【数学】北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试试题 （解析版）

【数学】北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试试题 （解析版）

北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试 数学试题 一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.不等式解集是( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，可以变形为（x+1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，‎ 解得﹣1≤x＜2，即不等式的解集为{x|﹣1≤x＜2}，‎ 故选：B ‎2.设等差数列的前n项和，若，则( )‎ A. 13 B. ‎14 ‎C. 26 D. 52‎ ‎【答案】C ‎【解析】在等差数列{an}中，由a4+a10＝4，得‎2a7＝4，即a7＝2.‎ ‎∴S13＝.‎ 故选：C.‎ ‎3.在中，若，则的形状是( )‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】因为在中，满足，‎ 由正弦定理知，代入上式得，‎ 又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，‎ 所以为钝角三角形，故选A.‎ ‎4.已知直线的方程为，直线的方程为，则直线和的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵已知直线l1的方程为3x+4y﹣7＝0，直线l2的方程为3x+4y+1＝0，‎ 则直线l1和l2的距离为d＝＝，‎ 故选：A.‎ ‎5.设某直线的斜率为k，且，则该直线的倾斜角的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线l的斜率为k，倾斜角为，若k∈（﹣，），‎ 所以﹣＜tan＜所以.‎ 故选：D ‎6.对于直线和平面，能得出的一组条件是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】A选项中，根据，，，得到或，所以A错误；‎ B选项中，，，，不一定得到，所以B错误；‎ C选项中，因为，，所以.‎ 又，从而得到，所以C正确；‎ D选项中，根据，，所以，而，所以得到，所以D错误.‎ 故选：C.‎ ‎7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:①平面ADNE；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正确命题的序号是( )‎ A. ②③ B. ①②③ ‎ C. ②③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD﹣EFMN，如图1所示；‎ 对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM⊂平面BCMF，‎ ‎∴BM∥平面ADNE，①错误；‎ 对于②，平面DCMN∥平面ABFE，CN⊂平面DCMN，‎ ‎∴CN∥平面ABFE，②正确；‎ 对于③，如图2所示，‎ BD∥FN，BD⊄平面AFN，FN⊂平面AFN，‎ ‎∴BD∥平面AFN；‎ 同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，‎ ‎∴平面BDM∥平面AFN，③正确；‎ 对于④，如图3所示，同③可得平面BDE∥平面NCF，④错误.‎ 综上，正确的命题序号是②③.‎ 故选：A ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图是长方体的一部分，‎ 由三视图的数据，AB＝BC＝2，P到底面的距离为1，‎ ‎∴该几何体的体积：V＝＝.‎ 故选：B.‎ ‎9.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )‎ A. 8 B. ‎12 ‎C. 16 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，‎ 而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，‎ 当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，‎ 当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，‎ 故有8+4+4＝16‎ 故选：D.‎ ‎10.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，平面ABCD且，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；‎ 则EF∥BD，EF⊄平面BDS，BD ⊂平面BDS ‎∴EF∥平面BDS 同理FG∥平面BDS 又EF∩FG＝F，EF ⊂平面EFG，FG ⊂平面EFG，，‎ ‎∴平面EFG∥平面BDS，‎ 由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，‎ 则AC⊥平面BDS，‎ ‎∴AC⊥平面EFG，‎ ‎∴点P在△EFG的三条边上；‎ 又EF＝BD＝××＝1，‎ FG＝EG＝SB＝×＝，‎ ‎∴△EFG的周长为EF+2FG＝1+‎ 故选：D.‎ 二､填空题共6小题.‎ ‎11.直线的斜率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线l：xcos﹣y+1＝0，即为直线l：x﹣y+1＝0，即为y＝x+1，‎ 故直线的斜率为，‎ 故答案为：.‎ ‎12.设等比数列满足，，则________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设公比为q，∵a2＝4，a‎3a4＝128，‎ ‎∴4q×4q2＝128，‎ ‎∴q3＝8，‎ ‎∴q＝2，‎ ‎∴a6＝a2q4＝4×24＝64，‎ 故答案为：64.‎ ‎13.若，，，一定有，成立，请将猜想结果填空:________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由a＞0，b＞0，a+b＝1，‎ 一定有ab+≥4+，（ab）2+（）2≥42+成立，‎ 可以猜想：，‎ 故答案为：.‎ ‎14.如图，在长方体中，，，，M为AB的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接MC，由BB'∥CC'，BB'⊄平面MCC'，CC'⊂平面MCC'，‎ 可得BB'∥平面MCC'，‎ 由点P到直线BB'的距离的最小值为异面直线BB'和直线C'M的距离，‎ 即有直线BB'和平面MCC'的距离即为异面直线BB'和MC'的距离，‎ 也即B到平面MCC'的距离，‎ 过B在底面AC内作BH⊥MC，‎ 由CC'⊥底面AC，可得CC'⊥BH，‎ 即有BH⊥平面MCC'，‎ 由BC＝BM＝1，且BC⊥BA，可得BH＝.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知中，点，，.则的面积为________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由两点式的直线BC的方程为＝，即为x+2y﹣8＝0，‎ 由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，‎ BC两点之间的距离为＝4，‎ ‎∴△ABC的面积为×4×＝10，‎ 故答案为：10.‎ ‎16.已知，两点，满足:，，，‎ 则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），‎ 由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，‎ 可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，‎ 且＝1×1×cos∠AOB＝，‎ 即有∠AOB＝60°，‎ 即三角形OAB为等边三角形，AB＝1，‎ 的几何意义为点A，B两点 到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，‎ 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，‎ 可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），‎ 由圆心O到直线AB的距离d＝，‎ 可得2＝1，解得t＝，‎ 即有两平行线的距离为＝，‎ 即的最大值为，‎ 故答案为：.‎ 三､解答题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.‎ ‎17.等比数列中，，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)记为的前n项和.若，求m.‎ 解：（1）∵等比数列{an}中，a2＝2，a7＝‎8a4.‎ ‎∴2×q5＝8×（2×q2），‎ 解得q＝2，‎ 当q＝2时，an＝2n﹣1，‎ ‎∴{an}的通项公式为，an＝2n﹣1，‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和，a2＝2，q＝2，‎ 则a1＝1，‎ 则Sn＝＝2n﹣1，‎ 由Sm＝63，得Sm＝‎2m﹣1＝63，m∈N，‎ 解得m＝6.‎ ‎18.设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，.‎ ‎(1)当时，求a的值；‎ ‎(2)当的面积为3时，求的值.‎ 解：（1）∵，∴， ‎ 由正弦定理可知：，‎ ‎∵A＝30°，∴sinA＝sin30°＝，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，△ABC的面积为3， ‎ ‎∴，∴ac＝10，‎ 由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴，即a2+c2＝25，‎ 则（a+c）2＝a2+c2+‎2ac＝25+20＝45，‎ 故.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，且，.四边形ABCD满足，，.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.‎ ‎(1)若F为PC的中点，求证:平面PAD；‎ ‎(2)求证:平面平面PAB；‎ ‎(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)因为E，F分别为侧棱PB，PC的中点，‎ 所以，因为，‎ 所以，而平面PAD，平面PAD，‎ 所以平面PAD；‎ ‎(2)因为平面平面PAC，平面平面，‎ 且，平面PAC，‎ 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.‎ 又因为，，所以平面PAB，‎ 而平面AFD，所以平面平面PAB；‎ ‎(3)在棱PC上显然存在点F使得.‎ 由已知，，，，.‎ 由平面几何知识可得.‎ 由(2)知，平面ABCD，所以，‎ 因为，所以平面PAC.‎ 而平面PAC，所以.‎ 又因为，所以平面PCD.‎ 在中，，，，‎ 可求得，，.‎ 可见直线与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为.‎ ‎20.如图，的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为，直线CD交AB于点，交x轴于点.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)动点P在x轴上从点出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.‎ ‎①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.‎ 解：（1）直线CD过点C（12，0），D（6，3），直线方程为＝，‎ 化为一般形式是x+2y﹣12＝0；‎ ‎（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA＝∠B，‎ 由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；‎ ‎∴OP＝6﹣＝，∴点P（，0）；‎ 根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（，0），‎ ‎∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）；‎ ‎②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，‎ 则直线OB的解析式为y＝x，‎ 直线PQ的解析式为y＝x+，‎ 由，解得，∴Q（﹣4，8）；‎ ‎∴PQ＝＝10，‎ ‎∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，‎ 又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；‎ 此时点M与点P重合，且t＝0；‎ 如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣m+6），‎ 则有m2+＝102，‎ 解得m＝；‎ ‎∴点Q的横坐标为或；‎ 设M的横坐标为a，‎ 则＝或＝，‎ 解得a＝或a＝；‎ 又点P是从点（﹣10，0）开始运动，‎ 则满足条件的t的值为或；‎ 如图4，当Q点与C点重合时，M点的横坐标为6，此时t＝16；‎ 综上，满足条件的t值为0，或16，或或.‎