【数学】2020届一轮复习苏教版任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

【数学】2020届一轮复习苏教版任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

考试内容 等级要求 三角函数的概念 B 同角三角函数的基本关系式 B 三角函数的诱导公式 B 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 B 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 A 两角和(差)的正弦、余弦及正切 C 二倍角的正弦、余弦及正切 B 正弦定理、余弦定理及其应用 B ‎§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数 考情考向分析　以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以填空题为主，低档难度．‎ ‎1．任意角 ‎(1)角的概念的推广 ‎①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．‎ ‎②按终边位置不同分为象限角和轴线角．‎ ‎(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．‎ ‎(3)弧度制 ‎①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．‎ ‎②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．‎ ‎③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．‎ ‎④弧长公式：l＝|α|r.‎ ‎2．任意角的三角函数 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)．‎ 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ 三个三角函数的性质如下表：‎ 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ‎＋‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ cos α R ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ tan α ‎{α|α≠kπ＋，k∈Z}‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎3.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.‎ 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 概念方法微思考 ‎1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．‎ 提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？‎ 提示　设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　)‎ ‎(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　√　)‎ ‎(3)不相等的角终边一定不相同．(　×　)‎ ‎(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P10T6]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．‎ 答案　－　二 ‎3．[P14例1]若角α的终边经过点Q，则sin α＝________，cos α＝________.‎ 答案　　－ ‎4．[P10T8]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为________弧度．‎ 答案　 题组三　易错自纠 ‎5．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．‎ 答案　 解析　与角－终边相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得与角－终边相同的角是.‎ ‎6．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．‎ 答案　 解析　因为点P在第四象限，‎ 所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，‎ 又θ∈，所以θ＝.‎ ‎7．函数y＝的定义域为____________________________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　∵2cos x－1≥0，‎ ‎∴cos x≥.‎ 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，‎ ‎∴x∈(k∈Z)．‎ 题型一　角及其表示 ‎1.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，‎ ‎∴所求角的集合为(k∈Z)．‎ ‎2．设集合M＝，N＝，那么集合M，N的关系是________．‎ 答案　M⊆N 解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；‎ 而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.‎ ‎3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．‎ 答案　 解析　如图，‎ 在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；‎ 在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.‎ ‎4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．‎ 答案　一或三 解析　∵α是第二象限角，‎ ‎∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．‎ 综上，是第一或第三象限角．‎ 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．‎ ‎(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．‎ 题型二　弧度制及其应用 例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积．‎ 解　由已知得α＝，R＝10 cm，‎ ‎∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)．‎ 引申探究 ‎1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．‎ 解　l＝α·R＝×10＝(cm)，‎ S弓形＝S扇形－S三角形 ‎＝·l·R－·R2·sin ‎＝··10－·102·＝(cm2)．‎ ‎2．若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ 解　由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(00.则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－2,3]‎ 解析　∵cos α≤0，sin α>0，‎ ‎∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．‎ ‎∴　∴－2cos x成立的x的取值范围是________．‎ 答案　 解析　当x∈时，sin x>0，cos x≤0，显然sin x>cos x成立；当x∈时，如图，‎ OA为x的终边，此时sin x＝MA，cos x＝OM，sin x≤cos x；当x∈时，如图，OB为x的终边，此时sin x＝NB，cos x＝ON，sin x>cos x．同理当x∈时，sin x>cos x；当x∈时，sin x≤cos x.‎ ‎1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．‎ 答案　三 解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．‎ ‎2．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．‎ 答案　 解析　设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，∴圆心角的弧度数是＝.‎ ‎3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．‎ 答案　1或4‎ 解析　设扇形的半径为r，弧长为l，‎ 则解得或 从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.‎ ‎4．(2018·无锡期末)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________．‎ 答案　10‎ 解析　根据三角函数的定义，得tan α＝＝－，‎ 所以x＝10.‎ ‎5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．‎ 答案　 解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝，‎ 所以cos α＝＝－，解得m＝±，‎ 又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，‎ 所以m＝.‎ ‎6．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由已知tan α＝3，∴n＝3m，‎ 又m2＋n2＝10，∴m2＝1.‎ 又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.‎ ‎7．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．‎ 答案　 解析　点P旋转的弧度数也为，‎ 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.‎ ‎8．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限．‎ 答案　三 解析　∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．‎ ‎9．若α是第三象限角，则y＝＋＝________.‎ 答案　0‎ 解析　由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角．‎ 当是第二象限角时，y＝＋＝1－1＝0；‎ 当是第四象限角时，y＝＋＝－1＋1＝0.‎ 综上可知，y＝0.‎ ‎10．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．‎ 答案　 解析　由题意知，点P，r＝1，所以点P在第四象限，‎ 根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，‎ 故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.‎ ‎11．给出下列命题：‎ ‎①第二象限角大于第一象限角；‎ ‎②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；‎ ‎③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；‎ ‎④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；‎ ‎⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ 答案　③‎ 解析　举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．‎ 综上可知，只有③正确．‎ ‎12．函数y＝ 的定义域为________________．‎ 答案　，k∈Z 解析　利用三角函数线(如图)，‎ 由sin x≥，可知 ‎2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.‎ ‎13.如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B(xB，yB)，设∠BAO＝β，若sin β＝，则点B的坐标为________．‎ 答案　 解析　由sin α＝，r＝1，得yB＝sin α＝sin＝－cos 2β＝2sin2β－1＝2×2－1＝.‎ 由α为钝角，知xB＝cos α＝－＝－.‎ 所以B.‎ ‎14．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________.‎ 答案　± 解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0，知sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.‎ ‎15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米．(结果保留整数，≈1.73)‎ 答案　5‎ 解析　如题图2，由题意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×3＝，可得CD＝3－＝，‎ 由AD＝AO·sin ＝3×＝，可得AB＝2AD＝＝3.‎ 所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×＝＋≈5(平方米)．‎ ‎16.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．‎ ‎(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；‎ ‎(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．‎ 解　(1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，‎ 此时∠BOA的弧度为＋3.‎ ‎(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝，‎ 即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．‎