【数学】2019届一轮复习全国通用版第56讲二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版第56讲二项式定理学案

第56讲　二项式定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.能用计数原理证明二项式定理．‎ ‎2．会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，6‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，4‎ ‎2017·山东卷，11‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，14‎ ‎2016·天津卷，10‎ ‎2016·山东卷，12‎ 对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值．利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题.‎ 分值：5分 ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝__Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N?)__‎ 二项式系数 二项式展开式中各项系数__C__(k＝0，1，…，n)‎ 二项式通项 Tk＋1＝__Can－kbk__，它表示第__k＋1__项 ‎2．二项式系数的性质 ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)在二项展开式中第k项为Can－kbk.(　×　)‎ ‎(2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)‎ ‎(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)‎ ‎(4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)‎ ‎(5)(a＋b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同．(　√　)‎ 解析 (1)错误．在二项展开式中第k＋1项为Can－kbk，而第k项应为Can－k＋1bk－1.‎ ‎(2)正确．通项Can－kbk中的a与b如果互换，则它将成为(b＋a)n的第k＋1项．‎ ‎(3)错误．由二项展开式中某项的系数的定义知；二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项．‎ ‎(4)正确．因为二项式(a＋b)n的展开式中第k＋1项的二项式系数为C，显然它与a，b无关．‎ ‎(5)正确．因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数．‎ ‎2．已知7的展开式的第4项等于5，则x＝(　B　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．7　　 D．－7‎ 解析 7的展开式中T4＝Cx43＝5，‎ 所以x＝－.‎ ‎3．化简：C＋C＋…＋C的值为__22n－1__.‎ 解析 因为C＋C＋…＋C＝22n，‎ 所以C＋C＋…＋C＝＝22n－1.‎ ‎4.5展开式中的常数项为__40__.‎ 解析 Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，‎ 令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.‎ ‎5．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝__4__.‎ 解析 由题意可知C32＝54，∴C＝6，解得n＝4.‎ 一　二项展开式中的特定项或系数问题 ‎(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．‎ ‎(2)已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．‎ ‎【例1】 (1)(2018·广东惠州模拟)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　A　)‎ A．10　　 B．－10‎ C．－5　　 D．20‎ ‎(2)8的展开式中的有理项共有__3__项．‎ 解析 (1)Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－x－1)r＝C(－1)r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C(－1)2＝10，故选A．‎ ‎(2)展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝rCx(r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，‎ 所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．‎ 二　多项展开式中的特定项或系数问题 ‎(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．‎ ‎(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．‎ ‎(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．‎ ‎【例2】 (1)4＋8的展开式中的常数项为(　D　)‎ A．32　　 B．‎34　‎　‎ C．36　　 D．38‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)‎ A．－80　　 B．－‎40　‎　‎ C．40　　 D．80‎ ‎(3)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　C　)‎ A．15　　 B．‎20　‎　‎ C．30　　 D．35‎ 解析 (1)4的展开式的通项为Tm＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－‎4m，令12－‎4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－n·n＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，‎ 所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.‎ ‎(2)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3；当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.‎ ‎(3)(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C．‎ 三　二项式系数的和与性质 赋值法的应用 ‎(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，‎ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【例3】 (1)设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a＝7b，则m＝(　B　)‎ A．5　　 B．‎6　‎　‎ C．7　　 D．8‎ ‎(2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝__0__.‎ 解析 (1)由题意得：a＝C，b＝C，所以‎13C＝‎7C，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝13，解得m＝6，经检验符合题意，选B．‎ ‎(2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.‎ 四　二项式定理的应用 ‎(1)整除问题的解题思路：‎ 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．‎ ‎(2)求近似值的基本方法：‎ 利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.‎ ‎【例4】 (1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整数，则a＝(　D　)‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．11　　 D．12‎ ‎(2)1.028的近似值是__1.172__.(精确到小数点后三位)‎ 解析 (1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除，且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.‎ ‎1．(2018·河南商丘检测)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　D　)‎ A．74　　 B．‎121　‎　‎ C．－74　　 D．－121‎ 解析 展开式中含x3的项的系数为 C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.‎ ‎2．(2018·安徽安庆二模)将3展开后，常数项是__－160__.‎ 解析 3＝6展开后的通项是 C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.‎ 令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.‎ ‎3．(2018·广东广州综合测试)已知n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.‎ 解析 二项式n的展开式的通项是 Tr＋1＝C·(2x3)n－r·r＝C·2n－r·(－1)r·x3n－4r，‎ 依题意，有3n－4×6＝0，得n＝8.‎ ‎4．C＋‎3C＋‎5C＋…＋(2n＋1)C＝__(n＋1)·2n__.‎ 解析 设S＝C＋‎3C＋‎5C＋…＋(2n－1)·C＋(2n＋1)C，‎ ‎∴S＝(2n＋1)C＋(2n－1)C＋…＋‎3C＋C，‎ ‎∴2S＝2(n＋1)(C＋C＋C＋…＋C)＝2(n＋1)·2n，‎ ‎∴S＝(n＋1)·2n.‎ 易错点　不能灵活使用公式及其变形 错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误．‎ ‎【例1】 求5展开式中常数项．‎ 解析 x－3＋－＝＝，‎ ‎∴原式＝(x－1)15，则常数项为C(－1)5＝－3 003.‎ ‎【例2】 求9192被100除所得的余数．‎ 解析 (90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.‎ ‎【跟踪训练1】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　C　)‎ A．10　　 B．‎20　‎　‎ C．30　　 D．60‎ 解析 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 课时达标　第56讲 ‎[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．二项式10的展开式中的常数项是(　A　)‎ A．180　　 B．‎90　‎　‎ C．45　　 D．360‎ 解析 10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为‎22C＝180.‎ ‎2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　B　)‎ A．16　　 B．10‎ C．4　　 D．2‎ 解析 2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.‎ ‎3.6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为(　B　)‎ A．3　　 B． C．3或　　 D．3或－ 解析 该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝x2dx＝|＝－＋＝.‎ ‎4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　D　)‎ A．－5　　 B．5‎ C．90　　 D．180‎ 解析 ∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22·(－1)8＝180，故选D．‎ ‎5．若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(　D　)‎ 解析 (＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxy，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．‎ ‎6．在(2x＋xlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x＝(　C　)‎ A．1　　 B． C．1或　　 D．－1‎ 解析 二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4·(xlg x)4＝1 120，∴x4(1＋lg x)＝1，两边取对数可知lg2x＋lg x＝0，得lg x＝0或lg x＝－1，故x＝1或x＝.‎ 二、填空题 ‎7．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.‎ 解析 由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，含x3项的系数是__10__(用数字填写答案)．‎ 解析 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，‎ 令5－＝3得r＝4，此时系数为10.‎ ‎9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.‎ 解析 对于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx－，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝‎5m，则有r＝‎3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.‎ 三、解答题 ‎10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项．‎ 解析 (1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝rCx，‎ 又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，‎ 解得n＝10.‎ ‎(2)由(1)得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2，‎ 故含x2的项的系数为‎2C＝.‎ ‎(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，‎ 故r＝2,5,8，‎ 则展开式中的有理项分别为 T3＝C2x2＝x2，‎ T6＝C5＝－，‎ T9＝C8x－2＝x－2.‎ ‎11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ ‎12．已知 n，求：‎ ‎(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解析 (1)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎