【数学】2020届一轮复习人教A版与圆有关的最值问题学案

【数学】2020届一轮复习人教A版与圆有关的最值问题学案

问题32 与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.‎ 二、经验分享 ‎1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．‎ ‎2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展 ‎1.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.‎ ‎2.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.‎ ‎3.设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.‎ 四、题型分析 ‎(一) 与圆相关的最值问题的联系点 ‎1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式＝(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.‎ 处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,＋∞)；当α＝时,斜率不存在；当α∈时,斜率k∈(－∞,0)．‎ ‎【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,且.设直线的倾斜角为,当时,则,所以倾斜角的范围为.当时,则,所以倾斜角的范围为.‎ ‎【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围． ‎ ‎【小试牛刀】若过点的直线与圆有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当过点的直线与圆 相切时,设斜率为,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得或,故直线的倾斜角的取值范围是,所以B选项是正确的.‎ ‎1.2 与距离有关的最值问题 在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.‎ ‎【例2】 过点的直线与圆：交于两点,为圆心,当最小时,直线的方程是 　　．‎ 答案: ‎ 解析：要使最小,由余弦定理可知,需弦长最短.要使得弦长最短,借助结论可知当为弦的中点时最短.因圆心和所在直线的,则所求的直线斜率为,由点斜式可得.‎ ‎【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.‎ ‎【例3】若圆：关于直线对称,则由点向圆C所作的切线长的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆C：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为．‎ 圆C：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,‎ 即a=b+3．‎ 点（a,b）与圆心的距离, ,‎ 所以点（a,b）向圆C所作切线长：‎ 当且仅当b=-1时弦长最小,为4‎ ‎【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．‎ ‎【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，‎ 则点到焦点的距离为，则，‎ 所以抛物线方程：，‎ 设，圆，圆心为，半径为1，‎ 则，‎ 当时，取得最小值，最小值为，‎ 故选D.‎ ‎1.3 与面积相关的最值问题 ‎ 与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.‎ ‎【例4】 在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线：.因为,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,为准线的抛物线.圆C半径最小值为,圆面积的最小值为选A.‎ ‎【例5】动圆C经过点,并且与直线相切,若动圆C与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 ‎【答案】D ‎【解析】设圆心为,半径为, ,即,即,∴圆心为,,圆心到直线的距离为,∴‎ 或,当时, ,∴.‎ ‎【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O为坐标原点，直线．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（ ）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，‎ 又由直线，可知，即点D为OC的中点，‎ 所以,设，又由，‎ 所以，‎ 又由当，此时直线，使得的最小角为，即 当时，此时的最大值为2，故选C。‎ ‎(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 ‎2.1 数形结合法 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.‎ ‎【例6】已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0,求：‎ ‎(1)的最大值和最小值；‎ ‎(2)y－x的最大值和最小值；‎ ‎(3)x2＋y2的最大值和最小值．‎ ‎【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型 ‎【解析】原方程变形为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r＝的圆．‎ ‎(1)设＝k,即y＝kx,由题知,直线y＝kx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径.‎ ‎∴≤.∴k2≤3,即－≤k≤,∴的最大值为,最小值为－.‎ ‎(2)设y－x＝b,则当直线y－x＝b与圆相切时,b取最值,由＝,得b＝－2±,‎ ‎∴y－x的最大值为－2,最小值为－2－.‎ ‎(3)令d＝表示原点与点(x,y)的距离,‎ ‎∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴dmax＝2＋,dmin＝2－.‎ ‎∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4,最小值为(2－)2＝7－4.‎ ‎【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．　　‎ ‎【小试牛刀】已知直线和曲线,点在直线上,若直线与曲线至少有一个公共点,且,则点的横坐标的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,依题意有圆心到直线的距离,即,解得.‎ ‎2.2 建立函数关系求最值 ‎ 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.‎ ‎【例7】设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径.设.圆心到椭圆的最大距离.所以两点间的最大距离是.故选D.‎ ‎2.3 利用基本不等式求解最值 ‎ 如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如或者的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.‎ ‎【例8】 设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是 .‎ ‎【分析】根据,可用均值不等式求最值 ‎【解析】易得.设,则消去得：,所以点P在以AB为直径的圆上,,所以,.‎ ‎【小试牛刀】设,若直线与圆相切,则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得 ‎,由基本不等式得,令,则,解得.‎ 四、迁移运用 ‎1．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，‎ 由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，‎ ‎|BT||PB||t|，‎ 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，‎ 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，‎ t＝0时，P与B重合，不符合题意，‎ 则t的取值范围为[，0）]；‎ 故选：A．‎ ‎2．【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断】已知点为圆上一点，,则的最大值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】取AB中点D(2,-3), ,‎ ‎,d+r=‎ 的最大值为，故选C.‎ ‎3．【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末】已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设点M的坐标为，则，‎ 将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为，‎ 如图所示，当与圆相切时，取得最大值，‎ 此时.本题选择B选项.‎ ‎4．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴截得的弦长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆心，而，‎ 圆的方程为：，‎ 当时，得 ‎.‎ 故选D.‎ ‎5．【山东省滨州市2019届高三期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，圆心C（2，2），半径为．‎ 直线y﹣3＝k（x﹣1），‎ ‎∴此直线恒过定点（1，3），‎ 当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，‎ 弦心距为：．‎ ‎∴所截得的最短弦长：2．‎ 故选：C．‎ ‎6．【湖南省长沙市2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为 A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以 圆，即，设圆心为,‎ 则有，选C.‎ ‎7.【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P（），则Q（2，2），‎ 当≠0时，‎ kAP，kPM，‎ 直线PM：y﹣（x﹣），①‎ 直线QB：y﹣0（x），②‎ 联立①②消去y得x，‎ ‎∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，‎ 当＝0时，易求得|x|＝1，‎ 故选：A．‎ ‎8．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为时，则的值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 结合题意，绘制图像，可知 当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。‎ ‎9．【四川省成都市2019届高三11月阶段性】已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，圆的圆心为（1，0），半径为1，圆的圆心（，），半径为2，所以，而，所以两圆相离。，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，设直线和圆交于两点（如下图）。则的最小值是.‎ ‎=，，则.所以.故选D.‎ ‎10．【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与， 距离之比为，当不共线时， 面积的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则： 设 ，两边平方并整理得： ，． 面积的最大值是 ‎ 选A ‎11．【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考】如图，两条距离为的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 或7，又，故，‎ 设直线 的方程为，则直线的方程为则设 ‎ 则令，令 ‎ 故，此时直线 的方程为，故选B ‎12．【西藏拉萨市2018届高三第一次模拟】已知点在圆： 上运动，则点到直线：的距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆：化为，圆心 半径为1，先求圆心到直线的距离，则圆上一点P到直线：的距离的最小值是.选D.‎ ‎13．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟】已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）‎ A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或6‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆可化标准方程：直线可变形为，即圆心为（1，0），半径r=1,直线过定点（2，2），由面积公式 ‎ 所以当时，即点到直线距离为时取最大值.，解得k=1或7,选C.‎ ‎14．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,整理为：得直线恒过点Q（1，-2），画出图像可知或者M与P,Q之一重合， ,故点M在以PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F，则线段MN满足的范围为,所以： 的取值范围是 ‎ ‎15．【陕西省西安市2018届高三上学期期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心，半径为，直线， 此直线恒过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，弦心距为， 所截得的最短弦长，故选C.‎ ‎16．【山西省2018届高三第一次模拟】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵∠APB=90°，∴，由不等式可得 ‎∴，故选：B ‎17．【重庆市梁平区2018届二调】过点作圆C： R)的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 2－3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得圆心坐标为，半径，‎ 其中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 利用平面向量数量积的定义有：‎ 设，则：‎ ‎，‎ 结合对勾函数的性质可得：‎ 函数在区间上单调递增 当时，.‎ 本题选择C选项.‎ ‎18．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.‎ 圆，即，圆心为，半径为.‎ 切线长为.‎ ‎.‎ 所以切线长的最小值为.故选A.‎ ‎19．【新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测】已知点是双曲线的渐近线上的动点，过点作圆的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得渐近线方程为，过圆心向作垂线，则，圆的半径，当斜边最小是，夹角最大，， ， ，故选 ‎20．【重庆市九校联盟2018届高三上学期第一次联合考试】设，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 9 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为，故选：C ‎21．在平面直角坐标系xOy中,已知点,点B是圆上的点,点M为AB中点,若直线上存在点P,使得,则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点M为AB中点,所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆,当PM为单位圆切线时,取最大值,即,从而,因此原点到直线距离不大于2,即 ‎22.已知圆,点是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点,则 的最小值等于　　　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意可得.令.所以满足如图所示.所以目标函数.所以当目标函数与直线相切的时候z最小.由圆心到直线的距离可得. .所以当且仅当时,. ‎ ‎23.在平面直角坐标系中,圆C的方程为．若直线上存在一点,使过所作的圆的两条切线相互垂直,则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆C的方程为．先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆 心的距离为”,再将“直线上存在点到圆心的距离为”转化为“圆心到直线的 距离小于等于”,即