【数学】2018届一轮复习人教A版2-4探求三角形最值范围的各类妙法小题大做学案

【数学】2018届一轮复习人教A版2-4探求三角形最值范围的各类妙法小题大做学案

专题2.4 探求三角形最值范围的各类妙法 一、 典例分析，融合贯通 ‎ 题型一 与角有关的最值或范围问题 典例1设△ABC的内角为A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求tan(A－B)的最大值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）‎ 由正弦定理得 sinAcosB－sinBcosA＝sinC ‎＝(sinAcosB＋sinBcosA)， ‎ 所以sinAcosB＝4sinBcosA，‎ 故＝4．‎ 解2：（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜A＜B＜．‎ sinAcosB－sinBcosA＝sinC ‎＝sin(A－B)， ‎ 所以sin(A－B)的最大值为，‎ 故tan(A－B)的最大值为．‎ 解3：由tanA＝4tanB得：‎ 作CH⊥AB于H，则4AH＝BH．在BH上取一点A1，使A1H＝AH,‎ 则∠A＝∠AA‎1C，所以A－B＝∠AA‎1C－∠ABC＝∠BCA1．‎ 显然，当过A1，B的圆与CH相切于C1时，∠BC‎1A1为∠BCA1的最大值．‎ 题型二 与边有关的最值或范围问题 例3已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为____．‎ 解3：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，‎ 整理可得a2＝b2＋c2－bc，‎ 由余弦定理得 cosA＝，所以A＝．‎ 因为a＝2，所以A在 以BC为弦，以为半 径的圆上，所以△ABC面 积的最大值为． ‎ ‎【变式训练】△ABC中，A＝，a＝2，求2b＋c的最大值．‎ 解1：由正弦定理可得 ‎2b＋c＝(2sinB＋sinC)‎ ‎＝[2sin(C＋)＋sinC]＝(2sinC＋cosC)‎ ‎＝sin(C＋φ)．‎ 故2b＋c的最大值为．‎ 解2：＝＝．‎ 令＝t，t＞0，‎ f (t)＝＝＝－＋1， ‎ 所以＝，即t＝时，取得最小值，‎ 所以2b＋c此时取得最大值．‎ ‎【点睛】(1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式综合使用是高考命题的趋势，解题时要综合分析其中的数量关系，得出方程，通过解方程求得目标值．(2)解三角形中范围问题的基本思路：把求解目标化为三角形一个内角的三角函数，利用三角函数的性质及基本不等式得出目标的范围．‎ 一、 精选试题，能力升级 ‎1．在中，角的对边分别为，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由正弦定理，‎ 又∵，∴ ∴ ∴ ‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得， ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎∴∴‎ 故的取值范围为。 ‎ ‎2．在中， .‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎ 3．的内角的对边分别为.‎ ‎（1）若，求面积的最大值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【解析】：（1)由余弦定理得，即，所以 ‎，‎ 因为，所以，即 (当且仅当时，等号成立），‎ 所以，故面积的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎4．在 中， 分别是角 的对边，且 ．‎ ‎ （1）求 的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【解析】：（1）由2cosAcosC(1－tanAtanC)＝1， ‎ 得． ‎ ‎∴． ∴． ‎ ‎∴ ． 又 , ∴． ‎ ‎（2）‎ 又b＝， ∴ ． ‎ 所以当且仅当时，有最大值为 ‎5．已知，‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设的内角满足，而，求证： .‎ ‎【解析】：（1）‎ ‎ ‎ ‎6．设函数.‎ ‎（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；‎ ‎（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值. ‎ ‎（1） ‎ ‎= ‎ ‎ 的最大值为2． ‎ 要使取最大值 ,‎ 故的集合为 .‎ ‎（2） , ‎ 化简得 ,‎ ‎，只有 ‎ 在 中，由余弦定理， ,‎ 由 当 时等号成立， 最小为1. ‎ ‎7． 在中，角的对边分别为，满足 ．‎ ‎(Ⅰ)求角 的大小 ‎(Ⅱ)若，求的周长最大值．‎ ‎ (II)由（I）得，由正弦定理得 所以 的周长 ‎ ‎ ‎ 当时， 的周长取得最大值为9． ‎ ‎8．在中，内角的对边分别是，满足 ．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若且，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎9．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△中，角的对边分别为，若为锐角且， ，求的取值范围.‎ ‎【解析】：（1）函数变形 ‎，即，令，解得，所以单调增区间 ‎（2）， ‎ ‎ 所以 ‎ 解得，又，在△中， ，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。 ‎ ‎10．在中， ， ， 分别为内角， ， 的对边，且， ， 成等比数列．‎ ‎（1）求角的取值范围；‎ ‎（2）若关于的不等式 恒成立，求的取值范围．‎ 所以的取值范围为