【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十二章第四讲 二项分布及其应用、正态分布
第四讲 二项分布及其应用、正态分布
1.[2020浙江温州九校第一次联考]抽奖箱中有15个除颜色外完全一样的球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,抽到黄球为二等奖,抽到白球不中奖.有90人依次进行有放回的抽奖,则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是( )
A.6,0.4 B.18,14.4 C.30,10 D.30,20
2.[2015新课标全国Ⅰ,4,5分][理]投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
3.[2018全国卷Ⅲ,8,5分][理]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
90时,即为X>μ+3σ.然后根据正态曲线的对称性建立已知条件和所求问题之间的关系式进行求解.
解法一 用X表示本次听写测试的成绩,由题意可知,X~N(78,16),所以μ=78,σ=4.(定参数)
而90=78+12=μ+3σ,故本题的实质就是求P(X>μ+3σ).(转化所求)
由正态曲线的对称性可得P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5,
又P(μ - 3σμ+3σ)=P(X≥μ) - P(μμ+3σ).(转化所求)
因为P(μ - 3σμ+3σ)=1 - P(μ - 3σμ+3σ)=12[P(X≤μ - 3σ)+P(X>μ+3σ)]=12×0.0027=0.00135=0.135%.(利用图象的对称性求概率)
A
6[2017全国卷Ⅰ,19,12分][理]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ - 3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ - 3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x 2)≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ＾,用样本标准差s作为σ的估计值σ＾,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ＾ - 3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ - 3σ0;当p∈(0.1,1)时,f '(p)<0.
所以f (p)的最大值点p0=0.1.
(2)由(1)知,p0=0.1,所以p=0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数,依题意知Y~B(180,0.1),
X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.
(ii)如果对这箱余下的产品做检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对这箱余下的所有产品做检验.
【素养落地】 本题以产品检验为背景,考查二项分布及其期望的探求,将函数融入其中是本题的“闪光”之处.本题也考查了考生的数据处理能力、创新意识、运算求解能力,体现了数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.
4.(1)D 由题意可得,X~N(3,12),
P(0
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