【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十二章第3讲 合情推理与演绎推理学案
第3讲 合情推理与演绎推理
[学生用书P207]
1．推理
(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．
(2)分类：推理
2．合情推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
3.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：
三段论
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A．28 B.32
C．33 D．27
解析：选B.由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.
推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B.②
C．③ D．①和②
解析：选B.由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．
(教材习题改编)观察下列不等式：
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
…
照此规律，第五个不等式为________________．
解析：左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为
1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
(教材习题改编)凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表．
凸多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
长方体
6
8
12
五棱柱
7
10
15
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
猜想一般结论F＋V－E＝________．
解析：从表中可猜想F＋V－E＝2.
答案：2
在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
归纳推理(高频考点)
[学生用书P207]
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，属中高档题．主要命题角度有：
(1)与数字有关的推理；
(2)与不等式有关的推理；
(3)与图形变化有关的推理；
(4)与实际问题有关的推理．
[典例引领]
角度一 与数字有关的推理
观察下列等式：
＋＝×1×2；
＋＋＋＝×2×3；
＋＋＋…＋＝×3×4；
＋＋＋…＋＝×4×5；
……
照此规律，
＋＋＋…＋＝__________．
【解析】 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.
【答案】 ×n×(n＋1)
角度二 与不等式有关的推理
已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________．
【解析】 第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
【答案】 nn
角度三 与图形变化有关的推理
某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
则n级分形图中共有________条线段．
【解析】 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．
【答案】 3×2n－3(n∈N*)
角度四 与实际问题有关的推理
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
【解析】 (1)依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，
因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩，选D.
(2)由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
【答案】 (1)D (2)1和3
归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因而在进行归纳推理时，首先观察题目给出的特殊数或式的变化规律，然后用这种规律试一试这些特殊的数或式是否符合观察得到的规律，若不符合，则应继续寻找规律；若符合，则可运用此规律推出一般结论．
[通关练习]
1．(2018·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A．甲 B.乙
C．丙 D．丁
解析：选D.根据题意，甲、乙、丙、丁猜测6名选手的比赛结果如下表：
1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲
不可能
不可能
不可能
可能
可能
不可能
乙
可能
可能
不可能
可能
可能
可能
丙
可能
可能
不可能
不可能
不可能
可能
丁
可能
可能
可能
不可能
不可能
不可能
由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.
2．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．
解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
答案：183
类比推理[学生用书P208]
[典例引领]
(1)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________．
【解析】 (1)类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径R＝.
【答案】 (1)－＝1 (2)
解决类比推理问题的方法步骤
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
[通关练习]
给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选B.类比结论正确的有①②.
演绎推理[学生用书P209]
[典例引领]
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)．
(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数．
(2)若x，y为正实数且＋＝4，比较f(x＋y)与f(6)的大小．
【解】 (1)证明：设x1，x2∈R，且x1
x1f(x2)＋x2f(x1)，
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x10，
所以f(x2)>f(x1)．
所以f(x)为R上的单调增函数．
(2)因为x，y为正实数，且＋＝4，
所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝，
当且仅当即时取等号，因为
f(x)在R上是增函数，且x＋y≥>6，
所以f(x＋y)>f(6)．
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．.
[通关练习]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列{}是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，
故{}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，所以Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．
又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
合情推理的过程
―→―→
―→
演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
解决推理问题应关注三点
(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
(2)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
(3)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
[学生用书P343(单独成册)]
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．121 B.123
C．231 D．211
解析：选B.法一：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋
b5)2－2a5b5＝123.
2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B.34
C．52 D．55
解析：选D.因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7，5) B.(5，7)
C．(2，10) D．(10，2)
解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是( )
A．S0＝ B.S0＝
C.＝ D．＝
解析：选C.在平面几何中类比几何性质时，
一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是
＝，故选C.
5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B.3人
C．4人 D．5人
解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．
6．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
答案：A
7．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．
解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．
答案：甲
8．设A和B是抛物线上的两个动点，且在A和B处的抛物线的切线相互垂直，已知由
A、B及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L1，对L1重复以上过程，又得一抛物线L2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L1，L2，L3，L4，…，Ln，若抛物线的方程为y2＝6x，经专家计算得，L1：y2＝2(x－1)，L2：y2＝(x－1－)＝(x－)，L3：y2＝(x－1－－)＝(x－)，L4：y2＝(x－1－－－)＝(x－)，…，Ln：y2＝(x－)，则2Tn－3Sn＝________．
解析：由题意知T1＝1，T2＝4，T3＝13，T4＝40，…，分析得1，4，13，40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，
即Tn－Tn－1＝3n－1，
…
T3－T2＝32，
T2－T1＝3，
把上述式子相加得到Tn－1＝3＋32＋…＋3n－1，
所以Tn＝，
由题意知S1＝1，S2＝3，S3＝9，S4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列{Sn}的通项是Sn＝3n－1，
所以2Tn－3Sn＝2×－3×3n－1＝－1.
答案：－1
9．已知函数f(x)＝－(a＞0，且a≠1)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为
(1－x，－1－y)．
由已知y＝－，
则－1－y＝－1＋＝－，
f(1－x)＝－＝－＝－＝－，
所以－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点对称．
(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
所以f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1.
故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
10．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
…
其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为 1 3 5 7
4 8 12
1220
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
1．观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：选B.法一：观察已知条件可知规律为：第n个式子的第一个数为n，以1为公差递推左边共(2n－1)项，右边为项数的平方，故选B.
法二：取n＝1，代入选项，可排除C，D；取n＝2，代入选项，可排除A，选B.
2．如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是( )
A．210 B.211
C．212 D．213
解析：选B.观察题图可知，
第一个拐弯处2＝1＋1，
第二个拐弯处4＝1＋1＋2，
第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，
第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，
第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，
发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.
3．有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为________．
解析：由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3.
答案：4、2、1、3
4．(2017·高考北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且x>y>z，①若教师人数为4，则4
查看更多
