【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第2节　等差数列及其前n项和教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第2节　等差数列及其前n项和教案

第二节　等差数列及其前n项和 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第80页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎[知识拓展]　{an}为等差数列，Sn是{an}前n项和 ‎(1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0，‎ ‎(2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)，‎ ‎(3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)‎ A．－1　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．－2‎ D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．]‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．6‎ B　[由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B．]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7‎ C．9 D．11‎ A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]‎ ‎5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.‎ ‎180　[由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.]‎ ‎(对应学生用书第81页)‎ 等差数列的基本运算 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1　　　 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. ‎ ‎【导学号：97190171】‎ ‎(1)C　(2)－72　[(1)设{an}的公差为d，则 由 得解得d＝4.‎ 故选C．‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]‎ ‎[规律方法]　解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.‎ (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.‎ (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．15‎ ‎(2)[数学文化]‎ ‎《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为(　　)‎ A． B． C． D． ‎(1)B　(2)A　[(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得 ‎∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.‎ ‎(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设公差为d，则30×5＋×d＝390，解得d＝，则a2＝a1＋d＝，故选A．]‎ 等差数列的判定与证明 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ ‎[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2.‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ‎＝2＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．‎ ‎[规律方法]　等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明.‎ (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明.‎ (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎[跟踪训练]　(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎①求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎②求数列{an}中的通项公式an.‎ ‎(1)A　[由已知式＝＋可得 －＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]‎ ‎(2)①证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，‎ bn＝.‎ 所以n≥2时，bn－bn－1＝－ ‎＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎②由(1)知，bn＝n－，‎ 则an＝1＋＝1＋.‎ 等差数列的性质及最值 ‎　(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，则数列{an}的前9项的和S9等于(　　)‎ A．66 B．99‎ C．144 D．297‎ ‎(2)在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝________，Sn的最大值为________. 【导学号：97190172】‎ ‎(1)B　(2)10或11　55　[(1)根据等差数列的性质知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故选B．‎ ‎(2)法一：因为a1＝10，S9＝S12，‎ 所以9×10＋d＝12×10＋d，‎ 所以d＝－1.‎ 所以an＝－n＋11.‎ 所以a11＝0，即当n≤10时，an＞0，‎ 当n≥12时，an＜0，‎ 所以当n＝10或11时，Sn取得最大值，且最大值为S10＝S11＝10×10＋×(－1)＝55.‎ 法二：同法一求得d＝－1.‎ 所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋n ‎＝－＋.‎ 因为n∈N*，所以当n＝10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10＝S11＝55.‎ 法三：同法一求得d＝－1.‎ 又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0.‎ 所以3a11＝0，即a11＝0.‎ 所以当n＝10或11时，Sn有最大值．‎ 且最大值为S10＝S11＝55.]‎ ‎[规律方法]　1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ 易错警示：易忽视n∈N＋.‎ (2)邻项变号法.‎ ‎①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎[跟踪训练]　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D． ‎(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.‎ ‎(1)A　(2)200　[＝＝＝×＝1.‎ ‎(2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.]‎