【数学】2019届一轮复习北师大版 平面向量 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 平面向量 学案

第4练　平面向量 ‎[明考情]‎ 向量是高考的必考考点，难度不大，一般以选择、填空题的形式考查，也会与三角函数、解析几何知识交汇命题.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.平面向量的线性运算.‎ ‎2.平面向量的数量积.‎ ‎3.平面向量的综合应用.‎ 考点一　平面向量的线性运算 要点重组　(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.‎ ‎(2)共线向量定理.‎ ‎(3)平面向量基本定理.‎ 方法技巧　(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点.‎ ‎(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.‎ ‎(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.‎ ‎1.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　∵＝3，∴－＝3(－)，‎ 即4－＝3，‎ ‎∴＝－＋.‎ ‎2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A.B.C.1D.3‎ 答案　B 解析　∵＝，∴＝，‎ ‎∴＝m＋＝m＋.‎ 又B，N，P三点共线，‎ ‎∴m＝.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x等于(　　)‎ A.－2B.－4C.－3D.－1‎ 答案　D 解析　∵a－b＝(3，1)，‎ ‎∴a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)，‎ ‎∴2a＋b＝(－2，6).‎ 又(2a＋b)∥c，‎ ‎∴－6＝6x，解得x＝－1.‎ ‎4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ＋μ的值为________.‎ 答案　 解析　由题意得＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.‎ ‎5.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________.‎ 答案　 解析　设＝y，‎ ‎∵＝＋＝AC＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ ‎∴y∈.‎ ‎∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.‎ 考点二　平面向量的数量积 要点重组　(1)a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎(2)|a|2＝a·a；cosθ＝.‎ 方法技巧　(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.‎ ‎(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.‎ ‎6.已知三点A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，4)，则向量在向量方向上的投影为(　　)‎ A.B.－C.D.－ 答案　A 解析　＝(－2，3)，＝(－4，－2)，向量在向量方向上的投影为＝＝，故选A.‎ ‎7.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)‎ A.－B.－C.D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3，4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c ‎＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎8.(2016·全国Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)‎ A.30°B.45°C.60°D.120°‎ 答案　A 解析　||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝.‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°，‎ ‎∴∠ABC＝30°.‎ ‎9.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A.－2B.－C.－D.－1‎ 答案　B 解析　方法一　(解析法)‎ 建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设P点的坐标为(x，y)，‎ 图①‎ 则＝(－x，－y)，‎ ＝(－1－x，－y)，‎ ＝(1－x，－y)，‎ ‎∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)‎ ‎＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.‎ 当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.‎ 故选B.‎ 方法二　(几何法)‎ 如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.‎ 图②‎ 要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，‎ 问题转化为求||||的最大值.‎ 此时||＋||＝||＝2×＝，‎ ‎∴||||≤2＝2＝，‎ ‎∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.‎ 故选B.‎ ‎10.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.‎ 答案　 解析　由已知可得 ≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，‎ 由于上式对任意单位向量e都成立.‎ ‎∴≥|a＋b|成立.‎ ‎∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.‎ 即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.‎ 考点三　平面向量的综合应用 方法技巧　(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.‎ ‎(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.‎ ‎11.向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos等于(　　)‎ A.B.－C.－D.－ 答案　B 解析　∵a∥b，‎ ‎∴tanα·cosα＝.‎ ‎∴sinα＝.‎ 又cos＝－sinα，∴cos＝－.‎ ‎12.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·等于(　　)‎ A.6B.4C.－4D.－6‎ 答案　A 解析　由y＝tan＝0，得x－＝kπ，‎ 解得x＝4k＋2，由题图得A(2，0).‎ 由y＝tan＝1，得x－＝kπ＋，‎ 解得x＝4k＋3.由题图得B(3，1).‎ 所以＋＝(5，1)，＝(1，1).所以(＋)·＝5×1＋1×1＝6.‎ ‎13.设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2).已知向量m＝，n＝，点P在y＝cosx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是(　　)‎ A.2B.2C.2D.4‎ 答案　D 解析　设点P(x0，cosx0)，点Q(x，y)，‎ 则＝m⊗＋n＝⊗(x0，cosx0)＋ ‎＝＋＝，‎ 所以点Q的坐标为.‎ 由向量的坐标运算，可得 解得y＝4cos，所以f(x)＝4cos.‎ 又因为x∈，所以∈，‎ 由余弦函数的单调性知，当2x－＝0即x＝时，函数f(x)取得最大值4.‎ ‎14.已知点O是锐角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若＝x＋y，则6x＋9y＝________.‎ 答案　5‎ 解析　如图，‎ 设点O在AB，AC上的射影是点D，E，它们分别为AB，AC的中点，连接OD，OE.由数量积的几何意义，可得·＝||||＝32，·＝||||＝72，依题意有·＝x2＋y·＝64x＋48y＝32，即4x＋3y＝2；·＝x·＋y2＝48x＋144y＝72，即2x＋6y＝3，将两式相加可得6x＋9y＝5.‎ ‎15.在平面内，·＝·＝·＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是________.‎ 答案　16‎ 解析　由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2.设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2.‎ 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(2，0)，B(－1，－)，C(－1，).‎ 设P(x，y)，由已知得||＝2，‎ 得(x－2)2＋y2＝4，∵＝，‎ ‎∴M，∴＝，‎ ‎∴||2＝，‎ 它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的，‎ ‎∵||max＝＋2＝＋2＝8，∴||＝＝16.‎ ‎1.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b||‎ C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2‎ 答案　B 解析　选项B中，当向量a，b反向及不共线时，‎ 有|a－b|＞，故B中关系式不恒成立.‎ ‎2.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A.k＝－2B.k＝C.k＝1D.k＝－1‎ 答案　C 解析　若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，‎ ‎∴＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1).‎ ‎∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.‎ 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，‎ 由a·(a＋λb)＞0，可得λ＞－.‎ 又a与a＋λb不共线，‎ ‎∴λ≠0.‎ 故λ＞－且λ≠0.‎ ‎4.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是____________.(填序号)‎ ‎①－＝；‎ ‎②＋＋＝0；‎ ‎③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；‎ ‎④若·＞0，则△ABC为锐角三角形.‎ 答案　②③‎ 解析　在△ABC中，－＝，①错误；‎ 若·＞0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误.‎ 解题秘籍　(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.‎ ‎(2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).‎ ‎1.已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a＋b)＝6，|a|＝，则|b|等于(　　)‎ A.B.2C.D.2‎ 答案　D 解析　由已知得a2＋a·b＝6，‎ 又|a|2＝3，‎ ‎∴a·b＝3.‎ ‎∴×|b|×＝3，‎ ‎∴|b|＝2.‎ ‎2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·等于(　　)‎ A.－3B.0C.－1D.1‎ 答案　C 解析　＝＋＝＋，‎ 所以·＝·＝·＋· ‎＝||||cos120°＋||||cos60°＝－×2×2＋×2×2×＝－1.‎ ‎3.设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为(　　)‎ A.2B.1C.D. 答案　B 解析　设AB的中点为D，‎ ‎∵＋＋2＝0，∴O为中线CD的中点，‎ ‎∴△AOC，△AOD，△BOD的面积相等，‎ ‎∴△AOC与△AOB的面积之比为1∶2，‎ 同理△BOC与△AOB的面积之比为1∶2，‎ ‎∴△AOC是△ABC面积的，‎ ‎∴△AOC的面积为1.‎ ‎4.在平面直角坐标系内，＝(1，4)，＝(－3，1)，且与在直线l的方向向量上的投影长度相等，则直线l的斜率为(　　)‎ A.－B.C.或－D. 答案　C 解析　直线l的一个方向向量可设为l＝(1，k)，‎ 由题意得＝⇒|1＋4k|＝|－3＋k|，‎ 解得k＝或k＝－.‎ ‎5.已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为(　　)‎ A.B.2C.D.2 答案　C 解析　由题意得⊥，⊥，‎ 故点B，D都在以AC为直径的圆上.又||＝，‎ ‎∴||的最大值为.‎ ‎6.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：‎ p1：|a＋b|>1⇔θ∈；‎ p2：|a＋b|>1⇔θ∈；‎ p3：|a－b|>1⇔θ∈；‎ p4：|a－b|>1⇔θ∈，‎ 其中的真命题是(　　)‎ A.p1，p4B.p1，p3C.p2，p3D.p2，p4‎ 答案　A 解析　由＞1，可得cosθ＞－，‎ ‎∴θ∈.‎ 由|a－b|＞1，可得cosθ＜，‎ ‎∴θ∈.‎ 故p1，p4正确.‎ ‎7.已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)‎ A.B.C.6D.4‎ 答案　A 解析　·＝3×2×cos60°＝3，‎ ‎∵＝m＋n，⊥，‎ ‎∴(m＋n)·＝(m＋n)·(－)＝(m－n)·－m2＋n2＝0，‎ ‎∴3(m－n)－9m＋4n＝0，‎ ‎∴＝，故选A.‎ ‎8.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A.3B.2C.D.2‎ 答案　A 解析　建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2，1).‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0，1)，＝(2，0).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y0＝1＋sinθ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3‎ ，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈ 时，λ＋μ取得最大值3.‎ 故选A.‎ ‎9.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)‎ 答案　(5e1＋3e2)‎ 解析　在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，‎ 所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2).‎ ‎10.已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________.‎ 答案　 解析　如图，由正弦定理，‎ 得＝(0°＜θ＜120°)，‎ ‎∴|α|＝sinθ，‎ ‎∴0＜|α|≤.‎ ‎11.在平行四边形ABCD中，点M在边CD上，且满足DM＝DC，点N在CB的延长线上，且满足CB＝BN，若AB＝3，AD＝4，则·的值为________.‎ 答案　30‎ 解析　因为＝＋，＝2－，‎ 所以·＝＝2＝30.‎ ‎12.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 答案　3‎ 解析　如图，设＝m，＝n，‎ 则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，‎ 由tanα＝7，得cosα＝，‎ 又由余弦定理知， 即 ‎①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.‎