北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第3节

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第3节

第四章 第三节 一、选择题 1．已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 sin2α＝( ) A．－1 B．－ 2 2 C． 2 2 D．1 [答案] A [解析] 将 sinα－cosα＝ 2两端同时平方得，(sinα－cosα)2＝2， 整理得 1－2sinαcosα＝2， 于是 sin2α＝2sinαcosα＝－1，故选 A． 2．如果 cos2α－cos2β＝a，则 sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A．－a 2 B．a 2 C．－a D．a [答案] C [解析] sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β ＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－A． 3．已知 tanα＝1 2 ，则cos2α＋sin2α＋1 cos2α 等于( ) A．3 B．6 C．12 D．3 2 [答案] A [解析] cos2α＋sin2α＋1 cos2α ＝2cos2α＋2sinα·cosα cos2α ＝2＋2tanα＝3.故选 A． 4．(文)若 cosα＝－4 5 ，α是第三象限的角，则 sin(α＋π 4)＝( ) A．－7 2 10 B．7 2 10 C．－ 2 10 D． 2 10 [答案] A [解析] 由于α是第三象限角且 cosα＝－4 5 ， ∴sinα＝－3 5 ， ∴sin(α＋π 4)＝sinαcosπ 4 ＋cosαsinπ 4 ＝ 2 2 (－4 5 －3 5)＝－ 7 10 2. (理)若 sinα＝3 5 ，α∈(－π 2 ，π 2)，则 cos(α＋5π 4 )＝( ) A．－7 2 10 B．－ 2 10 C． 2 10 D． 2 10 [答案] B [解析] 由α∈(－π 2 ，π 2)，sinα＝3 5 可得 cosα＝4 5 ， 由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π 4 )＝－ 2 2 (cosα－sinα)＝－ 2 10 ，故选 B． 5．4cos50°－tan40°＝( ) A． 2 B． 2＋ 3 2 C． 3 D．2 2－1 [答案] C [解析] 本题考查非特殊角三角函数的求值问题． 4cos50°－tan40°＝4cos50°cos40°－sin40° cos40° ＝4cos50°sin50°－sin40° cos40° ＝2sin100°－sin40° cos40° ＝2sin60°＋40°－sin40° cos40° ＝2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40° cos40° ＝ 3cos40°＋sin40°－sin40° cos40° ＝ 3. 6．函数 f(x)＝sin2x＋ 3sinxcosx 在区间[π 4 ，π 2]上的最大值是( ) A．1 B．1＋ 3 2 C．3 2 D．1＋ 3 [答案] C [解析] f(x)＝1－cos2x 2 ＋ 3 2 sin2x＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ， 又 x∈ π 4 ，π 2 ，∴2x－π 6 ∈ π 3 ，5π 6 ， f(x)max＝1＋1 2 ＝3 2 ，故选 C． 二、填空题 7．(2014·陕西高考)设 0<θ<π 2 ，向量 a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若 a·b＝0，则 tanθ＝________. [答案] 1 2 [解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等． ∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即 cosθ(2sinθ－cosθ)＝0. 又 0<θ<π 2 ， ∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝1 2. 8．已知 cosα＝1 7 ，cos(α＋β)＝－11 14 ，α、β∈ 0，π 2 ， 则β＝________. [答案] π 3 [解析] ∵α、β∈ 0，π 2 ，∴α＋β∈(0，π)， ∴sinα＝4 3 7 ，sin(α＋β)＝5 3 14 ， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝1 2 ， ∵0<β<π 2 ，∴β＝π 3. 9．函数 f(x)＝sin(2x－π 4)－2 2sin2x 的最小正周期是________． [答案] π [解析] f(x)＝sin(2x－π 4)－2 2sin2x ＝sin(2x－π 4)－ 2(1－cos2x) ＝sin(2x－π 4)＋ 2cos2x－ 2 ＝sin2xcosπ 4 －cos2xsinπ 4 ＋ 2cos2x－ 2 ＝ 2 2 sin2x＋ 2 2 cos2x－ 2＝sin(2x＋π 4)－ 2， 所以 T＝2π ω ＝2π 2 ＝π. 三、解答题 10．(文)(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且 f(π 4)＝0，其 中 a∈R，θ∈(0，π)． (1)求 a，θ的值； (2)若 f(α 4)＝－2 5 ，α∈(π 2 ，π)，求 sin(α＋π 3)的值． [解析] (1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数 ∴f(0)＝0，即(a＋2)·cosθ＝0 ① 又∵f(π 4)＝0， ∴(a＋2·1 2)·cos(π 2 ＋θ)＝0， 即－(a＋1)sinθ＝0 ②. ∵θ∈(0，π)，∴sinθ≠0 由②可知，a＝－1， 代入①得 cosθ＝0.∴θ＝π 2. ∴a＝－1，θ＝π 2. (2)∵a＝－1，θ＝π 2 ， ∴f(x)＝(－1＋2cos2x)cos(2x＋π 2) ＝(－1＋2cos2x)(－sin2x) ＝－cos2x·sin2x ＝－1 2sin4x. ∵f(α 4)＝－2 5 ， ∴－1 2·sin(4·α 4)＝－2 5 ， ∴sinα＝4 5. ∵α∈(π 2 ，π)，∴cosα<0，∴cosα＝－3 5 ， ∴sin(α＋π 3)＝sinα·cosπ 3 ＋cosα·sinπ 3 ＝4 5·1 2 －3 5· 3 2 ＝4－3 3 10 . (理)(2014·广东高考)已知函数 f(x)＝Asin(x＋π 4)，x∈R，且 f(5π 12)＝3 2. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝3 2 ，θ∈(0，π 2)，求 f(3π 4 －θ)． [解析] (1)f(5π 12)＝Asin(5π 12 ＋π 4)＝3 2 ， ∴A× 3 2 ＝3 2 ， ∴A＝ 3. (2)f(θ)＋f(－θ)＝ 3sin(θ＋π 4)＋ 3sin(－θ＋π 4)＝3 2 ， ∴ 3[ 2 2 (sinθ＋cosθ)＋ 2 2 (－sinθ＋cosθ)]＝3 2. ∴ 6cosθ＝3 2 ，∴cosθ＝ 6 4 ， 又∵θ∈(0，π 2)，∴sinθ＝ 1－cos2θ＝ 10 4 ， ∴f(3 4π－θ)＝ 3sin(π－θ)＝ 3sinθ＝ 30 4 . 一、选择题 1．(文)在△ABC 中，C＝120°，tanA＋tanB＝2 3 3，则 tanAtanB 的值为( ) A．1 4 B．1 3 C．1 2 D．5 3 [答案] B [解析] tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝ 3， ∴tan(A＋B)＝ tanA＋tanB 1－tanAtanB ＝ 3，即 2 3 3 1－tanAtanB ＝ 3. 解得 tanAtanB＝1 3 ，故选 B． (理)若α，β∈ 0，π 2 ，cos α－β 2 ＝ 3 2 ，sin α 2 －β ＝－1 2 ，则 cos(α＋β)的值等于( ) A．－ 3 2 B．－1 2 C．1 2 D． 3 2 [答案] B [解析] ∵sin α 2 －β ＝－1 2 ，α 2 －β∈ －π 2 ，π 4 ∴α 2 －β＝－π 6 ① ∵cos α－β 2 ＝ 3 2 ，α，β∈ 0，π 2 ， ∴α－β 2 ∈ －π 4 ，π 2 ，∴α－β 2 ＝－π 6 或π 6 ② 由①②有 α＝π 3 β＝π 3 或 α＝－π 9 β＝π 9 (舍去)， ∴cos(α＋β)＝cos2π 3 ＝－1 2. 2．已知向量 a＝(sin(α＋π 6)，1)，b＝(4,4cosα－ 3)，若 a⊥b，则 sin(α＋4π 3 )＝( ) A．－ 3 4 B．－1 4 C． 3 4 D．1 4 [答案] B [解析] a·b＝4sin(α＋π 6)＋4cosα－ 3＝2 3sinα＋6cosα－ 3＝4 3sin(α＋π 3)－ 3＝0， ∴sin(α＋π 3)＝1 4. ∴sin(α＋4π 3 )＝－sin(α＋π 3)＝－1 4.故选 B． 二、填空题 3．(2014·全国大纲卷)函数 y＝cos2x＋2sinx 的最大值为________． [答案] 3 2 [解析] 本题考查三角函数的性质及三角恒变换． y＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－1 2)2＋3 2 ， 当 sinx＝1 2 时，ymax＝3 2. 4．函数 y＝sin x＋π 3 sin x＋π 2 的最小正周期 T＝______. [答案] π [解析] 解法 1：f(x)＝sin x＋π 3 sin x＋π 2 ＝－1 2 cos 2x＋5π 6 －cos －π 6 ＝－1 2cos 2x＋5π 6 ＋ 3 4 .∴T＝π. 解法 2：y＝ 1 2sinx＋ 3 2 cosx cosx ＝1 4sin2x＋ 3 4 cos2x＋ 3 4 ＝1 2sin 2x＋π 3 ＋ 3 4 ，∴T＝π. 三、解答题 5．(文)已知函数 f(x)＝ 2cos(x－ π 12)，x∈R. (1)求 f(π 3)的值； (2)若 cosθ＝3 5 ，θ∈(3π 2 ，2π)，求 f(θ－π 6)． [解析] (1)f(π 3)＝ 2cos(π 3 － π 12)＝ 2cosπ 4 ＝1. (2)∵cosθ＝3 5 ，θ∈(3π 2 ，2π)，∴sinθ＝－ 1－cos2θ＝－4 5. ∴f(θ－π 6)＝ 2cos(θ－π 4) ＝ 2(cosθcosπ 4 ＋sinθsinπ 4)＝－1 5. (理)已知函数 f(x)＝tan(2x＋π 4)． (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α∈(0，π 4)，若 f(α 2)＝2cos2α，求α的大小． [解析] (1)由 2x＋π 4 ≠π 2 ＋kπ，k∈Z，得 x≠π 8 ＋kπ 2 ，k∈Z， 所以 f(x)的定义域为 x∈R|x≠π 8 ＋kπ 2 ，k∈Z . f(x)的最小正周期为π 2. (2)由 f α 2 ＝2cos2α，得 tan α＋π 4 ＝2cos2α， sin α＋π 4 cos α＋π 4 ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得sinα＋cosα cosα－sinα ＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． 因为α∈ 0，π 4 ，所以 sinα＋cosα≠0. 因此(cosα－sinα)2＝1 2 ，即 sin2α＝1 2. 由α∈ 0，π 4 ，得 2α∈ 0，π 2 . 所以 2α＝π 6 ，即α＝ π 12. 6．已知3 4π<α<π，tanα＋ 1 tanα ＝－10 3 . 求 5sin2α 2 ＋8sinα 2cosα 2 ＋11cos2α 2 －8 2sinα－π 2  的值． [解析] ∵tanα＋ 1 tanα ＝－10 3 ， ∴3tan2α＋10tanα＋3＝0， 解得 tanα＝－3 或 tanα＝－1 3. 又∵3π 4 <α<π，∴tanα＝－1 3. ∴ 5sin2α 2 ＋8sinα 2cosα 2 ＋11cos2α 2 －8 2sinα－π 2  ＝ 5·1－cosα 2 ＋4sinα＋11·1＋cosα 2 －8 － 2cosα ＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16 －2 2cosα ＝8sinα＋6cosα －2 2cosα ＝8tanα＋6 －2 2 ＝－5 2 6 .