【数学】2018届一轮复习苏教版（理）利用导数研究函数的单调性教案（江苏专用）
第17课 利用导数研究函数的单调性
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
利用导数研究函数的单调性
√
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．( )
(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(教材改编)如图171所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．(填序号)
图171
①函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数；
②函数f(x)在区间(1,3)上是减函数；
③函数f(x)在区间(0,2)上是减函数；
④函数f(x)在区间(3,4)上是增函数．
① [当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________．
(0,1] [函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]
4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图172所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
图172
① ② ③ ④
③ [由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0)时，f′(x)<0.
从而f(x)在(0,1)及(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增．]
5．(2017·泰州模拟)若函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．
[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝2mx＋－2，由题意可知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即2mx＋－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．
∴m≥－在(0，＋∞)上恒成立．
又g(x)＝－＝－2＋≤.
∴m≥.]
判断或证明函数的单调性
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性.
【导学号：62172094】
[解] f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝－.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)
在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．
[规律方法] 用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)一求．求f′(x)；
(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．
易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
[变式训练1] (2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．讨论f(x)的单调性．
[解] 由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
求函数的单调区间
(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．
[解] 由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，
.
[规律方法] 求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；
(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．
[变式训练2] 已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．
(－，) [因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．]
已知函数的单调性求参数
设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
[解] f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
∴f′(x)＝x2－ax，g′(x)＝f′(x)＋2＝x2－ax＋2.
依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，
a
0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
4．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
课时分层训练(十七)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
(2，＋∞) [因为f(x)＝(x－3)ex，
则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图173所示，则下列叙述正确的是________．
图173
①f(b)＞f(c)＞f(d)；
②f(b)＞f(a)＞f(e)；
③f(c)＞f(b)＞f(a)；
④f(c)＞f(e)＞f(d)．
③ [依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)，因此③正确．]
3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的________条件. 【导学号：62172096】
充分不必要 [f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]
4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．
[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝.]
5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．
单调递增 [在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]
6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．
[f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1,1]时恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有即
解得a≥.]
7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
(－1，＋∞) [由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1.]
8．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________. 【导学号：62172097】
[∵f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.
∴当x∈时，f′(x)max＝f′＝＋2a.
由＋2a>0，得a>－.
∴a的取值范围为.]
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
(0,1)∪(2,3) [∵f′(x)＝－x＋4－，
令f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝3.
由于f(x)在[t，t＋1]上不单调，
∴1∈[t，t＋1]或3∈[t，t＋1]
即00，故g(x)为增函数；
当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．
c＜a＜b [依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，
因此有f(－1)＜f(0)＜f，
即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.]
2．(2017·盐城质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．
(－2,0)∪(2，＋∞) [令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔或解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]
3．设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解] (1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)，
此时f′(x)＝，可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋
＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0，
设x1，x2(x10，
所以当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－0恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)a＝1时，f(x)＝bx－＋2ln x，f′(x)＝b＋＋＝.
①当b≥0时，f′(x)>0，f(x)在定义域上单调递增，不符合题意；
②当b<0时，Δ＝4－4b2>0，即－10恒成立，
∴∀x1，x2∈(0，＋∞)时，不等式(x1－x2)>0恒成立．
令h(x)＝xf(x)＝x2－1＋2axln x，
∴∀x1，x2∈(0，＋∞)时，(h(x1)－h(x2))(x1－x2)>0恒成立，∴h(x)在(0，＋∞)单调递增．
∴∀x1，x2∈(0，＋∞)，h′(x)＝2x＋2aln x＋2a≥0恒成立．
令m(x)＝2x＋2aln x＋2a，则m′(x)＝2＋＝.
①当2a＝0时，m′(x)＝2>0, m(x)＝2x>0恒成立；
②当2a>0时，m′(x)＝2＋>0，m(x)在(0，＋∞)上单调递增，m＝－2a2－2－2a<0，所以a>0不符合题意．
③当2a<0时，m′(x)＝0时，x＝－a.
结合m′(x)，m(x)随x的变化情况：
x
(0，－a)
－a
(－a，＋∞)
m′(x)
－
0
＋
m(x)
2aln(－a)
∴m(x)min＝m(－a)＝2aln(－a)≥0，解得－1≤a≤0.
综上，－1≤a≤0.
