【数学】2020届一轮复习人教B版 不等式选讲学案
考查角度2 不等式选讲
分类透析一 解不等式与证明不等式结合
例1 (吉大附中2018届第四次模拟)已知函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=-2时,解不等式f(x)≥16-|2x-1|.
(2)若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0,2],求证:f(x)+f(x+2)≥2a.
分析 (1)把a=-2代入不等式,根据绝对值不等式的解法,即可求出不等式的解集.
(2)通过解绝对值不等式,结合不等式的解集确定a的值;根据绝对值不等式的解法即可证明.
解析 (1)当a=-2时,不等式为|x+2|+|2x-1|≥16.
当x≤-2时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解得x≤-173;
当-2
0及f(x)≤1,求交集可得不等式00,得|x-2|>|x-1|,则|x-2|2>|x-1|2,即x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<32.
综上,不等式0m恒成立,须有f(x)min>m;(3)不等式的解集为R,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为空集,即不等式无解.
分类透析三 解不等式与探索性问题
例3 (江西师大附中2018届高三测试题)已知函数f(x)=x+4a+x-1b,其中a,b为正实数.
(1)若a=b=1,求不等式f(x)≤6的解集.
(2)若f(x)的最小值为1,问是否存在正实数a,b,使得不等式a+4b≥16成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
分析 (1)把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;(2)利用绝对值三角不等式得到f(x)的最小值,再结合均值不等式即可得到结果.
解析 (1)当a=b=1时,f(x)=|x+4|+|x-1|,不等式f(x)≤6等价于x≤-4,-(x+4)-(x-1)≤6或-432的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>2x成立,求a的取值范围.
解析 (1)当a=2时,f(x)=|2x+1|-|2x-1|,
即f(x)=-2,x≤-12,4x,-1232的解集为x|x>38.
(2)当x∈(0,1)时,|2x+1|-|ax-1|>2x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1,所以不等式|ax-1|<1无解;
若a>0,|ax-1|<1的解集为08-|2x-2|的解集为M.
(1)求M.
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(2a)-f(-2b).
解析 (1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得|x+4|+|2x-2|>8.
①当x≤-4时,不等式转化为-x-4-2x+2>8,
解得x<-103,所以此时x≤-4;
②当-48,
解得x<-2,所以此时-48,
解得x>2,所以此时x>2.
综上,M={x|x<-2或x>2}.
(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,
所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b),
只需证|ab+4|>|2a+2b|,
即证(ab+4)2>(2a+2b)2,
即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2,
即证a2b2-4a2-4b2+16>0,
即证(a2-4)(b2-4)>0.
因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,
所以(a2-4)(b2-4)>0成立,
所以原不等式成立.
3.(2017年全国Ⅱ卷,文23改编)已知a>0,b>0,a2+b2=a+b.证明:
(1)(a+b)2≤2(a2+b2);
(2)(a+1)(b+1)≤4.
解析 (1)因为(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)2≤0,
所以(a+b)2≤2(a2+b2).
(2)由(1)及a2+b2=a+b得a+b≤2,
因为a>b,b>0,所以00),求4a+1b的取值范围.
解析 (1)由f(x)≤1,即|2x+1|≤1⇔-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0,故不等式的解集为{x|-1≤x≤0}.
(2)g(x)=f(x)+f(x-1)=|2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-(2x-1)|=2,
∴a+b=2(a,b>0),
∴4a+1b=12(a+b)4a+1b=125+4ba+ab≥125+24ba·ab=92,
当且仅当4ba=ab⇔a=2b,即a=43,b=23时等号成立.
综上,4a+1b的取值范围为92,+∞.
3.(山西省太原市2018届高三模拟题)设函数f(x)=|x+2|+|x-1|.
(1)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)+ax-1>0的解集为R,求实数a的取值范围.
解析 (1)∵函数f(x)=|x+2|+|x-1|≥|x+2-(x-1)|=3,当且仅当(x+2)(x-1)≤0时,等号成立.
∴函数f(x)=|x+2|+|x-1|的最小值为3,
此时x的取值范围为{x|-2≤x≤1}.
(2)当不等式f(x)+ax-1>0的解集为R时,函数f(x)>-ax+1恒成立,
即f(x)的图象恒位于直线y=-ax+1的上方.
∵函数f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x<-2,3,-2≤x≤1,2x+1,x>1,
而函数y=-ax+1表示过点(0,1),斜率为-a的一条直线.
如图所示,当直线y=-ax+1过点A(1,3)时,3=-a+1,∴a=-2;
当直线y=-ax+1过点B(-2,3)时,3=2a+1,∴a=1.
∴由数形结合可得a的取值范围为(-2,1).
4.(湖北师大第一附属中学2018届高三5月押题)已知函数f(x)=|2x-1|-a(a∈R).
(1)若f(x)在[-1,2]上的最大值是最小值的2倍,解不等式f(x)≥5;
(2)若存在实数x使得f(x)<12f(x+1)成立,求a的取值范围.
解析 (1)∵x∈[-1,2],
∴f(x)min=f12=-a,f(x)max=f(-1)=f(2)=3-a,
∴3-a=-2a,解得a=-3.
由不等式f(x)≥5,即|2x-1|≥2,
解得x≥32或x≤-12,
故不等式f(x)≥5的解集为x|x≥32或x≤-12.
(2)由f(x)<12f(x+1),得a>|4x-2|-|2x+1|,
令g(x)=|4x-2|-|2x+1|,问题转化为a>g(x)min.
又g(x)=-2x+3,x≤-12,-6x+1,-12-2.
∴实数a的取值范围为(-2,+∞).
