高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第6节-基础达标
第二章 第六节
一、选择题
1．(文)函数 y＝log2x 的图像大致是( )
A B C D
[答案] C
[解析] 考查对数函数的图像．
(理)函数 f(x)＝2|log2x|的图像大致是( )
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝2|log2x|＝
x，x≥1，
1
x
，0
0，且 a≠1)的反函数，其图像经过点( a，a)，则
f(x)＝( )
A．log2x B．1
2x
C．log1
2
x D．x2
[答案] C
[解析] 由题意知 f(x)＝logax，∴a＝logaa
1
2 ＝1
2
，
∴f(x)＝log1
2
x，故选 C．
(理)若点(a，b)在 y＝lgx 图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是( )
A．(1
a
，b) B．(10a,1－b)
C．(10
a
，b＋1) D．(a2,2b)
[答案] D
[解析] 该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假
设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．
由题意知 b＝lga，
对于 A 选项，lg1
a
＝－lga＝－b≠b，
对 B 选项 lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－B．
对 C 选项 lg10
a
＝1－lga＝1－b≠b＋1，
对 D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在图像上．
3．(2015·营口调研)函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(x1)－f(x2)＝1，则f(x21)－f(x22)等于( )
A．2 B．1
C．1
2 D．loga2
[答案] A
[解析] x1>0，x2>0，f(x21)－f(x22)＝logax21－logax22＝2(logax1－logax2)＝2[f(x1)－f(x2)]＝2.
4．设 2a＝5b＝m，且1
a
＋1
b
＝2，则 m＝( )
A． 10 B．10
C．20 D．100
[答案] A
[解析] 由 2a＝5b＝m，则 a＝log2m，b＝log5m，代入1
a
＋1
b
＝2 得 1
log2m
＋ 1
log5m
＝2，则lg2
lgm
＋lg5
lgm
＝2，即lg2＋lg5
lgm
＝2，即 lgm＝1
2
，则 m＝ 10.
5．已知函数 f(x)满足：当 x≥4 时，f(x)＝
1
2 x；当 x<4 时，f(x)＝f(x＋1)，则 f(2＋log23)
＝( )
A． 1
24 B． 1
12
C．1
8 D．3
8
[答案] A
[解析] ∵2<3<4＝22，∴1b>c>0，则fa
a
、fb
b
、fc
c
的大小关系是( )
A．fa
a >fb
b >fc
c B．fc
c >fb
b >fa
a
C．fb
b >fa
a >fc
c D．fa
a >fc
c >fb
b
[答案] B
[解析] ∵fa
a
、fb
b
、fc
c
可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数
f(x)＝log2(x＋1)的图像及 a>b>c>0 可知fc
c >fb
b >fa
a .故选 B．
二、填空题
7．(2014·陕西高考)已知 4a＝2，lgx＝a，则 x＝________.
[答案] 10
[解析] 本题考查指数与对数运算．
4a＝2，∴a＝1
2
，lgx＝a＝1
2
，
∴x＝ 10.
8．(2015·东营质检)已知函数 f(x)＝ 3x＋1，x≤0
log2x，x>0
，则使函数 f(x)的图像位于直线 y＝1
上方的 x 的取值范围是________．
[答案] {x|－12}
[解析] 当 x≤0 时，由 3x＋1>1，得 x＋1>0，即 x>－1.
∴－10 时，由 log2x>1，得 x>2.
∴x 的取值范围是{x|－12}．
9．函数 y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] (等价转化法)令 u＝x2－2x，则 y＝log3u.
∵y＝log3u 是增函数，u＝x2－2x>0 的单调减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的单调减区间是(－∞，0)．
三、解答题
10．已知函数 f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0 且 a≠1.
(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当 a>1 时，求使 f(x)>0 的 x 的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
则 x＋1>0，
1－x>0，
解得－11 时，f(x)在定义域{x|－10⇔x＋1
1－x
>1.
解得 00 的 x 的取值范围是{x|00，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
[答案] B
[解析] B 本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证．A 中，d＝log510，而
ac＝log5b·lgb＝lgb
lg5·lgb＝lgb2
lg5
，∴A 错．B 中，cd＝lgb·log510＝lgb·lg10
lg5
＝lgb
lg5
＝log5b＝a，
选 B．解题时要灵活应用换底公式等．
2．(文)函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为( )
A．1
4 B．1
2
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵y＝ax 与 y＝loga(x＋1)具有相同的单调性．
∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，
∴f(0)＋f(1)＝a，即 a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，
化简得 1＋loga2＝0，解得 a＝1
2.
(理)已知 x＝lnπ，y＝log52，z＝e－1
2
，则( )
A．x1，∴y0，y>0,2x－3y>0，
∴x
y
＝9
4
，
∴log3
2
x
y
＝2.
4．(2014·兰州、张掖联考)函数 f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使 f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)
为整数的数 k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有________个．
[答案] 9
[解析] ∵logn＋1(n＋2)＝lnn＋2
lnn＋1
，
∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝ln3
ln2·ln4
ln3·ln5
ln4·…·lnk＋2
lnk＋1
＝lnk＋2
ln2
＝log2(k＋2)．
∵1 024＝210,2 048＝211，且 log24＝2，∴使 f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有 10－1＝9
个．
三、解答题
5．已知函数 f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数 a，使函数 f(x)在[0,1]上是 x 的减少的，
若存在，求 a 的取值范围．
[分析] 参数 a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对 a 的取值范围的制约．
[解析] ∵a>0，且 a≠1，
∴u＝2－ax 是 x 的减函数．
又 f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]是减少的，
∴函数 y＝logau 是 u 的增函数，且对 x∈[0,1]时，
u＝2－ax 恒为正数．
其充要条件是 a>1
2－a>0
即 1f(1)，且 log2f(x)2，
log2x2－x＋2<2
⇒ x>2 或 0
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