【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第21讲学案

【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第21讲学案

第21讲　三角恒等变换 考试要求　1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能运用它们进行三角恒等变换(C级要求)；2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用它们进行简单的三角恒等变换(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)在锐角△ABC中，sin AsinB和cos Acos B大小不确定.(　　)‎ ‎(2)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.(　　)‎ ‎(3)对任意角α都有1＋sin α＝.(　　)‎ ‎(4)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　　)‎ 解析　(1)由cos AcosB－sin Asin B＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，‎ 及锐角△ABC知cos Acos B－sin Asin B<0，故大小关系确定.‎ ‎(2)由α＋β＝45°得tan(α＋β)＝＝1，故(2)正确.‎ ‎(3)由＝sin2 ＋2sin cos ＋cos2 ‎＝1＋sin α知(3)正确.‎ ‎(4)由y＝3sin x＋4cos x＝5＝5sin(x＋φ)(其中φ满足cos φ＝，‎ sin φ＝)知最大值为5.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(2018·苏州暑假测试)已知α∈，β∈，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β＝________.‎ 解析　因为α∈，cos α＝，所以sin α＝.又α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×－×＝－.‎ 答案　－ ‎3.(必修4P123习题5改编)已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为________.‎ 解析　原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1‎ ‎＝－.‎ 答案　－ ‎4.(必修4P118习题7改编)已知tan α，tan β是方程3x2－7x＋2＝0的两根，则的值为________.‎ 解析　由已知得tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，所以＝＝＝.‎ 答案　 ‎5.(2018·苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，则sin(α－β)的值为________.‎ 解析 因为tan β＝2tan α，所以＝，即cos αsin β＝2sinαcoβ.又因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.‎ 答案　－ 知 识 梳 理 ‎1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将正切化为正弦、余弦、简称“切化弦”.‎ ‎2.要注意对“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α＝tan__；还有1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.‎ ‎3.对于sin αcos α与sin α±cos α同时存在的试题，可通过换元完成.如设t＝sin α＋cosα，则sin αcos α＝(t2－1)；如设t＝sin α－cos α，则sin αcos α＝(1－t2).‎ ‎4.常见的“变角”方法有：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β.‎ 考点一　角的变换 ‎【例1】 (1)(2017·江苏大联考)已知sin＝，则sin－cos的值为________.‎ ‎(2)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝，则cos(2θ－15°)＝________.‎ 解析　(1)sin－cos ‎＝sin－cos2 ‎＝－sin＋cos 2 ‎＝－sin＋1－2sin2 ‎＝－＋1－＝.‎ ‎(2)因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝∈，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin2(θ＋15°)＝1－2× ＝－，从而sin(2θ＋30°)＝＝，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45°＝－×＋×＝.‎ 答案　(1)　(2) 规律方法　熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等.本例(1)利用了角(2x＋π)是已知角(x＋)的倍角，(2)利用了角(2θ＋30°)是已知角(θ＋15°)的倍角.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·课标Ⅱ卷)若cos＝，则sin 2α＝________.‎ ‎(2)(2016·课标Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析　(1)cos＝2cos2－1＝2·－1＝－，‎ 且cos＝cos＝sin 2α.‎ 所以sin 2α＝－.‎ ‎(2)由题意sin＝sin ‎＝cos＝，‎ 因为2kπ＋<θ<2kπ＋2π(k∈ )，所以2kπ＋<θ－<2kπ＋(k∈ )，‎ 从而sin＝－，因此tan＝－.‎ 答案　(1)－　(2)－ 考点二　名称和结构的变换 ‎【例2】 (一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2α·cos 2β.‎ 解　法一(从“名”入手，异名化同名)‎ 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－cos 2β(sin2α＋cos 2α)‎ ‎＝－cos 2β＝.‎ 法二(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)‎ 原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β ‎＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β＝.‎ 法三(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)‎ 原式＝(sin αsinβ－cosαcos β)2＋2sin αsin β·cosαcosβ－cos 2αcos 2β ‎＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)‎ ‎＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.‎ 规律方法　应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“‎ 分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·课标Ⅲ卷改编)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.‎ ‎(2)(2017·哈师大附中三模)已知α∈，且2cos 2α＝cos，则sin 2α的值为________.‎ 解析　(1)由sin α－cos α＝得 sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝1－＝－，‎ 即sin 2α＝－.‎ ‎(2)由题意可得：2(cos2α－sin2α)＝cos cos α＋sin sin α，‎ 即：2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，‎ 由α的范围可得cos α＋sin α≠0⇒cos α－sin α＝，‎ 两边平方可得：1－sin 2α＝，‎ ‎∴sin 2α＝.‎ 答案　(1)－　(2) 考点三　三角函数定义与三角恒等变换的综合(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)(2018·南京高三 情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)求α＋β的值.‎ 解　(1)由任意角的三角函数的定义得cos α＝，结合α为锐角，得sin α＝＝.同理得sin β＝，结合β为钝角，得cos β＝－＝－.‎ 则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.‎ ‎(2)因为α∈，β∈，‎ 所以α＋β∈，‎ 由(1)得sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，‎ 结合α＋β∈，可得α＋β＝.‎ ‎【迁移探究1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上.已知点A在第一象限且横坐标是，点B在第二象限，点C(1，0)，‎ ‎(1)设∠COA＝θ，求sin 2θ的值；‎ ‎(2)若△AOB为正三角形，求点B的坐标.‎ 解　(1)由题设得cos θ＝，因为点A在单位圆上且在第一象限，所以sin θ＝，从而sin 2θ＝2sin θcos θ＝.‎ ‎(2)因为△AOB为正三角形，所以∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，‎ 所以cos∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°‎ ‎＝，‎ sin∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sin θcos 60°＋cos θsin 60°＝，因此点B的坐标为.‎ ‎【迁移探究2】 如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ ‎(1)若x1＝，求x2；‎ ‎(2)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝S2，求角α的值.‎ 解　(1)由三角函数定义，得x1＝cos α，x2＝cos，‎ 因为α∈，cos α＝，所以sin α＝＝＝.‎ 所以x2＝cos＝cos α－sin α＝.‎ ‎(2)依题意得y1＝sin α，y2＝sin.‎ 所以S1＝x1y1＝cos αsin α＝sin 2α，‎ S2＝|x2|y2＝sin ‎＝－sin.依题意得sin 2α＝－sin＝－sin 2αcos －cos 2αsin ，整理得tan 2α＝－.‎ 因为<α<，所以<2α<π，‎ 所以2α＝，故α＝.‎ 规律方法　这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变换解决问题.‎ ‎【训练3】 (1)如图所示，角α终边上一点P的坐标是(3，4)，将OP绕原点旋转45°到OP′的位置，则点P′的坐标为________.‎ ‎ ‎ ‎(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan 2α＝________.‎ 解析　(1)设P′(x，y)，sin α＝，cos α＝，∴sin(α＋45°)＝，‎ cos(α＋45°)＝－.‎ ‎∴x＝5cos(α＋45°)＝－，y＝5sin(α＋45°)＝.‎ ‎∴P′.‎ ‎(2)因为A点纵坐标为yA＝，且A点在第二象限，又圆O为单位圆 ，所以A点横坐标xA＝－.由三角函数的定义可得cos α＝－.因为α的终边在第二象限，所以sin α＝＝.所以tan α＝＝－，故tan 2α＝＝.‎ 答案　(1)　(2) 一、必做题 ‎1.(2018·南京模拟)化简·sin 2α－2cos2α＝________.‎ 解析　原式＝·sin 2α－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ 答案　－cos 2α ‎2.计算：＝________.‎ 解析　原式＝＝＝－4.‎ 答案　－4‎ ‎3.(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，cos(α－β)＝________.‎ 解析　因为α和β关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ(k∈ )，那么sin β＝‎ sin α＝，不妨令cos α＝－cos β＝，‎ 这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1‎ ‎＝－.‎ 答案　－ ‎4.(2017·盐城三模)若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan α的值为________.‎ 解析　若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan＝，‎ 又tan＝，所以tan α＝－.‎ 答案　－ ‎5.(2018·南京模拟)已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________.‎ 解析　因为coscos＝ ‎＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.‎ 所以cos 2θ＝.‎ 故sin4θ＋cos4θ＝＋ ‎＝＋＝.‎ 答案　 ‎6.(2017·扬州期末)已知函数f(x)＝sin(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________.‎ 解析　由0≤x<π得≤2x＋<，由f(α)＝f(β)＝且α≠β，不妨设α<β，则2α＋＝，2β＋＝，解得α＝，β＝，则α＋β＝.‎ 答案　 ‎7.(2017·江苏联盟大联考)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则 cos2－sin cos －的值为________.‎ 解析　由题意得OB＝BC＝1，从而△OBC为等边三角形，‎ ‎∴sin∠AOB＝sin＝，‎ cos2－sin cos －＝·－－ ‎＝－sin α＋cos α＝sin ‎＝sin＝sin＝.‎ 答案　 ‎8.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________.‎ 解析　sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C⇒tan B＋tan C＝2tan Btan C，又tan A＝，‎ 因此tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，即最小值为8.‎ 答案　8‎ ‎9.(2018·启东中 模拟)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cos A.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.‎ 解　(1)因为sin＝2cos A，得sin A＋ cos A＝2cos A，即sin A＝cos A.因为A∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝.‎ ‎(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈.‎ 因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，cos(A－B)＝，‎ 所以sin(A－B)＝，‎ 所以sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cosAsin(A－B)＝.‎ ‎10.(2018·南通高三第一次调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.‎ ‎(1)求cos β的值；‎ ‎(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标.‎ 解　(1)在△AOB中，由余弦定理得，‎ cos∠AOB＝＝＝.‎ 所以cos β＝.‎ ‎(2)因为cos β＝，β∈，‎ 所以sin β＝＝＝.‎ 因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得 cos α＝，‎ 因为α为锐角，所以sin α＝＝＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ 所以点B的坐标为.‎ 二、选做题 ‎11.(2017·镇江期末)由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2016°的值为________.‎ 解析　由sin 36°＝cos 54°，得sin 36°＝2sin 18°cos 18°＝cos(36＋18°)＝‎ cos 36°cos°18°－sin 36°sin 18°＝(1－2sin218°)·cos 18°－2sin2 18 cos 18°＝cos 18°－4sin218°·cos 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，解得sin 18°＝＝，cos 2 016°＝cos(6×360°－144°)＝cos 144°＝‎ ‎－cos 36°＝2sin218°－1＝－.‎ 答案　－ ‎12.(2018·泰州模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋θ)－cos ·cos(－)(其中A为常数，θ∈(－π，0))，若实数x1，x2，x3满足：①x1

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