【数学】辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期末考试试题

【数学】辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期末考试试题

大辽宁省大连市2019-2020学年 高一上学期期末考试试题 注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．‎ ‎2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知命题，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎3．下列幂函数为偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如果的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ）‎ A．5，5 B．5，4 C．4，3 D．4，2‎ ‎5．已知向量，满足，，，则（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ）‎ A．0.16 B．0.48 C．0.52 D．0.84‎ ‎7．函数的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）‎ ‎①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；‎ ‎②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；‎ ‎③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；‎ ‎④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．‎ A．②④ B．①④ C．①② D．②③‎ ‎9．已知平面上的非零向量，，，下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则，；‎ ‎④若，则一定存在唯一的实数，使得．‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎10．已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．已知函数与函数的图像关于对称，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数，则关于x的不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知，，则________．‎ ‎14．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：‎ 甲：86，79，82，91，83，89，94，89‎ 乙：90，92，，80，84，95，94，90‎ 已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________．（本题第一空3分，第二空2分）‎ ‎15．已知中，D、E分别为AB、AC的中点，，，则xy的最大值为________．‎ ‎16．设且，函数在上是减函数，则实数a的取值范围是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知正数a，b，c，求证：，，这三个数中，至少有一个不小于4．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，‎ ‎（Ⅰ）用向量和表示向量，；‎ ‎（Ⅱ）若，，求实数x和y的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：‎ 男性：‎ 评分结果 频数 ‎50‎ ‎200‎ ‎350‎ ‎300‎ ‎100‎ 女性：‎ 评分结果 频数 ‎250‎ ‎300‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（常数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数为偶函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）证明在上为增函数；‎ ‎（Ⅲ）若关于x的方程有两个不等的实根，求实数的取值范围．‎ 参考答案 说明：‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、选择题和填空题每题均5分，其中（14）题第一空3分，第二空2分．‎ 一、选择题：‎ ‎1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D ‎7．A 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题：‎ ‎13． 14．89，87 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：因为是的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集 2分 解不等式，得，所以， 4分 解不等式，得，‎ 所以， 6分 因为集合B是集合A的真子集，所以， 8分 即 10分 ‎18．证明：假设这三个数都小于4，即，，，‎ 所以 2分 因为a，b，c均大于0，根据均值不等式有，‎ ‎， 8分 当且仅当，，时，等号成立． 10分 这与矛盾，‎ 因此假设不成立，从而这三个数中，至少有一个不小于4． 12分 ‎19．解：（Ⅰ） 3分 ‎ 6分 ‎（Ⅱ）因为 ‎． 9分 即 因为与不共线，从而，解得 12分 ‎20．解：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，‎ ‎ 4分 由频率分布直方图可以看出，男性消费者评分的中位数在区间内，女性消费者评分的中位数在区间内，所以男性消费者评分的中位数大．‎ 由图估计男性消费者评分的方差小． 6分 ‎（Ⅱ）运用分层抽样的方法从1000名男消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为2人，记作a，b；运用分层抽样的方法从1000名女消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为4人，记作A，B，C，D．‎ 在这6人中任意抽取两人，所得样本空间为：‎ ‎，共包含15个样本点． 9分 把两人性别恰好不同这个事件记作M，‎ 则，共包含8个样本点．‎ ‎． 12分 ‎21．解：（Ⅰ）由题意可得 ‎，‎ ‎，‎ 解集为． 4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 6分 令，因为，所以 求在上的最小值即求函数在上的最小值，‎ 时， 8分 当时，即时，‎ 易知函数在为减函数，所以；‎ 当时，即时，‎ 易知函数在为减函数，在为增函数，所以 ‎；‎ 当即时，‎ 易知函数在为增函数，‎ ‎ 11分 综上，当时，的最小值为0；‎ 当时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为 12分 ‎22．解：（Ⅰ）因为是偶函数，所以，有 ‎，即，‎ 因为对任意的实数x，上式恒成立，所以 3分 ‎（Ⅱ）任取，，且，‎ 又由，得，，即，，‎ 则，即，‎ 所以在上为增函数． 6分 ‎（Ⅲ）因为，，所以 ‎，即 由于函数为偶函数，在上为增函数，易知，‎ 当时，即，代入原方程 解得，此时方程仅有一个根，‎ 所以不符合题意；‎ 令，，‎ 则任取，关于x的方程均有两个不同的实数根，‎ 因此若原方程有两个不同的实数根，只需关于u的方程 在上满足：‎ ‎①当时，有两个相等实数根，或者一个实数根（且另一个实数根小于2）‎ 设函数，‎ 所以或者，‎ 解得：或 11分 ‎②当时，解得，‎ 此时原方程有两个不等的实数根，符合题意．‎ 综上：或 12分