【数学】2019届一轮复习人教A版分段函数的零点问题学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版分段函数的零点问题学案（理）

母题十四 分段函数的零点问题 ‎【母题原题1】【2018天津，理14】‎ 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果．‎ 试题解析：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围．‎ 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：‎ ‎（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．学 ‎ ‎（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理8】‎ 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A 学 ‎ ‎【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式 ‎【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，理8】‎ 已知函数f（x）=（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程 恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（0， （B）[， （C）[， {}（D）[，）{}‎ ‎【答案】C ‎ 考点：函数性质综合应用 ‎ 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，理8】‎ 已知函数 函数 ，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D） 学 ‎ ‎【答案】D ‎，所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．‎ ‎【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合．学 ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力．将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力．是提高题．学 ‎ ‎【母题原题5】【2014天津，理14】‎ 已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或 与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．‎ 考点：方程的根与函数的零点．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给条件要求，两函数图象有四个交点，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合．‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想． 学 ‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面． 学 ‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步：利用赋值法，明确函数性质 有效化简f(x＋2)＝f(x)－f（1），须从求解f（1）入手，故采用赋值法令x＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x＝1对称；‎ 第二步：借助函数性质，确定函数解析式 借助函数的周期性和对称性得到函数f(x)在[0，1 上的解析式，在根据已知，明确函数在一个周期之内[0，2 的函数解析式；‎ 第三步：数形结合架起桥梁，求解范围 通过 y＝f(x)－loga(x＋1)转化为f(x)=loga(x＋1)，问题转化为两个函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)‎ 的图象交点问题，画出并分析两个函数图象的位置关系，保证至少三个交点得到不等关系，进而求解参数范围．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．判断函数零点个数的常见方法 ‎（1）直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；‎ ‎（2）图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；‎ ‎（3）将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；‎ ‎（4）二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．‎ ‎2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 ‎（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上．‎ ‎（2）利用零点存在性定理进行判断； ‎ ‎（3）画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．‎ ‎3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎4．函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 ‎（1）函数的零点：‎ 工具：零点存在性定理 ‎ 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内．‎ 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 学 ‎ ‎（2）方程的根：‎ 工具：方程的等价变形 作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数 ‎（3）两函数的交点：‎ 工具：数形结合 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．‎ 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．‎ 在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值．其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的．‎ ‎5．双变量函数方程的赋值方法： ， ， ‎ ‎（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域；‎ ‎（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质．‎ ‎6．常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 学 ‎ ‎（1）： ‎ ‎（2）： ‎ ‎（3）①当时，： ‎ ‎ ②当时，：‎ 学 ‎ ‎1．【2018天津河东区二模】已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果．学 - ‎ 详解：当时，， ，‎ 在同一坐标系内画出的图像，‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素．‎ ‎2．【2018天津市十二校二模】已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（ ）‎ ‎①关于的方程有个不同的零点；‎ ‎②对于实数，不等式恒成立；‎ ‎③在上，方程有个零点；‎ ‎④当时，函数的图象与轴围成的面积为．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎②‎ 由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；‎ ‎③‎ 由，得，设，则在上，方程有四个零点，故③错误；‎ ‎④令得，，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为，故④错误，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．‎ ‎3．【2018天津9校联考】定义在上的奇函数，当时， ，则函数（）的所有零点之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 当x≥0时，f（x）=，故函数f（x）的图象如下图所示：‎ ‎【名师点睛】函数零点的求解与判断 ‎（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，充分利用图象的对称性处理问题．‎ ‎4．【2018天津滨海新区七校模拟】已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ，所以 ，填．‎ ‎【点睛】‎ 绝对值函数常用的两种方法，一是分段讨论写成分段函数，二是数形结合，本题由于参数有范围，所以函数图像确定，由图像可得函数零点问题．‎ ‎5．【2018天津十二联考一】已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意画出的图象如图所示：‎ ‎∵函数，∴．‎ 当直线与相切时，即联立，得．‎ ‎③当时，函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意；‎ ‎④当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意．‎ 综上， 或．‎ 故选A．‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点 (方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．学 ‎ ‎6．【2018天津新四区期末联考】己知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得．‎ 画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线．‎ 结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是．选A．‎ ‎【名师点睛】‎ 已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与图象的公共点的个数；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．‎ ‎7．【2018天津滨海新区模拟】设函数 则函数的零点个数为()‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】作函数图像，由图像得交点个数为3个，选C．‎ ‎【名师点睛】‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎8．【2018天津耀华中学模拟】已知函数， ，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当0<λ<时，△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立，故λ的取值范围为(0， )．故选D．‎ ‎【名师点睛】已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．‎ ‎9．【2018天津一中月考二】已知函数当时， ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10．【2018河南巩义模拟】已知，若恰有两个根，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据f（x）的图象判断a的范围，用a表示出x1，x2，得出x1+x2关于a的函数，从而可得出x1+x2的取值范围．‎ 详解：作出f（x）的函数图象如图所示：‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：（1）确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；（2）应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．‎ ‎11．【2018天津部分区二模】已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是_______．学 ++ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：作出函数y=f（x）和y=x+b的图象．利用两个图象的交点个数问题确定b的取值范围．‎ 详解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2+1|=1﹣|x﹣1|，0≤x≤2．‎ 若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣1|=1﹣|x﹣3|，2≤x≤4．‎ 若4≤x≤6，则2≤x﹣2≤4，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣3|=1﹣|x﹣5|，4≤x≤6．‎ ‎∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，f（5）=1，‎ 设y=f（x）和y=x+b，则方程f（x）=x+b在区间[﹣2，6 内有3个不等实根，‎ 等价为函数y=f（x）和y=x+b在区间[﹣2，6 内有3个不同的零点．‎ 作出函数f（x）和y=x+b的图象，如图：‎ ‎∴要使方程f（x）=x+b，两个图象有3个交点，在区间[﹣2，6 内有3个不等实根，‎ 则b∈（ ，故答案为：（ ．‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎12．【2018天津部分区上学期期末考】已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出函数f（x）的图象，如图所示：‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；学 ； ‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎13．【2018天津河西上期中】已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若函数有两个零点，即与交于两点，‎ 因为与在定义域内均为单调递增函数，当时，当时，所以，则的取值范围是．‎ ‎14．【2018天津一中月考五】定义在上的函数满足，．若关于的方程有个不同实根，则正实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 在同一坐标系内画出函数与函数的图象．‎ 当时，，故．‎ 由题意及图象可得方程，即在(3，5)上有2个实数根，‎ ‎∴，解得．‎ 又由图象及题意可得方程在(5，6)内无解，∴，解得．‎ 综上可得．∴正实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】已知函数零点的个数（方程根的个数或两函数图象公共点个数）求参数的取值范围时，常用的方法是将所给问题转化为两函数图象公共点个数的问题．在同一坐标系内画出两函数的图象，通过观察函数图象的位置关系，并结合特殊点处的函数值的大小得到关于参数的不等式（组），解不等式（组）可得所求的范围．‎ ‎15．【2018天津一中月考三】定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意， ，画出其图象如图所示：‎ 结合图象可以知道， 有5个零点时，实数m的取值范围是，‎ 故答案为 ‎【名师点睛】已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．‎