【数学】2018届一轮复习人教A版 数学归纳法 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 数学归纳法 学案

专题37 数学归纳法 ‎1.了解数学归纳法的原理；‎ ‎2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。‎ ‎ ‎ ‎1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ ‎2．数学归纳法的框图表示 高频考点一　算法的顺序结构 例1、f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．‎ 第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.‎ 第八步，输出y1，y2，y3，y的值．‎ 该算法对应的程序框图如图所示： ‎ ‎【特别提醒】(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．‎ ‎(2)解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．‎ ‎【变式探究】如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．‎ ‎(1)该程序框图解决的是一个什么问题？‎ ‎(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？‎ ‎(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？‎ 则f(3)＝－32＋4×3＝3，‎ 所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3；‎ ‎(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，‎ 当x＝2时，f(x)最大值＝4，‎ 所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2. ‎ 高频考点二　算法的条件结构 例2、如图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于(　　)‎ A．11B．10C．8D．7‎ 思维点拨　依据第二个判断框的条件关系，判断是利用“x2＝x3”，还是利用“x1＝x3”，从而验证p是否为8.5.‎ ‎【答案】C ‎【特别提醒】‎ ‎(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；‎ ‎(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．‎ ‎【变式探究】(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C 高频考点三　算法的循环结构 例3、执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)‎ A．10 B．17‎ C．19 D．36‎ ‎【答案】C ‎【解析】开始s＝0，k＝2；‎ 第一次循环s＝2，k＝3；‎ 第二次循环s＝5，k＝5；‎ 第三次循环s＝10，k＝9；‎ 第四次循环s＝19，k＝17，‎ 不满足条件，退出循环，输出s＝19，故选C. ‎ ‎【特别提醒】‎ 利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环．弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键．‎ ‎【变式探究】当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．7B．42C．210D．840‎ ‎【答案】C 高频考点四　基本算法语句 例4、阅读下面两个算法语句：‎ ‎i＝1‎ WHILE　i*(i＋1)<20‎ ‎　i＝i＋1‎ WEND PRINT　“i＝”；i END 图1‎ i＝1‎ DO ‎　i＝i＋1‎ LOOP　UNTIL　i*(i＋1)<20‎ PRINT　“i＝”；i END 图2‎ 执行图1中语句的结果是输出________；‎ 执行图2中语句的结果是输出________．‎ ‎【答案】i＝4　i＝2‎ ‎【特别提醒】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．‎ ‎【变式探究】　设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)‎ S＝1‎ i＝3‎ WHILE　i<　　　　‎ ‎　S＝S×i ‎　i＝i＋2‎ WEND PRINT　S END A．13 B．13.5 C．14 D．14.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】当填i<13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13. ‎ ‎1.【2016江苏高考，26】（1）求的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证： ‎ ‎（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.‎ ‎【答案】（1）0（2）详见解析 ‎ ‎ ‎1.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）‎ ‎ 已知集合，，‎ ‎，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1）13（2）‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立；‎ ‎②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：‎ ‎1）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎2）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎3）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ ‎ ‎6）若，则，此时有 ‎，结论成立．‎ 综上所述，结论对满足的自然数均成立．‎ ‎2.【2015高考北京，理20】已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可知：‎ ‎（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.‎ ‎（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，‎ ‎①若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.‎ ‎ 3．（2014·安徽卷） 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.‎ ‎(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；‎ ‎(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：an＞an＋1＞c.‎ ‎【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下．‎ ‎①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．‎ ‎②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．‎ 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.‎ 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．‎ ‎(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c.‎ ‎①当n＝1时，由题设知a1>c成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．‎ 由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.‎ 当n＝k＋1时，＝＋a＝‎ ‎1＋.‎ 由ak>c>0得－1<－<<0.‎ 综上所述，an>an＋1>c，n∈N*.‎ 方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，‎ 所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.‎ 由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.‎ ‎①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知 a2＝a1＋a＝a1c，从而可得a1>a2>c，‎ 故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，‎ 即有ak＋1>ak＋2>c，‎ 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．‎ ‎4．（2014·陕西卷） 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．‎ ‎(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；‎ ‎(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．‎ ‎ ‎ ‎(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．‎ 设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－＝，‎ 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，‎ ‎∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．‎ 当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，‎ ‎∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0.‎ 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，‎ 故知ln(1＋x)≥不恒成立．‎ 综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，‎ 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．‎ 证明如下：‎ 方法二：上述不等式等价于＋＋…＋，x>0.‎ 令x＝，n∈N＋，则ln>.‎ 故有ln 2－ln 1>，‎ ln 3－ln 2>，‎ ‎……‎ ln(n＋1)－ln n>，‎ 上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，‎ 结论得证．‎ 方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，‎ ‎∴＋＋…＋>dx＝‎ dx＝n－ln(n＋1)，‎ 结论得证．‎ ‎5．（2014·重庆卷） 设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)＝a2k＋2，‎ a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.‎ 所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④‎ 综上，由②③④知存在c＝使a2n1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．‎ ‎【解析】‎ 证明　(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，‎ 则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，‎ 故当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．‎ ‎12．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b‎1a1＋b‎2a2＋b‎3a3＋…＋bnan.‎ ‎(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；‎ ‎(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.‎ ‎∵48＋4r＝64，∴r＝4.‎ ‎(2)证明　用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，‎ T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．‎ 根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎13．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…‎ ‎(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．‎ ‎ 14．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；‎ ‎(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)证明　先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0，即xn<1－.‎ 由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③‎ 反复运用③式，得 －xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，‎ xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，知 ‎2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．‎ 根据指数函数y＝(1－)n的性质，得 ‎2－1≤0，c≤，故00，即证xn<对任意n≥1成立．‎ 下面用数学归纳法证明当0

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