人教A版高中数学1-3-1函数的单调性教案新人教版必修1

人教A版高中数学1-3-1函数的单调性教案新人教版必修1

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计） 教学目标 （一）知识与技能目标 学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够： 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调 性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性 3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程目标 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 （三）情感、态度和价值观 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难 的意志，建立学习数学的自信心 教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明 一、复习回顾，新课引入 1、函数与映射的定义。 2、函数的常用表示方法 3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随 x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ 4、作出下列函数的图象： （1）y=x ； (2)y=x 2 ； 二、师生互动，新课讲解： 观察函数 y=x 与 y=x2 的图象，当 x 逐渐增大时，y 的变化情况如何？ 可观察到的图象特征： （1）函数 xxf )( 的图象由左至右是上升的； （2）函数 2)( xxf  的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；也就 是图象在区间 ]0,( 上，随着 x 的增大，相应的 )(xf 随着减小，在区间 ),0(  上， 随着 x 的增大，相应的 )(xf 也随着增大． 归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同 一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的 反映． 1．如何用函数解析式 2)( xxf  描述“随着 x 的增大，相应的 )(xf 随着减小”，“随着 x 的增大，相应的 )(xf 也 随着增大”？ 在区间 ),0(  上任取 x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关 系呢？ 对于函数 2)( xxf  ，经过师生讨论得出：在区间 ),0(  上，任取两个 21, xx ，当 21 xx  时，有 )()( 21 xfxf  ．这 时，我们就说函数 2)( xxf  在区间 ),0(  上是增函数． 课堂练习 请你仿照刚才的描述，说明函数 2)( xxf  在区间 ]0,( 上是减函数． 2．增函数和减函数的定义 设函数 )(xf 的定义域为 I ： （1）如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21, xx ，当 21 xx  时，都有 )()( 21 xfxf  ，那么 就说函数 )(xf 在区间 D 上是增函数（increasing function）．区间 D 叫做函数的增区间。 y x1-1 1 -1 y x1-1 1 -1 y x1-1 1 -1 （2）请你仿照增函数的定义给出函数 )(xf 在区间 D 上是减函数的定义． 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21, xx ，当 21 xx  时，都有 )()( 21 xfxf  ，那么就说 函数 )(xf 在区间 D 上是减函数（decreasing function）．区间 D 叫做函数的减区间。 3．对定义要点分析 问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？ （2）你能分析一下减函数定义的要点吗？ 引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间 D 上的任意两个自变量都有…”的含义． 例题选讲： 例 1：（课本 P29 例 1）图 2-10 是定义在闭区间[-5，5]上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出 x=f(x)的单调区 间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数． 解：函数 y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是 减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数． 变式训练 1：如图为 2008 年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24 小时内的气温变化图（24 时与 0 时气温相同为 32C），观察这张气温变化图： 问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？ 问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？ 例 2 证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数． 证明：设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)． 由 x1＜x2，得 x1-x2＜0， 于是 f(x1)-f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)． 所以，f(x)= 3x+ 2 在 R 上是增函数． 想一想：函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是增函数还是减函数？试画出 f(x)的图象，判断你的结论是否正确． 归纳：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取 x1，x2∈D，且 x11 的解集．