【数学】2018届一轮复习北师大版第3讲 命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第 3 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[学生用书 P7]
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫
做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；
(2)若 p⇒q 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；
(3)若 p q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件；
(4)若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件．
1．辨明两个易误点
(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定
命题的结论．
(2)注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是 B(B
⇒A 且 A B)两者的不同．
2．充要条件常用的三种判断方法
(1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假．
(2)等价法：利用 A⇒B 与綈 B⇒綈 A，B⇒A 与綈 A⇒綈 B，A⇔B 与綈 B⇔綈 A 的等价
关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；
若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件．
1.教材习题改编 “(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
2.教材习题改编 “x>4”是“x2－2x－3>0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B [解析] 因为 x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}，
所以 x>4⇒x2－2x－3>0.
但 x2－2x－3>0 x>4，
所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．
3．(2015·高考山东卷)设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x 2＋x－m＝0 有实根”的逆否
命题是( )
A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0
B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0
C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0
D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0
D [解析] 根据逆否命题的定义，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆
否命题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0”．故选D．
4.教材习题改编 命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”
的否命题是____________．
[答案] “若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”
四种命题的相互关系及真假判断[学生用书 P8]
[典例引领]
(1)(2017·银川模拟)命题“若 x2＋y2＝0，x，y∈R，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若 x≠y≠0，x，y∈R，则 x2＋y2＝0
B．若 x＝y≠0，x，y∈R，则 x2＋y2≠0
C．若 x≠0 且 y≠0，x，y∈R，则 x2＋y2≠0
D．若 x≠0 或 y≠0，x，y∈R，则 x2＋y2≠0
(2)命题 p：“矩形的对角线相等”的逆命题为 q，则 p 与 q 的真假性是( )
A．p 真 q 假 B．p 真 q 真
C．p 假 q 真 D．p 假 q 假
【解析】 (1)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由 x＝y＝0 知 x＝0 且 y＝
0，其否定是 x≠0 或 y≠0.
(2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p 真，q 假．
【答案】 (1)D (2)A
判断四种命题间关系、真假的方法
(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然
后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；
(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．
[通关练习]
1．命题“若 a＞b，则 a－1＞b－1”的否命题是( )
A．若 a＞b，则 a－1≤b－1
B．若 a＞b，则 a－1＜b－1
C．若 a≤b，则 a－1≤b－1
D．若 a＜b，则 a－1＜b－1
C [解析] 根据否命题的定义可知，命题“若 a＞b，则 a－1＞b－1”的否命题应为“若
a≤b，则 a－1≤b－1”，故选 C.
2．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝－4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为假命题
C [解析] 根据逆否命题的定义可以排除 A，D，由 x2＋3x－4＝0，得 x＝－4 或 1，
故选 C.
3．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题
B．命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题
C．命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若
1
x＞1，则 x＞1”的逆否命题
B [解析] 对于 A，命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题为“若 x≤1，则 x2≤1”，易
知当 x＝－2 时，x2＝4＞1，故为假命题；对于 B，命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题为“若 x
＞|y|，则 x＞y”，分析可知为真命题；对于 C，命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题
为“若 x≠1，则 x2＋x－2≠0”，易知当 x＝－2 时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于 D，命
题“若1
x＞1，则 x＞1”的逆否命题为“若 x≤1，则
1
x≤1”，易知为假命题，故选 B．
充分条件、必要条件的判断(高频考点)[学生用书 P8]
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要
载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．
高考对充要条件的考查主要有以下两个命题角度：
(1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)与命题的真假性相交汇命题．
[典例引领]
(1)(2016·高考天津卷)设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0 与直线 mx－6y＋5＝0 互相垂直”的充要条件；
③设 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，则“A＝30
°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
【解析】 (1)由 x＞y 推不出 x＞|y|，由 x＞|y|能推出 x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的
必要而不充分条件．
(2)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}
为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列 1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数
列，而相应的数列 3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当 m＝3 时，
相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m＝3，也可能 m＝0.因此②
不正确；对于③，由题意得
b
a＝
sin B
sin A＝ 3，若 B＝60°，则 sin A＝
1
2，注意到 b>a，故 A＝
30°，反之，当 A＝30°时，有 sin B＝
3
2 ，由于 b>a，所以 B＝60°或 B＝120°，因此③
正确．综上所述，真命题的序号是①③.
【答案】 (1)C (2)①③
充要条件问题的常见类型及解题策略
(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．
(2)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即
可．
[题点通关]
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
1．(2017·合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [解析] 由 x2＋2x－8>0，可解得 x<－4 或 x>2，所以“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立
的充分不必要条件，故选 B．
角度二 与命题的真假性相交汇命题
2．(2017·黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是( )
A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
B．p：A∩B＝A；q：A B，则 p 是 q 的充分不必要条件
C．已知数列{an}，若 p：对于任意的 n∈N*，点 Pn(n，an)都在直线 y＝2x＋1 上；q：{an}
为等差数列，则 p 是 q 的充要条件
D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件
D [解析] 选项 A：当 x＝－1 时，x2－5x－6＝0，所以 x＝－1 是 x2－5x－6＝0 的充
分条件，故 A 错．
选项 B：因为 A∩B＝A A B(如 A＝B)，
而 A B⇒A∩B＝A，从而 p q，q⇒p，
所以 p 是 q 的必要不充分条件，故 B 错．
选项 C：因为 Pn(n，an)在直线 y＝2x＋1 上．
所以 an＝2n＋1(n∈N*)，
则 an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，
又由 n 的任意性可知数列{an}是以公差为 2 的等差数列，即 p⇒q.
但反之则不成立，如：令 an＝n，则{an}为等差数列，但点(n，n)不在直线 y＝2x＋1 上，
从而 q p.
从而可知 p 是 q 的充分而不必要条件，故 C 错．
选项 D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为 ln(x＋1)<0⇔0
0”是“x>a”的必要不充分条件，则 a
的最小值为________．
[解析] 由 x2－x－6>0，解得 x<－2 或 x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2 或 x>3}的真子集，即 a≥3，故 a 的最小值为 3.
[答案] 3
[学生用书 P10]
——等价转化思想在充要条件中的应用
已知 p：|1－x－1
3 |≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充
分条件，则实数 m 的取值范围为________．
【解析】 法一：由|1－x－1
3 |≤2，得－2≤x≤10，
所以綈 p 对应的集合为{x|x>10 或 x<－2}，
设 A＝{x|x>10 或 x<－2}．
1－m≤x≤1＋m(m>0)，
所以綈 q 对应的集合为{x|x>m＋1 或 x<1－m，m>0}，
设 B＝{x|x>m＋1 或 x<1－m，m>0}．
因为綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，所以 B A，
所以{m > 0，
1－m ≤ －2，
1＋m ≥ 10，
且不能同时取得等号．
解得 m≥9，所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞)．
法二：因为綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，
所以 q 是 p 的必要而不充分条件．
即 p 是 q 的充分而不必要条件，
因为 q 对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设 M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由|1－x－1
3 |≤2，得－2≤x≤10，
所以 p 对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设 N＝{x|－2≤x≤10}．
由 p 是 q 的充分而不必要条件知 N M，
所以{m > 0，
1－m ≤ －2，
1＋m ≥ 10，
且不能同时取等号，解得 m≥9.
所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞)．
【答案】 [9，＋∞)
(1)本题法二将“綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件”转化为“p 是 q 的充
分而不必要条件”；将 p、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直
观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．
(2)转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使
之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难
解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问
题．
1.给定两个命题 p、q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 由 q⇒綈 p 且綈 p q 可得 p⇒綈 q 且綈 q p，所以 p 是綈 q 的充分而
不必要条件．
2．如果 x，y 是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
C [解析] 法一：设集合 A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则 A 的补集 C
＝{(x，y)|x＝y}，B 的补集 D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然 C D，所以 B A，于是
“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
法二：(等价转化法)x＝y⇒cos x＝cos y，而 cos x＝cos y x＝y.
[学生用书 P261(独立成册)]
1．下列命题是真命题的是( )
A．若
1
x＝
1
y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1
C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x＜y，则 x2＜y2
A [解析] 由
1
x＝
1
y得 x＝y，A 正确；由 x2＝1 得 x＝±1，B 错误；
由 x＝y，x， y不一定有意义，C 错误；由 x＜y 不一定能得到 x2＜y2，如 x＝－2，y＝－
1，D 错误，故选 A.
2．命题“若 x＞1，则 x＞0”的逆否命题是( )
A．若 x≤0，则 x≤1 B．若 x≤0，则 x＞1
C．若 x＞0，则 x≤1 D．若 x＜0，则 x＜1
A [解析] 依题意，命题“若 x＞1，则 x＞0”的逆否命题是“若 x≤0，则 x≤1”，
故选 A.
3．(2017·上海模拟)原命题“若 A∪B≠B，则 A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命
题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
D [解析] 由题意可知，否命题为“若 A∪B＝B，则 A∩B＝A”，其为真命题；逆否
命题为“若 A∩B＝A，则 A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题
的逆命题与原命题也为真命题．故选 D．
4．设 M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 若 N⊆M，则 a2＝1 或 a2＝2，
解得 a＝±1 或 a＝± 2，
所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选 A.
5．(2016·高考四川卷)设 p：实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q：实数 x，y 满足 x＋y>2，则
p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 若 x>1 且 y>1，则有 x＋y>2 成立，所以 p⇒q；反之由 x＋y>2 不能得到 x>1
且 y>1.所以 p 是 q 的充分不必要条件．
6．(2017·大连质检)命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac”的逆否命题是( )
A．“若 a，b，c 成等比数列，则 b2≠ac”
B．“若 a，b，c 不成等比数列，则 b2≠ac”
C．“若 b2＝ac，则 a，b，c 成等比数列”
D．“若 b2≠ac，则 a，b，c 不成等比数列”
D [解析] 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若 a，b，c 成等比数列，
则 b2＝ac”的逆否命题是“若 b2≠ac，则 a，b，c 不成等比数列”．
7．下列命题中正确的个数是( )
①命题“若 m>－1，则方程 x2＋2x－m＝0 有实根”的逆命题为“若方程 x2＋2x－m＝0
有实根，则 m>－1”；
②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；
③一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是 b＝0.
A．0 B．3
C．2 D．1
C [解析] 对于①，命题“若 m>－1，则方程 x2＋2x－m＝0 有实根”的逆命题为“若
方程 x2＋2x－m＝0 有实根，则 m>－1”，故①正确；对于②，由 x2－3x＋2＝0，解得 x＝1
或 x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为
f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，即 k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以 b＝0，反之，
如果 b＝0，那么 f(x)＝kx，所以 f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，故③正确．正确
命题的个数为 2，故选 C.
8．(2017·荆门模拟)下列命题中正确的个数为( )
①“若一个整数的末位数字是 0，则这个整数能被 5 整除”的逆命题；
②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；
③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；
④“每个正方形都是平行四边形”的否定．
A．1 B．2
C．3 D．4
B [解析] ①“若一个整数的末位数字是 0，则这个整数能被 5 整除”的逆命题为“若
一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是 0”，显然错误，故①错误；②“若一个三
角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等，
则这个三角形有两条边相等”，显然正确，根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题
的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，根据原命题与逆否命题
的等价性知原命题的逆否命题正确，故③正确；④“每个正方形都是平行四边形”正确，则
“每个正方形都是平行四边形”的否定错误，故④错误．故正确的个数是 2，故选 B．
9．(2017·合肥市第一次教学质量检测)“x≥1”是“x＋
1
x≥2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 由题意得，x＋
1
x≥2⇔x>0，所以“x≥1”是“x＋
1
x≥2”的充分不必要条
件，故选 A.
10．若 p：|x|≤2，q：x≤a，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≤2
C．a≥－2 D．a≤－2
A [解析] p：|x|≤2，即－2≤x≤2，因为 q：x≤a，且 p 是 q 的充分不必要条件，
所以 a≥2，故选 A.
11．(2017·济南模拟)若 a＝log2x，b＝
2
x，则“a>b”是“x>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 函数 a＝log2x，b＝
2
x的图象如图所示，
由图象可知，若 a>b，则 x>2，即 x>1 成立，反之，若 x>1，当 x＝
3
2时，a0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，
则 a 的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
A [解析] 由 x2＋2x－3>0，得 x<－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，
可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件．故 a≥1.
13．对于原命题：“已知 a、b、c∈R，若 ac2＞bc2，则 a＞b”，以及它的逆命题、否命
题、逆否命题，真命题的个数为________．
[解析] 原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若 a＞b，则 ac2＞bc2 为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为 2.
[答案] 2
14．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是________．
[解析] 已知函数 f(x)＝x 2－2x＋1 的图象关于直线 x＝1 对称，则 m＝－2；反之也成
立．
所以函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是 m＝－2.
[答案] m＝－2
15．有下列四个命题：
①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；
④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．
[解析] ①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”，
显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形
不全等”，显然是真命题，故②正确；③若 x2－2x＋m＝0 有实数解，则 Δ＝4－4m≥0，解得
m≤1，所以“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，
故③正确；④若 A∩B＝B，则 B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
[答案] ①②③
16．若命题“ax2－2ax－3>0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．
[解析] 由题意知 ax2－2ax－3≤0 恒成立，当 a＝0 时，－3≤0 成立；当 a≠0 时，得
{a < 0，
Δ＝4a2＋12a ≤ 0，
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
[答案] [－3，0]
