2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性

www.ks5u.com 第3节　函数的奇偶性与周期性 考试要求　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 ‎2.函数的周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).‎ ‎2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).‎ ‎(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数).‎ ‎4.对称性的三个常用结论 ‎(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　)‎ ‎(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)‎ ‎(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)‎ ‎(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.(　　)‎ 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.‎ ‎(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.‎ 答案　B ‎3.(老教材必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.‎ 解析　由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.‎ 答案　1‎ ‎4.(2020·济南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A.－ B. C. D.－ 解析　由题意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，‎ 解得a＝，则a＋b＝.‎ 答案　B ‎5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)‎ A.e－x－1 B.e－x＋1‎ C.－e－x－1 D.－e－x＋1‎ 解析　由题意知，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1.‎ 答案　D ‎6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.‎ 解析　由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－2 017)＋f(2 018)＝f(－2 016－1)＋f(0)＝f(－1)＋f(0)＝f(1)＋f(0)＝e－1.‎ 答案　e－1‎ 考点一　函数的奇偶性及其应用　多维探究 角度1　函数奇偶性的判断 ‎【例1－1】 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝ ‎(3)f(x)＝log2(x＋).‎ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ 从而f(x)＝＋＝0.‎ 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.‎ ‎∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为R，‎ f(－x)＝log2(－x＋)＝log2(－x)‎ ‎＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)，‎ 故f(x)为奇函数.‎ 规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.‎ 角度2　函数奇偶性的应用 ‎【例1－2】 (1)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为(　　)‎ A.2 B.1 C.6 D.3‎ ‎(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.‎ 解析　(1)因为f(x)＝＝3－，‎ 所以f(x)－3＝－，∴f(t＋1)－3＝－，t∈[－4，4].‎ 又f(t＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也是p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6.‎ ‎(2)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，‎ 即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，‎ 故f(x)＝2x－1(x≥0)，‎ 则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.‎ 答案　(1)C　(2)－7‎ 规律方法　利用函数奇偶性可以解决以下问题：‎ ‎(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.‎ ‎(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.‎ ‎(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.‎ ‎(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.‎ ‎(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)＝＋b(a>0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性(　　)‎ A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关 C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关 ‎(2)(角度2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________ .‎ 解析　(1)f(－x)＝＋b＝＋b≠f(x)，‎ 所以f(x)一定不是偶函数；‎ 设f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知f(－x)＋f(x)＝0.‎ 即＋b＋＋b＝＋2b＝－2＋2b＝0，解得b＝1，‎ 即当b＝1时，f(x)为奇函数，‎ 当b≠1时，f(x)为非奇非偶函数，‎ 所以f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关.‎ ‎(2)由于f(－x)＝f(x)，‎ 即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，‎ 化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，‎ 解得a＝－.‎ 答案　(1)D　(2)－ 考点二　函数的周期性及其应用 ‎【例2】 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f＝(　　)‎ A. B. C.1 D. ‎(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈(1，4]时，f(x)＝3x ‎－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.‎ 解析　(1)因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.‎ 所以f＝f＝f＝f，‎ 又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，‎ 所以f＝2sin ＝1.‎ ‎(2)由题意，得f(1)＝f(4)＝11，f(2)＝5，f(3)＝8.‎ 故f(1)＋f(2)＋f(3)＝24，‎ 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝33×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(33×3＋1)＝803.‎ 答案　(1)C　(2)803‎ 规律方法　1.注意周期性的常见表达式的应用.‎ ‎2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).‎ ‎【训练2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.‎ ‎(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.‎ 解析　(1)由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4).又f(2)＝2－，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.‎ ‎(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，‎ 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.‎ 又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，‎ 故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.‎ 答案　(1)－2－　(2)7‎ 考点三　函数性质的综合运用　多维探究 角度1　函数的单调性与奇偶性 ‎【例3－1】 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.af(2x－1)成立的x的取值范围为________________.‎ 解析　(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，‎ ‎∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.‎ ‎∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.‎ 又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.‎ ‎(2)由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，‎ 由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).‎ 当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，‎ 因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.‎ 由f(|x|)>f(|2x－1|，可得|x|>|2x－1|，‎ 两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，‎ 解得f(x2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如x1x2)求解.‎ 角度2　函数的奇偶性与周期性 ‎【例3－2】 (1)(2020·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 023)＝(　　)‎ A.20192 B.1 C.0 D.－1‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(－1，4) B.(－2，0)‎ C.(－1，0) D.(－1，2)‎ 解析　(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)，又函数y＝f(x)为奇函数，且x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2 023)＝－1.‎ ‎(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.‎ ‎∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.‎ 从而<1，解得－13的解集为(　　)‎ A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)‎ C.(－2，2) D.(－4，4)‎ 解析　由题意，f(0)＝log22＋b＝0，解得b＝－1.‎ 所以f(x)＝log2(x＋2)＋x－1，f(2)＝3，且在R上单调递增，又|f(x)|>3，所以|f(x)|>f(2)，即f(x)>f(2)或f(x)2或x<－2.‎ 答案　A 数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.‎ 类型1　奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.‎ ‎【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ 解析　显然函数f(x)的定义域为R，‎ 且f(x)＝＝1＋，‎ 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，‎ ‎∴g(x)为奇函数，‎ 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，‎ ‎∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.‎ 答案　2‎ 类型2　抽象函数的周期性 ‎　(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.‎ ‎(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.‎ ‎(3)如果f(x＋a)＝－(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.‎ ‎(4)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.‎ ‎【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝(　　)‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，‎ 所以f(－2 023)＝－f(2 023)，‎ 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，‎ 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.‎ 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，‎ ‎∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，‎ f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.‎ 故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.‎ 答案　C 类型3　抽象函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数.‎ ‎(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.‎ ‎【例3】 已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[－3，1] B.(－∞，－3)∪[1，＋∞)‎ C.[－4，2] D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)‎ 解析　由于f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，‎ 因此函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称.‎ 由f(x)在[1，＋∞)上递减，知f(x)在(－∞，1]上递增.‎ 又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，‎ ‎①当m＋2≤1，即m≤－1时，f(m＋2)≥f(x－1)对x∈[－1，0]恒成立，‎ 则有m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，∴－3≤m≤－1，‎ ‎②当m＋2>1，即m>－1时，f(m＋2)≥f(x－1)＝f(3－x)，‎ 则有m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，则－1f(3) B.f(2)>f(5)‎ C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)‎ 解析　∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，‎ 因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，‎ ‎∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).‎ 又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).‎ 答案　D ‎5.定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)‎ A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0‎ C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0‎ 解析　当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0.‎ 又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.‎ 由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f的值为________.‎ 解析　由已知可得f＝ln ＝－2，‎ 所以f＝f(－2).又f(x)是奇函数，‎ 所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.‎ 答案　－ln 2‎ ‎7.奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________.‎ 解析　由于f(x)在[3，6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.‎ 答案　9‎ ‎8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________.‎ 解析　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f，‎ 由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ 答案　 ‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)＝是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知所以10，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.‎ 解析　因为f(x)>0，f(x＋2)＝，‎ 所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，‎ 则函数f(x)的周期是4，‎ 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1).‎ 因为函数f(x)为偶函数，‎ 所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1).‎ 当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.‎ 由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.‎ 答案　1‎ ‎14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.‎ 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，‎ f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x).‎ 故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.‎ 当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ C级　创新猜想 ‎15.(开放多填题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有 ‎①2是函数f(x)的周期；‎ ‎②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；‎ ‎③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.‎ 其中所有正确命题的序号是________.‎ 解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，‎ 则有f(t＋2)＝f(t)，‎ 因此2是函数f(x)的周期，故①正确；‎ 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，‎ 根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；‎ 由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.‎ 答案　①②‎