人教A版数学必修二4-2-3直线与圆的方程的应用

人教A版数学必修二4-2-3直线与圆的方程的应用

§4.2.3 直线与圆的方程的应用 一、教材分析 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线 与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用. （2）会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2．过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3．情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力. 三、教学重点与难点 教学重点：求圆的应用性问题. 教学难点：直线与圆的方程的应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.如图 1,某城市中的高空观览车的高度是 100 m, 图 1 在离观览车约 150 m 处有一建筑物,某人在离建筑物 100 m 的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数 据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线 与圆的方程的应用. 思路 2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这 些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆 的方程的应用. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①你能说出直线与圆的位置关系吗？ ②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？ ③阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的问题？ ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ ⑤你能利用“坐标法”解决例 5 吗？ 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师 引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解 决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑 的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定 一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互 转化得到结论. 讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离. ②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的 关系来解决. ③阅读并思考教科书上的例 4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于 D、E、F 的三个独立的条件也可. ⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开. （三）应用示例 思路 1 例 1 讲解课本 4.2 节例 4,解法一见课本. 图 2 解法二：如图 2,过 P2 作 P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在 Rt△AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2 设拱圆所在的圆的半径为 r,则有 r2=(r-4)2+102. 解得 r=14.5. 在 Rt△CP2H 中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|= 25.206 -10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱 A2P2 的长度约为 3.86 cm. 点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标 系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代 数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练 已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 图 3 解:如图 3,以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA、DB 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立适当的平面直 角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 过四边形 ABCD 的外接圆的圆心 O1 分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足分别为 M、N、E,则 M、N、E 分别为线段 AC、BD、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得 1Ox =xm= 2 ca  , 1Oy =yn= 2 db  ,xE= 2 a ,yE= 2 d . 所以|O1E|= 2222 2 1)222()222( cbddbaca  . 又|BC|= 22 cb  ,所以|O1E|= 2 1 |BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化 为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论. 例 2 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每 单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10 km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标 准是：包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、 曲线外的居民应如何选择购货地点. 活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以 AB 所在 直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距 A 地近,且费用低,列方程或不等式. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(－5,0),B(5,0).设某地 P 的坐标 为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元/km,则 B 地运费为 a 元/km.由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费, 即 3a 22)5( yx  ≤a 22)5( yx  ,整理得(x+ 4 25 )2+y2≤( 4 15 )2. 所以以点 C(- 4 25 ,0)为圆心, 4 15 为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从 A 地购货费用较 低,圆外的居民从 B 地购货费用较低,圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从 A、B 两 地之一购货. 点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键 要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法. 思路 2 例 1 求通过直线 2x-y+3=0 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程. 活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0, 配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2- 2  )2=(1+λ)2+(2+ 2  )2-3λ-1, ∵r2= 4 5 λ2+λ+4= 4 5 (λ+ 5 2 )2+ 5 19 , ∴当λ=- 5 2 时,半径 r= 5 19 最小. ∴所求面积最小的圆的方程为 5x2+5y2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识, 以直线与圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求. 由      ,0142 ,032 22 yxyx yx 消去 y,得 5x2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标 x0= 2 21 xx  =- 5 3 ,纵坐标 y0=2x0+3= 5 9 , 即圆心 O′(- 5 3 , 5 9 ). 又半径 r= 2 1 |x1-x2|· 221 = 5 19 , ∴所求面积最小的圆的方程是(x+ 5 3 )2+(y- 5 9 )2= 5 19 . 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式 |AB|=|x1-x2|· 21 k ;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|= 22 dr  ,其中 r 为圆半径,d 为圆心 到弦的距离. 变式训练 设圆满足①截 y 轴所得弦长为 2,②被 x 轴分成两段弧,弧长之比为 3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求 圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程. 图 4 解:关键确定圆心坐标和半径.如图 4. 设圆心 A(a,b),则半径 r= 2 |b|. 由截 y 轴的弦长为 2,知 a2+1=r2=2b2, 又圆心 A 到 l 的距离 d= 5 1 |a-2b|, ∴5d2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当 a=b 时等号成立. 这里由       ,2 ,1 , 22 22 rb ra ba 解得                 .2 ,1 ,1 2 ,1 ,1 r b a r b a 或 ∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2. 例 2 已知 x,y 是实数,且 x2+y2-4x-6y+12=0,求(1) x y 的最值;(2)x2+y2 的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值. 活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1 表示以点 C(2,3)为圆心,1 为半径的圆. (1) x y 表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连线的斜率 k, 故当 y=kx 为圆 C 的切线时,k 得最值. ∵ 21 |32| k k   =1,∴k=2± 3 2 3 . ∴ x y 的最大值为 2+ 3 2 3 ,最小值为 2- 3 2 3 . (2)设 x2+y2 表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当 P 为 直线 OC 与圆 C 的两交点 P1、P2 时,OP12 与 OP22 分别为 OP2 的最大值、最小值. ∴x2+y2 的最大值为( 22 32  +1)2=14+2 13 , 最小值为( 22 32  -1)2=14-2 13 . (3)令 x+y=m, 当直线 l:x+y=m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值. ∵ 2 |32| m =1,∴m=5± 2 . ∴x+y 的最大值为 5+ 2 ,最小值为 5- 2 . (4)令 x-y=n, 当直线 l′:x-y=n 与圆 C 相切时,l′在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值. ∵ 2 |32| n =1,∴n=-1± 2 . ∴x-y 的最大值为-1+ 2 ,最小值为-1- 2 . 点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一 个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思 维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力. 本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目. 例 3 已知圆 O 的方程为 x2+y2=9,求过点 A(1,2)所作的弦的中点的轨迹. 活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识. 解法一:参数法(常规方法) 设 过 A 的 弦 所 在 的 直 线 方 程 为 y-2=k(x-1)(k 存 在 时 ),P(x,y), 则      ),2( ,922 kkxy yx 消 y, 得 (1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0. ∴x1+x2= 1 )2(2 2   k kk . 利用中点坐标公式及中点在直线上,得           1 2 , 1 )2( 2 2 k ky k kkx (k 为参数). ∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0,当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点( 2 1 ,1)为圆心, 2 5 为半径的圆. 解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点 A 的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M、N 在圆 O 上,∴      .9 ,9 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx .∴相减得(x1+x2)+ 21 21 xx yy   ·(y1+y2)=0(x1≠x2). 设 P(x,y),则 x= 2 21 xx  ,y= 2 21 yy  . ∴M、N、P、A 四点共线, 21 21 xx yy   = 1 2   x y (x≠1). ∴2x+ 1 2   x y ·2y=0. ∴中点 P 的轨迹方程是 x2+y2-x-2y=0(x=1 时亦正确). ∴点 P 的轨迹是以点( 2 1 ,1)为圆心, 2 5 为半径的圆. 解法三:数形结合(利用平面几何知识) 由垂径定理知 OP⊥PA,故 P 点的轨迹是以 AO 为直径的圆.(下略) 点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即      ,0),( ,0),( yxg yxf 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理 等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便. 基本思路是利用弦的两个端点 M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利 用平方差公式可得 x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2 等.再由弦 MN 的中点 P(x,y)的坐标满足 x= 2 21 xx  ,y= 2 21 yy  , 以及直线 MN 的斜率 k= 21 21 xx yy   (x1≠x2)等,设法消去 x1、x2、y1、y2,即可得弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.用 此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常 简洁. 学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合: ①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形; ②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质; ③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓. （四）知能训练 课本本节练习 1、2、3、4. （五）拓展提升 某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线 l 的垂线 AC 上(C 为垂足),且距 C 分别为 2a 和 a(a＞0)的点 A 和 B,进攻队员沿直线 AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设 AD 和 BM 交于 M,若在 M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的 两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线 AD 应为什么方向才能取胜? 图 5 解:如图 5,以 l 为 x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为 v,则进攻队员速度为 2v,设点 M 坐标 为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点 M 所需时间分别为 t1= v AM 2 || ,t2= v BM || . 若 t1＜t2,则|AM|＜2|BM|,即 2222 )(2)2( ayxayx  . 整理,得 x2+(y- 3 2 a)2＞( 3 2 a)2,这说明点 M 应在圆 E:x2+(y- 3 2 a)2=( 3 2 a)2 以外,进攻队员方能取胜.设 AN 为 圆 E 的切线,N 为切点,在 Rt△AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线 AD 与 AC 所成角大于 30° 即可. （六）课堂小结 1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几 何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结 果“翻译”成几何结论. 2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一 些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图 形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质, 有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化, 减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则； (8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用. 3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质 量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简 单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意 识的培养. （七）作业 习题 4.2 B 组 2、3、5.