【数学】2020届一轮复习苏教版拓展深化2函数零点的若干解法学案

【数学】2020届一轮复习苏教版拓展深化2函数零点的若干解法学案

拓展深化2　函数零点的若干解法 函数的零点是高中数学重要内容之一，也是新课程高考的一大亮点和热点.诸如方程的根的问题、存在性问题与交点问题等都可以转化为零点问题进行处理.近几年高考中频频出现零点问题，形式逐渐多样化，但与函数、导数知识密不可分.以下讨论关于函数零点的若干求解方法.‎ 一、解方程法 ‎【例1】 (2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.‎ 解析　由题意知cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.‎ 答案　3‎ 二、零点存在性定理法 ‎【例2】 (1)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是________(填序号).‎ ‎①；②(1，2)；③(2，e)；④(e，3).‎ ‎(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)(其中n∈N)，则n＝________.‎ 解析　(1)易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)·f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.‎ ‎(2)令g(x)＝x3－22－x，易知g(x)为单调增函数.‎ 又g(1)<0，g(2)>0，‎ 易知函数g(x)的零点所在区间为(1，2)，故n＝1.‎ 答案　(1)③　(2)1‎ 三、数形结合法 ‎【例3】 (2019·海安中学阶段检测)设函数y＝f(x)是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1)时，f(x)＝1－x2；已知函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)在[－5，10]内零点的个数为________.‎ 解析　函数y＝f(x)－g(x)在区间[－5，10]内零点的个数即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x∈[－5，10]时的交点个数，在同一坐标系中作出函数图象如图，当x∈[9，10]时，f(9)＝00，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个.‎ 答案　3‎ ‎2.已知函数f(x)＝则函数f(x)有________个零点.‎ 解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；‎ 当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，‎ 又因为x>1，所以此时方程无解.‎ 综上函数f(x)只有1个零点.‎ 答案　1‎ ‎3.(2019·盐城中学阶段性考试)若函数f(x)＝在其定义域上恰有两个零点，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　当x≤0时，f(x)＝x＋2x单调递增，且f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，函数在(－∞，0]上有1个零点，所以当x>0时，f(x)也有1个零点，当x>0时，f′(x)＝a－，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且当x→0时，f(x)→＋∞，当x>1时，f(x)<0，函数有1个零点，符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，则当f(x)min＝f＝1＋ln a＝0，即a＝时，函数在(0，＋∞)上有1个零点，综上可得实数a的取值范围是(－∞，0]∪.‎ 答案　(－∞，0]∪ ‎4.已知二次函数f(x)的最小值为－4，关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数.‎ 解　(1)∵f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，‎ ‎∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a且a>0.‎ 又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1)＝－4a，‎ ‎∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.‎ ‎(2)∵g(x)＝－4ln x ‎＝x－－4ln x－2(x>0)，‎ ‎∴g′(x)＝1＋－＝ 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  极大值  极小值  当03，‎ 又g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.‎ 故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3，e5).‎