2020学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点
2020 学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2
⇔
k1=k2.
②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1⊥l2
⇔
k1·k2=-1.
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1⊥l2.
2.两直线平行或重合的充要条件
直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 平行的充要条件是 A1B2-A2B1=
0,A1C2≠A2C1.重合的充要条件是 A1B2-A2B1=0,A1C2=A2C.
3.两直线垂直的充要条件
直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=
0.
例 1.(P101A 组 T10 改编)已知 P(-2,m),Q(m,4),且直线 PQ 垂直于直线 x+y+1=0,
则 m=____________.
【答案】1 [由题意知 m-4
-2-m
=1,所以 m-4=-2-m,所以 m=1.]
练习.(2019·山东滨州调研)直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则
m 等于( )
A.2 B.-3
C.2 或-3 D.-2 或-3
【答案】C [直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则有 2
m
=
m+1
3
≠ 4
-2
,故 m=2 或-3. ]
4.两条直线的交点的求法
直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数),则
l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
A1x+B1y+C1=0,
A2x+B2y+C2=0 的解.
例 2.(2019·山东济宁月考)若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点,
则 m 的值为____________.
【答案】-9 [由
y=2x
x+y=3 得
x=1
y=2 ,即交点坐标为(1,2).又三线共点,∴m+2×2
+5=0,m=-9.]
练习.当 0
0,
故直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在第二象限.]
5.三种距离
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离
|P1P2|
d= x2-x12+y2-y12
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0
的距离
d=|Ax0+By0+C|
A2+B2
平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2
=0 间的距离
d=|C1-C2|
A2+B2
例 3.(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线,l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1
=0 间的距离为 5,则直线 l1 的方程为________________.
【答案】2x±4y+9=0 或 2x±4y-11=0 [∵l1∥l2,∴m
2
= 8
m
≠ n
-1
,∴
m=4,
n≠-2
或
m=-4,
n≠2.
(1)当 m=4 时,直线 l1 的方程为 4x+8y+n=0,
把 l2 的方程写成 4x+8y-2=0,
∴ |n+2|
16+64
= 5,解得 n=-22 或 18.
故所求直线的方程为 2x+4y-11=0 或 2x+4y+9=0.
(2)当 m=-4 时,直线 l1 的方程为 4x-8y-n=0,
l2 的方程为 4x-8y-2=0,
∴|-n+2|
16+64
= 5,解得 n=-18 或 22.
故所求直线的方程为 2x-4y+9=0 或 2x-4y-11=0.]
[变式探究] 将题 2 改为“已知直线 l 过点 P(3,-4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,
则直线 l 的方程为________________.”
【答案】2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0 [显然直线 l 斜率不存在时,不满足题意;设所
求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0,
由已知,得|-2k-2+4-3k|
1+k2 =|4k+2+4-3k|
1+k2 ,
∴k=2 或 k=-2
3
.
∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.]
练习. (P110 B 组 T2 改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于
( )
A. 2 B.2- 2
C. 2-1 D. 2+1
【答案】C [由题意得|a-2+3|
1+1
=1. 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.∵a>0,∴a
=-1+ 2.]
6.直线系方程
(1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C).
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y
+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.
例 4.求经过两条直线 l1:x+y-4=0 和 l2:x-y+2=0 的交点,且与直线 2x-y-1=0
垂直的直线方程为____________________.
【答案】x+2y-7=0 [由
x+y-4=0,
x-y+2=0, 得
x=1,
y=3,
∴l1 与 l2 的交点坐标为(1,3).
设与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为 x+2y+c=0,则 1+2×3+c=0,∴c=-7.
∴所求直线方程为 x+2y-7=0.]
7.对称问题
在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中
心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,
联立求解.
例 5. (2019·福建厦门月考)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y
+10=0 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的方程为____________________.
【答案】x+4y-4=0 [设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的
对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上,代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0)
在直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0.]
练习. (2019·山东德州月考)直线 2x-y+3=0 关于直线 x-y+2=0 对称的直线方程是
( )
A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
A [设所求直线上任意一点 P(x,y),则 P 关于 x-y+2=0 的对称点为 P′(x0,y0),
由
x+x0
2
-y+y0
2
+2=0,
x-x0=-y-y0,
得
x0=y-2,
y0=x+2,
由点 P′(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上,
∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即 x-2y+3=0.]
练习. (2019·湖北孝感五校联考)已知直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,
若点 A,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点 C 的坐标为( )
A.(-2, 4) B.(-2,-4)
C.(2, 4) D.(2,-4)
C [设 A(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点为(x,y),则
y-2
x+4
×2=-1,
y+2
2
=2×-4+x
2
,
解得
x=4,
y=-2,
∴BC所在直线方程为y-1=-2-1
4-3
(x-3),即3x+y-10=0.联立
3x+y-10=0,
y=2x, 解
得
x=2,
y=4, 则 C(2,4).]