【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第6讲 对数与对数函数学案
第6讲 对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数
性质
底数的限制：a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x
负数和零没有对数
1的对数是零：loga1＝0
底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：a＝N
运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，
M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
公式：logab＝
(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
推广：logambn＝logab；logab＝
2.对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0
当01时，y<0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)(log29)·(log34)＝( )
A． B．
C．2 D．4
解析：选D.原式＝·＝4.
(教材习题改编)函数y＝log2x2的大致图象是( )
解析：选D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)．
所以y＝log2x2的图象关于y轴对称，故选D.
法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝作出图象可知选D.
(教材习题改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3，1)．
答案：(3，1)
(教材习题改编)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析：当01时，loga1.
答案：∪(1，＋∞)
函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数y＝有意义，
则，即.
解之得0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，01 D．01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．
【答案】 (1)D (2)B
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[通关练习]
1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
解析：选C．函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C．
2．若不等式(x－1)21时，如图所示，
要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
所以1b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得，a＝－f＝f(log25)，因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以clog33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.
【答案】 (1)C (2)A
角度二 解对数不等式
设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】 由题意，得或
解得a>1或－10且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，
所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
(1)比较对数值的大小的方法
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
(2)解对数不等式的类型及方法
①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．
(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
[通关练习]
1．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
对数函数图象的画法
画对数函数y＝logax的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，.
对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．
解决与对数函数有关问题时应关注两点
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)务必要注意对数底数的取值范围，即注意底数a与1的大小关系．
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
解析：选C．要使函数有意义，(log2x)2－1>0，
即log2x>1或log2x<－1，
所以x>2或0f(2) B．f(a＋1)f(2)．
3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72，又0log62>log72>0，所以a>b>c，故选D.
4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．00，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，
所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得x∈(－1，3)，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a＞1时，求使f(x)＞0成立的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得－1＜x＜1.
故所求函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)f(x)为奇函数．证明如下：
由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数，
所以f(x)＞0⇔＞1，
解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的解集是(0，1)．
1．已知函数f(x)＝－x＋log2＋2，则f()＋f(－)的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．10
解析：选B．因为函数g(x)＝－x＋log2是奇函数，所以g()＋g(－)＝0，则f()＋f(－)＝g()＋2＋g(－)＋2＝4.故选B．
2．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．01时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.
当00，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3.
4．设函数f(x)＝|logax|(00，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当00，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
