【数学】2018届一轮复习人教A版2-9函数模型及其应用学案
§2.9 函数模型及其应用
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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
考点1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程
[典题1] (1)[2017·浙江湖州模拟]物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B
C D
[答案] B
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动．设点P
运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝
f(x)的图象是( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4
0且a≠1)
对数函
数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数
模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调______
单调______
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与________平行
随x的增大逐渐表现为与________平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax162，最后得出安装3个就可以，这是错误的．
复利公式．
(1)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．
答案：y＝a(1＋r)x
(2)人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率(复利)的计算等问题都可以用________函数模型解决．
答案：指数
[考情聚焦] 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
二次函数模型
[典题3] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解] 设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
[点石成金] 二次函数模型问题的三个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
角度二
构造分段函数模型
[典题4] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设旅行团人数为x，由题得00)模型
[典题5] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)
＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2－10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
[点石成金] 应用函数模型y＝x＋的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
角度四
构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型
[典题6] 已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
2．[2015·北京卷]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条
件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案：D
解析：根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
3．[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B．
C. D．－1
答案：D
解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，
则(p＋1)(q＋1)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.
4．[2015·四川卷]某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________h.
答案：24
解析：由已知条件，得192＝eb，∴ b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
课外拓展阅读
利用函数模型巧解抽象函数问题
函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．
[典例1] 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的值域．
[思路分析]
―→
[解] 因为对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，故f(0)＝0；
再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
设x10.
因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，所以f(x)为R上的增函数．
又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，
f(1)＝－f(－1)＝2，
所以当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4,2]．
[典例2] 设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，01；
(2)判断f(x)在R上的单调性．
[思路分析]
(1)[证明] 因为对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
令m＝1，n＝0，则f(1)＝f(1)·f(0)．
因为当x>0时，00，所以f(0)＝f(x)·f(－x)，
所以f(x)＝＝>1.
即当x<0时，有f(x)>1.
(2)[解] 设x10，
所以00，
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)0，y>0)；
②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)
正比例函数
f(x)＝kx(k≠0)
①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)；
②＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)
指数函数
f(x)＝ax
(a>0，a≠1)
①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)；
②f＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)
对数函数
f(x)＝logax
(a>0，a≠1)
①f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)；
②f＝(x，y∈R，y≠0)
幂函数
f(x)＝xn