥CD,又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.又因为 PA⊥平面 ABCD， BE  平面 ABCD，所以 PA⊥BE.而 PAAB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE  平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB. （Ⅱ）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AH⊥PB 于 H，由（Ⅰ）知平面 PBE⊥ 平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中，因为∠BAF＝60°，所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG. 所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰 Rt△PAF 中， 2 2.2AG PA  在 Rt△PAB 中， 2 2 2 2 5 .55 AP AB AP ABAH PB AP AB         所以，在 Rt△AHG 中， 2 5 105sin .52 AHAGH AG     故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 10arcsin .5 解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A（0，0， 0），B（1，0，0）， 3 3 1 3( , ,0), ( , ,0),2 2 2 2C D P（0，0，2）， （Ⅰ）因为 3(0, ,0)2BE  ，平面 PAB 的一个法向量是 0 (0,1,0)n  ，所以 0BE n和 共线. 从而 BE⊥平面 PAB. 又因为 BE  平面 PBE，故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ)易知 3(1,0, 2), (0, 02PB BE    ，）， 1 3(0,0, 2), ( , ,0)2 2PA AD    设 1 1 1 1( , , )n x y z 是平面 PBE 的一个法向量，则由 1 1 0, 0 n PB n BE          得 1 1 1 1 2 2 0 2 0, 30 0 0.2 x y z x y z          所以 1 1 1 10, 2 . (2,0,1).y x z n  故可取 设 2 2 2 2( , , )n x y z 是平面 PAD 的一个法向量，则由 2 2 0, 0 n PA n AD          得 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0, 1 3 0 0.2 2 x y z x y z          所以 2 2 20, 3 .z x y   故可取 2 ( 3, 1,0).n   于是， 1 2 1 2 1 2 2 3 15cos , .55 2 n nn n n n            故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 15arccos .5 18.（本小题满分 12 分） 数列  2 2 1 2 21, 2, (1 cos ) sin , 1,2,3, .2 2n n n n na a a a a n        满足 (Ⅰ)求 3 4, ,a a 并求数列 na 的通项公式； (Ⅱ)设 2 1 1 2 2 , .n n n n n ab S b b ba      证明：当 16 2 .nn S n   时， 解 (Ⅰ)因为 2 2 1 2 3 1 11, 2, (1 cos ) sin 1 2,2 2a a a a a        所以 2 2 2 2(1 cos ) sin 2 4.na a a      一般地，当 *2 1( N )n k k   时， 2 2 2 1 2 1 (2 1) 2 1[1 cos ] sin2 2k k k ka a       ＝ 2 1 1ka   ，即 2 1 2 1 1.k ka a   所以数列 2 1ka  是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 2 1 .ka k  当 *2 ( N )n k k  时， 2 2 2 2 2(1 cos 2 .2k k ka a     所以数列 2ka 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2 2 .k ka  故数列 na 的通项公式为 * 2 *2 1, 2 1( N ,2 2 , 2 ( N . n n n k k a n k k         (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 2 1 2 2 ,2 n n n a nb a   2 3 1 2 3 ,2 2 2 2n n nS      ① 2 2 4 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2n n nS      ② ①-②得， 2 3 1 1 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n n n nS       2 1 1 1 1[1 ( ) ] 12 2 1 .1 2 2 21 2 n n n n n          所以 1 1 22 2 .2 2 2n n n n n nS       要证明当 6n  时， 12nS n   成立，只需证明当 6n  时， ( 2) 12n n n   成立. 证法一 (1)当 n=6 时， 6 6 (6 2) 48 3 12 64 4      成立. (2)假设当 ( 6)n k k  时不等式成立，即 ( 2) 1.2k k k   则当 n=k+1 时， 1 ( 1)( 3) ( 2) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 1.2 2 2 ( 2) ( 2) 2k k k k k k k k k k k k k k             由(1)、(2)所述，当 n≥6 时， 2 ( 1) 12 n n   ，即当 n≥6 时， 12 .nS n   证法二 令 2 ( 2) ( 6)2n n nc n  ，则 2 1 1 2 1 ( 1)( 3) ( 2) 3 0.2 2 2n n n n n n n n nc c           所以当 6n  时， 1n nc c  .因此当 6n  时， 6 6 8 3 1.64 4nc c     于是当 6n  时， 2 ( 2) 1.2 n n   综上所述，当 6n  时， 12 .nS n   19.（本小题满分 13 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有 一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + (其中 sin = 26 26 ，0 90   )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=40 2 ，AC=10 13 ， 26,sin .26BAC     由于 0< < 90 ,所以 cos = 226 5 261 ( ) .26 26   由余弦定理得 BC= 2 2 2 cos 10 5.AB AC AB AC     所以船的行驶速度为10 5 15 52 3  （海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有，x1=y1= 2 2 AB=40, x2=ACcos 10 13cos(45 ) 30CAD     , y2=ACsin . 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 20 210  ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d= |0 55 40 | 3 5 7. 1 4      所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中，由余弦定理得， 2 2 2 cos 2 ¡¤ AB BC ACABC AB BC    == 2 2 240 2 10 5 10 13 2 40 2 10 5        = 3 10 10 . 从而 2 9 10sin 1 cos 1 .10 10ABC ABC       在 ABQ 中，由正弦定理得， AQ= 1040 2sin 10 40.sin(45 ) 2 2 10 2 10 AB ABC ABC       由于 AE=55>40=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP  BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt QPE 中， PE=QE·sin sin sin(45 )PQE QE AQC QE ABC        = 515 3 5 7.5    所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分 13 分） 若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于 点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x>2 时，点 P（x,0）存在无穷多条“相关 弦”.给定 x0>2. （I）证明：点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II)试问：点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0 表示）：若不存在，请说明理由. 解：（I）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点 A、B 的坐标分别是 （x1,y1）、（x2,y2）（x1  x2）,则 y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为 x1  x2,所以 y1+y2  0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（xm, ym）,则 k= 1 2 1 2 1 2 4 2 m y y x x y y y     . 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 ( ).2 m m m yy y x x    又点 P（x0,0）在直线 l 上，所以-ym 0( ).2 m m y x x  而 0,my  于是 0 2.mx x  故点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦 AB 所在直线的方程是 ( )m my y k x x   ，代入 2 4y x 中， 整理得 2 2 22[ ( ) 2] ( ) 0.m m m mk x k y kx x y kx      （·） 则 1 2x x、 是方程（·）的两个实根，且 2 1 2 2 ( ) .m my kxx x k  设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )( )l x x y y k x x       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (1 )[( ) 4 ] 4(1 )( ) 2( )44(1 )[ ]4 (4 )(4 ) 4 ( 1) 16 4( 1) [ 2( 1)] 4( 1) [ 2( 3)] . m m m m m m m m m m m m m m m m m m k x x x x k x x x y xyxy y y x y y y x x x y x x y x                              因为 0< 2 my <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= 2 my ,则 t(0,4x0-8). 记 l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若 x0>3,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 2 my =2(x0-3)时, l 有最大值 2(x0-1). 若 23 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2 （x0-1）；当 2< x0  3 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ln2(1+x)- 2 1 x x . (I)求函数 f(x) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式 1(1 )a a en   对任意的 N*n 都成立（其中 e 是自然对数的底数）. 求  的最大值. 解 （Ⅰ）函数 f(x)的定义域是 ( 1, )  ， 2 2 2 2 2ln(1 ) 2 2(1 )ln(1 ) 2( ) .1 (1 ) (1 ) x x x x x x xf x x x x           ′ 设 2( ) 2(1 )ln(1 ) 2 ,g x x x x x     则 ( ) 2ln(1 ) 2 .g x x x  ′ 令 ( ) 2ln(1 ) 2 ,h x x x   则 2 2( ) 2 .1 1 xh x x x     ′ 当 1 0x   时， ( ) 0, ( )h x h x′ 在（-1，0）上为增函数， 当 x＞0 时， ( ) 0, ( )h x h x′ 在 (0, ) 上为减函数. 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x ′ ，函数 g(x)在 ( 1, )  上为 减函数. 于是当 1 0x   时， ( ) (0) 0,g x g  当 x＞0 时， ( ) (0) 0.g x g  所以，当 1 0x   时， ( ) 0, ( )f x f x′ 在（-1，0）上为增函数. 当 x＞0 时， ( ) 0, ( )f x f x′ 在 (0, ) 上为减函数. 故函数 f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为 (0, ) . （Ⅱ）不等式 1(1 )n a en   等价于不等式 1( )ln(1 ) 1.n a n    由 11 1n   知， 1 .1ln(1 ) a n n    设  1 1( ) , 0,1 ,ln(1 )G x xx x    则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 )( ) .(1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x xG x x x x x x x          ′ 由（Ⅰ）知， 2 2ln (1 ) 0,1 xx x    即 2 2(1 )ln (1 ) 0.x x x    所以  ( ) 0, 0,1 ,G x x ′ 于是 G(x)在 0,1 上为减函数. 故函数 G（x）在  0,1 上的最小值为 1(1) 1.ln 2G   所以 a 的最大值为 1 1.ln 2 