【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第45讲立体几何中的向量方法学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第45讲立体几何中的向量方法学案

第45讲　立体几何中的向量方法 考试说明 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 异面直线 所成的角 求异面直线所成的角或与异面直线所成角有关的探索性问题 ‎2015全国卷Ⅰ18‎ ‎★☆☆‎ 直线与平面 所成的角 求直线与平面所成的角 ‎2016全国卷Ⅲ19、2015全国卷Ⅱ19、2013全国卷Ⅰ18‎ ‎★★★‎ 二面角 求二面角或与二面角有关的探索性问题 ‎2017全国卷Ⅱ19、2016全国卷Ⅰ18、2016全国卷Ⅱ19、2014全国卷Ⅰ19、2014全国卷Ⅱ18,2013全国卷Ⅱ18‎ ‎★★★‎ 平行 与垂直 与平行和垂直有关的探索性问题 ‎☆☆☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅱ 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线CE∥平面PAB;‎ ‎(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.‎ 解:(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.‎ 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.‎ 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,‎ 又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,‎ 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.‎ ‎(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xy ,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).‎ 设M(x,y, )(0|=sin 45°,=,‎ 即(x-1)2+y2- 2=0.①‎ 又M在棱PC上,设=λ,则 x=λ,y=1, =-λ.②‎ 由①②解得(舍去)或 所以M,‎ 从而=.‎ 设m=(x0,y0, 0)是平面ABM的法向量,则 即 所以可取m=(0,-,2).‎ 于是cos==,‎ 因此二面角M-AB-D的余弦值为.‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅱ 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.‎ ‎(1)证明:D'H⊥平面ABCD;‎ ‎(2)求二面角B - D'A - C的正弦值.‎ 解:(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得=,故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO==4.‎ 由EF∥AC得==,‎ 所以OH=1,D'H=DH=3.‎ 于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,‎ 故D'H⊥OH.‎ 又D'H⊥EF,且OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.‎ ‎(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H - xy ,则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),‎ ‎=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).‎ 设m=(x1,y1, 1)是平面ABD'的法向量,则 即 所以可取m=(4,3,-5).‎ 设n=(x2,y2, 2)是平面ACD'的法向量,则即 所以可取n=(0,-3,1).‎ 于是cos===-,sin=.‎ 因此二面角B - D'A - C的正弦值是.‎ ‎3.[2014·全国卷Ⅰ 如图,三棱柱ABC -A1B‎1C1中,侧面BB‎1C1C为菱形,AB⊥B‎1C.‎ ‎(1)证明:AC=AB1;‎ ‎(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A -A1B1 -C1的余弦值.‎ 解:(1)证明:连接BC1,交B‎1C于点O,连接AO,因为侧面BB‎1C1C为菱形,所以B‎1C⊥BC1,且O为B‎1C及BC1的中点.又AB⊥B‎1C,所以B‎1C⊥平面ABO.‎ 由于AO⊂平面ABO,故B‎1C⊥AO.‎ 又B1O=CO,故AC=AB1.‎ ‎(2)因为AC⊥AB1,且O为B‎1C的中点,所以AO=CO.‎ 又因为AB=BC,所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂直.‎ 以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图7-45-4所示的空间直角坐标系O-xy .‎ 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C0,-,0.=,==,‎ ‎==.‎ 设n=(x,y, )是平面AA1B1的法向量,则 即 所以可取n=(1,,).‎ 设m是平面A1B‎1C1的法向量,则 同理可取m=(1,-,).‎ 则cos==.‎ 所以结合图形知二面角A -A1B1 - C1的余弦值为.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2017·江苏卷 如图,在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.‎ ‎(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.‎ 解:在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.‎ 因为AA1⊥平面ABCD,‎ 所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.‎ 如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系A-xy .‎ 因为AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,‎ 所以A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).‎ ‎(1)=(,-1,-),=(,1,),‎ 则cos<,>=‎ ‎==-,‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)平面A1DA的一个法向量为=(,0,0).‎ 设m=(x,y, )为平面BA1D的法向量,‎ 又=(,-1,-),=(-,3,0),‎ 则即 不妨取x=3,则y=, =2,‎ 所以m=(3,,2)为平面BA1D的一个法向量,‎ 从而cos<,m>===.‎ 设二面角B-A1D-A的大小为θ,则|cos θ|=.‎ 因为θ∈[0,π ,所以sin θ==.‎ 因此二面角B-A1D-A的正弦值为.‎ ‎2.[2017·北京卷 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.‎ ‎(1)求证:M为PB的中点;‎ ‎(2)求二面角B - PD - A的大小;‎ ‎(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:设AC,BD的交点为E,连接ME.‎ 因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.‎ 因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.‎ ‎(2)取AD的中点O,连接OP,OE.‎ 因为PA=PD,所以OP⊥AD.‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.‎ 因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.‎ 因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.‎ 如图建立空间直角坐标系O - xy ,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),所以=(4,-4,0),=(2,0,-).‎ 设平面BDP的法向量为n=(x,y, ),则即 令x=1,则y=1, =,于是n=(1,1,).‎ 平面PAD的一个法向量为p=(0,1,0),所以cos==.‎ 由题知二面角B - PD - A为锐角,所以它的大小为.‎ ‎(3)由题意知M-1,2,,C(2,4,0),则=3,2,-.‎ 设直线MC与平面BDP所成角为α,则sin α=|cos|==,‎ 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.‎ ‎3.[2016·天津卷 如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.‎ ‎(1)求证:EG∥平面ADF;‎ ‎(2)求二面角O - EF - C的正弦值;‎ ‎(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.‎ 解:依题意,OF⊥平面ABCD,如图所示,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).‎ ‎(1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).设n1=(x1,y1, 1)为平面ADF的法向量,则即不妨设 1=1,可得n1=(0,2,1).又=(0,1,-2),可得·n1=0.又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.‎ ‎(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).‎ 设n2=(x2,y2, 2)为平面CEF的法向量,则即不妨设x2=1,可得n2=(1,-1,1).‎ 因此有cos<,n2>==-,于是sin<,n2>=,所以二面角O - EF - C的正弦值为.‎ ‎(3)由AH=HF,得AH=AF.因为=(1,-1,2),所以==,-,,进而有H-, , ,从而=, , ,因此cos<,n2>==-,‎ 所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.(1)　(2)0<φ≤‎ ‎2.(1)　(2)0≤φ≤‎ ‎3.(3)[0,π ‎ 对点演练 ‎1.　[解析 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0, ,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=1,0,- .设平面A1ED的法向量为n1=(1,y, ),则即解得故n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=,故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎2.30°　[解析 cos==,因此a与b的夹角为30°,即斜线与平面所成的角为30°.‎ ‎3.　[解析 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),所以cos<,>=-,所以sin<,>=.‎ ‎4.　[解析 建立如图所示的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),B1(1,2,1),所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,0,1).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y, ),则有即 令x=2,则y=1, =2,则n=(2,1,2).‎ 设BB1与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===.‎ ‎5.60°　[解析 由题意得,(‎2a+b)·c=0+10-20=-10,即‎2a·c+b·c=-10.因为a·c=4,所以b·c=-18,所以cos===-,所以=120°,所以两直线的夹角为60°.‎ ‎6.45°或135°　[解析 cos===,即=45°,其补角为135°,∴两平面所成的二面角的大小为45°或135°.‎ ‎7.30°　[解析 设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|=,∴θ=30°.‎ ‎8.30°　[解析 设直线l与平面α所成的角为θ,作图(图略),根据线面角的定义,有θ+90°=120°,即直线l与平面α所成的角为30°.‎