【数学】2021届一轮复习人教版(理)8 幂函数与二次函数

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【数学】2021届一轮复习人教版(理)8 幂函数与二次函数

‎ 幂函数与二次函数 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.已知幂函数f(x)=(m2-‎3m+3)xm+1为偶函数,则m=(  )‎ A.1         B.2‎ C.1或2 D.3‎ A [∵函数f(x)为幂函数,∴m2-‎3m+3=1,即m2-‎3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件;当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件,故选A.]‎ ‎2.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数g(x)=f(x)+的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.4 D.6‎ A [设幂函数f(x)=xα.‎ ‎∵f(x)的图象过点(2,),∴2α=,解得α=-2.‎ ‎∴函数f(x)=x-2,其中x≠0.‎ ‎∴函数g(x)=f(x)+=x-2+ ‎=+≥2=1,‎ 当且仅当x=±时, g(x)取得最小值1.]‎ ‎3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是(  )‎ A   B   C   D C [若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故可排除B.故选C.]‎ ‎4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(  )‎ A.a>0,‎4a+b=0 B.a<0,‎4a+b=0‎ C.a>0,‎2a+b=0 D.a<0,‎2a+b=0‎ A [由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-=2,∴‎4a+b=0,又f(0)>f(1),f(4)>f(1),∴f(x)先减后增,于是a>0,故选A.]‎ ‎5.设x=‎0.20.3‎,y=0.30.2,z=0.30.3,则x,y,z的大小关系为(  )‎ A.x<z<y B.y<x<z C.y<z<x D.z<y<x A [由函数y=0.3x在R上单调递减,可得y>z.由函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,可得x<z.所以x<z<y.]‎ 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为________.‎ ‎(-∞,-6]∪[4,+∞) [由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,‎ 所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,‎ 应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.]‎ ‎7.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为(-,49),且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是________.‎ f(x)=-4x2-12x+40 [设f(x)=a(x+)2+49(a≠0),‎ 方程a(x+)2+49=0的两个实根分别为x1,x2,‎ 则|x1-x2|=14=7,‎ 所以a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.]‎ ‎8.已知函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8 恒成立,‎ 则a的最大值为________.‎ ‎2 [令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,显然g(t)在[,a]上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+‎3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.]‎ 三、解答题 ‎9.求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值.‎ ‎[解] 函数f(x)=-(x-)2+的图象的对称轴为x=,应分<-1,-1≤≤1,>1,即a<-2,-2≤a≤2和a>2三种情形讨论.‎ ‎(1)当a<-2时,由图①可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=-1-a=-(a+1).‎ ‎(2)当-2≤a≤2时,由图②可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f()=.‎ ‎(3)当a>2时,由图③可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-1.‎ 图①   图②   图③‎ 综上可知,f(x)max= ‎10.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] (1)设f(x)=ax2+bx+1(a≠0),‎ 由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.‎ 所以,‎2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1,‎ 因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.‎ ‎(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,‎ 所以在[-1,1]上,x2-x+1>2x+m恒成立,‎ 即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.‎ 所以令g(x)=x2-3x+1=(x-)2-,‎ 因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,‎ 所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).‎ ‎1.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)‎ C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)‎ A [不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,‎ 令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),‎ 所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.]‎ ‎2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:‎ ‎①b2>‎4ac;②‎2a-b=1;③a-b+c=0;④‎5a<b.‎ 其中正确的是(  )‎ A.②④ B.①④‎ C.②③ D.①③‎ B [因为图象与x轴交于两点,所以b2-‎4ac>0,即b2>‎4ac,①正确;‎ 对称轴为x=-1,即-=-1,‎2a-b=0,②错误;‎ 结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;‎ 由对称轴为x=-1知,b=‎2a.‎ 又函数图象开口向下,所以a<0,所以‎5a<‎2a,即‎5a<b,④正确.]‎ ‎3.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈[-2,-]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为________.‎ ‎1 [当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈[-2,-],所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1.所以m-n的最小值是1.]‎ ‎4.已知函数f(x)=x2+(‎2a-1)x-3.‎ ‎(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.‎ ‎[解] (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],‎ 对称轴为x=-∈[-2,3],‎ ‎∴f(x)min=f(-)=--3=-,‎ f(x)max=f(3)=15,‎ ‎∴函数f(x)的值域为[-,15].‎ ‎(2)∵函数f(x)的对称轴为x=-.‎ ‎①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=‎6a+3,‎ ‎∴‎6a+3=1,即a=-,满足题意;‎ ‎②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-‎2a-1,‎ ‎∴-‎2a-1=1,即a=-1,满足题意.‎ 综上可知,a=-或-1.‎ ‎1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为________.‎ ‎(-,-2] [由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3‎ ‎]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈[-,-2],故当m∈(-,-2]时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.]‎ ‎2.是否存在实数a∈[-2,1],使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] f(x)=(x-a)2+a-a2,‎ 当-2≤a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,‎ ‎∴由得a=-1(舍去);‎ 当-1≤a≤0时,由得a=-1;‎ 当0<a≤1时,由得a不存在;‎ 综上可得,存在实数a满足题目条件,a=-1.‎
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