【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式及其应用(2)学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式及其应用(2)学案

第 3 节 基本不等式及其应用 最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题. 知 识 梳 理 1.基本不等式: ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)其中a+b 2 称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤(a+b 2 ) 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x≥0,y≥0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积定 和最小). (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是s2 4 (简记:和定积 最大). [常用结论与微点提醒] 1. b a+a b≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. 2.ab≤(a+b 2 ) 2 ≤a2+b2 2 . 3. 2 1 a +1 b ≤ ab≤a+b 2 ≤ a2+b2 2 (a>0,b>0). 4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式 a2+b2≥2ab 与a+b 2 ≥ ab成立的条件是相同的.(  ) (2)函数 y=x+1 x的最小值是 2.(  ) (3)函数 f(x)=sin x+ 4 sin x的最小值为 4.(  ) (4)x>0 且 y>0 是x y+y x≥2 的充要条件.(  ) 解析 (1)不等式 a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R; 不等式a+b 2 ≥ ab成立的条件是 a≥0,b≥0. (2)函数 y=x+1 x值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. (3)函数 f(x)=sin x+ 4 sin x的最小值为-5. (4)x>0 且 y>0 是x y+y x≥2 的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.设 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy 的最大值为(  ) A.80 B.77 C.81 D.82 解析 xy≤(x+y 2 ) 2 =81,当且仅当 x=y=9 时取等号. 答案 C 3.若函数 f(x)=x+ 1 x-2(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于(  ) A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 1 x-2 +2≥2 (x-2) × 1 x-2 +2=4, 当且仅当 x-2= 1 x-2(x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,即 a= 3. 答案 C 4.(2017·山东卷)若直线 x a+y b=1(a>0,b>0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 ________. 解析 由题设可得1 a +2 b=1,∵a>0,b>0, ∴ 2a + b = (2a + b)(1 a +2 b)= 2 + b a+ 4a b + 2≥4 + 2 b a· 4a b = 8 (当且仅当b a =4a b ,即b=2a时,等号成立). 故 2a+b 的最小值为 8. 答案 8 5.(必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙 长 18 m,则这个矩形的长为______m,宽为________m 时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为 x m,宽为 y m.则 x+2y=30,所以 S=xy=1 2x·(2y)≤ 1 2(x+2y 2 ) 2 =225 2 ,当且仅当 x=2y,即 x=15,y=15 2 时取等号. 答案 15 15 2 考点一 配凑法求最值 【例 1】 (1)若 x<5 4,则 f(x)=4x-2+ 1 4x-5 的最大值为________; (2)函数 y= x-1 x+3+ x-1 的最大值为________. 解析 (1)因为 x<5 4,所以 5-4x>0, 则 f(x)=4x-2+ 1 4x-5 =-(5-4x+ 1 5-4x)+3≤ -2 (5-4x) 1 5-4x +3=-2+3=1. 当且仅当 5-4x= 1 5-4x ,即 x=1 时,等号成立. 故 f(x)=4x-2+ 1 4x-5 的最大值为 1. (2)令 t= x-1≥0,则 x=t2+1, 所以 y= t t2+1+3+t = t t2+t+4. 当 t=0,即 x=1 时,y=0; 当 t>0,即 x>1 时,y= 1 t+4 t +1 , 因为 t+4 t≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号), 所以 y= 1 t+4 t +1 ≤1 5, 即 y 的最大值为1 5(当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 答案 (1)1 (2)1 5 规律方法 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二 定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时, 和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常 数的形式,然后再利用基本不等式. 【训练 1】 (1)(2018·湖北重点中学一联)若对∀x≥1,不等式 x+ 1 x+1 -1≥a 恒成 立,则实数 a 的取值范围是________. (2)函数 y=x2+2 x-1 (x>1)的最小值为________. 解析 (1)因为函数 f(x)=x+1 x-1 在[1,+∞)上单调递增,所以函数 g(x)=x+1+ 1 x+1 -2 在[0,+∞)上单调递增,所以函数 g(x)在[1,+∞)的最小值为 g(1)=1 2 , 因此对∀x≥1 不等式 x+ 1 x+1 -1≥a 恒成立,所以 a≤g(x)最小值=1 2,故实数 a 的 取值范围是(-∞, 1 2]. (2)y=x2+2 x-1 =(x2-2x+1)+(2x-2)+3 x-1 =(x-1)2+2(x-1)+3 x-1 =(x-1)+ 3 x-1 +2≥2 3+2. 当且仅当 x-1= 3 x-1 ,即 x= 3+1 时,等号成立. 答案 (1)(-∞, 1 2] (2)2 3+2 考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示) 【例 2】 (1)(一题多解)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值为 ________; (2)(一题多解)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由 x+3y=5xy 可得 1 5y+ 3 5x=1, ∴3x+4y=(3x+4y)( 1 5y+ 3 5x) =9 5+4 5+3x 5y+12y 5x ≥13 5 +12 5 =5(当且仅当3x 5y=12y 5x ,即 x=1,y=1 2时,等号成立), ∴3x+4y 的最小值是 5. 法二 由 x+3y=5xy,得 x= 3y 5y-1 , ∵x>0,y>0,∴y> 1 5, ∴3x+4y= 9y 5y-1 +4y= 13(y-1 5)+9 5 +4 5 -4y 5(y-1 5) +4y=13 5 +9 5· 1 5 y-1 5 +4(y-1 5) ≥13 5 +2 36 25=5, 当且仅当 y=1 2时等号成立,∴(3x+4y)min=5. (2)由已知得 x=9-3y 1+y . 法一 (消元法) 因为 x>0,y>0,所以 0<y<3, 所以 x+3y=9-3y 1+y +3y = 12 1+y +3(y+1)-6≥2 12 1+y·3(y+1)-6=6, 当且仅当 12 1+y =3(y+1), 即 y=1,x=3 时,(x+3y)min=6. 法二 ∵x>0,y>0, 9-(x+3y)=xy=1 3x·(3y)≤1 3·(x+3y 2 ) 2 , 当且仅当 x=3y 时等号成立. 设 x+3y=t>0,则 t2+12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6. 故当 x=3,y=1 时,(x+3y)min=6. 答案 (1)5 (2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个 量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变 形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最 值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. 易错警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;(2)尽量避免多次 使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致. 【训练 2】 (1)已知 x,y 均为正实数,且 1 x+2 + 1 y+2 =1 6,则 x+y 的最小值为(  ) A.24 B.32 C.20 D.28 (2)(2018·石家庄质检)已知直线 l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则 a+ b 的最小值为________. 解析 (1)∵x,y 均为正实数,且 1 x+2 + 1 y+2 =1 6, 则 x+y=(x+2+y+2)-4 =6( 1 x+2 + 1 y+2)(x+2+y+2)-4 =6(2+x+2 y+2 +y+2 x+2)-4 ≥6×(2+2 x+2 y+2· y+2 x+2)-4=20, 当且仅当 x=y=10 时取等号. ∴x+y 的最小值为 20. 故选 C. (2)因为直线 l 经过点(2,3),所以 2a+3b-ab=0,所以 b= 2a a-3>0,所以 a- 3>0,所以 a+b=a+ 2a a-3 =a-3+ 6 a-3 +5≥5+2 (a-3)· 6 a-3 =5+2 6,当 且仅当 a-3= 6 a-3 ,即 a=3+ 6,b=2+ 6时等号成立. 答案 (1)C (2)5+2 6 考点三 基本不等式在实际问题中的应用 【例 3】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 (2+ x2 360)升,司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为 t=130 x (h), y=130 x ×2×(2+ x2 360)+14×130 x ,x∈[50,100]. 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y=130 × 18 x +2 × 130 360 x,x∈[50, 100] (或 y=2 340 x +13 18x,x∈[50,100]). (2)y=130 × 18 x +2 × 130 360 x≥26 10, 当且仅当130 × 18 x =2 × 130 360 x, 即 x=18 10时等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 求解. 【训练 3】 2016 年 11 月 3 日 20 点 43 分我国长征五号运载火箭在海南文昌发 射中心成功发射,它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长 征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料,甲工厂承担了某种材料的 生产,并以 x 千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求 1≤x≤10),每小时可消耗 A 材料 kx2+9 千克,已知每小时生产 1 千克该产品时,消耗 A 材料 10 千克. (1)设生产 m 千克该产品,消耗 A 材料 y 千克,试把 y 表示为 x 的函数. (2)要使生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料最少,工厂应选取何种生产速度?并 求消耗的 A 材料最少为多少? 解 (1)由题意,得 k+9=10,即 k=1,生产 m 千克该产品需要的时间是m x, 所以 y=m x(kx2+9)=m(x+9 x),x∈[1,10]. (2)由(1)知,生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料为 y=1 000(x+9 x)≥1 000×2 9 =6 000, 当且仅当 x=9 x,即 x=3 时,等号成立,且 3∈[1,10]. 故工厂应选取 3 千克/时的生产速度,消耗的 A 材料最少,最少为 6 000 千克. 基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是(  ) A.lg(x2+1 4)>lg x(x>0) B.sin x+ 1 sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D. 1 x2+1 <1(x∈R) 解析 当 x>0 时,x2+1 4≥2·x·1 2 =x,所以 lg(x2+1 4)≥lg x(x>0),故选项 A 不 正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;显然选项 C 正确;当 x=0 时,有 1 x2+1 =1,选项 D 不正确. 答案 C 2.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是(  ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析 2 2x+y≤2x+2y=1,所以 2x+y≤1 4,所以 x+y≤-2. 答案 D 3.(2018·平顶山一模)若对于任意的 x>0,不等式 x x2+3x+1 ≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围为(  ) A.[1 5,+∞) B.(1 5,+∞) C.(-∞, 1 5) D.(-∞, 1 5] 解析 由 x>0,得 x x2+3x+1 = 1 x+1 x +3 ≤ 1 2 x· 1 x+3 =1 5,当且仅当 x=1 时,等号 成立,则 a≥1 5. 答案 A 4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是(  ) A. 1 ab≤1 4 B. 1 a+1 b≤1 C. ab≥2 D.a2+b2≥8 解析 4=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时,等号成立),即 ab≤2,ab≤4,1 ab≥1 4, 选项 A,C 不成立;1 a+1 b=a+b ab = 4 ab≥1,选项 B 不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab =16-2ab≥8,选项 D 成立. 答案 D 5.若 a,b 都是正数,则(1+b a)·(1+4a b )的最小值为(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析 ∵a,b 都是正数,∴(1+b a)(1+4a b )=5+b a+4a b ≥5+2 b a· 4a b =9,当且仅 当 b=2a>0 时取等号. 答案 C 6.若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是(  ) A. 4 3 B. 5 3 C.2 D. 5 4 解析 由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等 号成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 答案 C 7.已知 x>0,y>0 且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为(  ) A. 2 2 B.2 2 C. 2 D.2 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy, 则( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2. 答案 D 8.(2018·郑州质检)已知 a,b∈(0,+∞),且 a+b+ 1 a+1 b=5,则 a+b 的取值范 围是(  ) A.[1,4] B.[2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞) 解析 因为 a+b+1 a+1 b=(a+b)(1+ 1 ab)=5,又 a,b∈(0,+∞),所以 a+b= 5 1+ 1 ab ≤ 5 1+( 2 a+b)2 ,当且仅当 a=b 时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0, 解得 1≤a+b≤4. 答案 A 二、填空题 9.正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. 解析 ∵a,b 是正数,∴ab=a+b+3≥2 ab+3, 解得 ab≥3,即 ab≥9. 答案 [9,+∞) 10.(2017·天津卷)若 a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1 ab 的最小值为________. 解析 ∵a,b∈R,ab>0, ∴a4+4b4+1 ab ≥4a2b2+1 ab =4ab+ 1 ab≥2 4ab· 1 ab=4, 当且仅当{a2=2b2, 4ab= 1 ab,即{a2= 2 2 , b2= 2 4 时取得等号. 答案 4 11.已知函数 f(x)=x2+ax+11 x+1 (a∈R),若对于任意的 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析 对任意 x∈N*,f(x)≥3, 即x2+ax+11 x+1 ≥3 恒成立,即 a≥-(x+8 x)+3. 设 g(x)=x+8 x,x∈N*,则 g(x)=x+8 x≥4 2, 当 x=2 2时等号成立,又 g(2)=6,g(3)=17 3 ,g(4)=6. ∵g(2)>g(3),∴g(x)min=17 3 .∴-(x+8 x)+3≤-8 3, ∴a≥-8 3,故 a 的取值范围是[-8 3,+∞). 答案 [-8 3,+∞) 12.(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库,根据市场调研分析,运费与工厂 和仓库之间的距离成正比,仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比,当工厂和仓 库之间的距离为 4 千米时,运费为 20 万元,仓储费为 5 万元,当工厂和仓库之 间的距离为________千米时,运费与仓储费之和最小,最小为________万元. 解析 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米,运费为 y1 万元,仓储费为 y2 万元, 则 y1=k1x(k1≠0),y2=k2 x (k2≠0), ∵工厂和仓库之间的距离为 4 千米时,运费为 20 万元,仓储费用为 5 万元, ∴k1=5,k2=20,∴运费与仓储费之和为(5x+20 x )万元, ∵5x+20 x ≥2 5x × 20 x =20,当且仅当 5x=20 x ,即 x=2 时,运费与仓储费之和 最小,为 20 万元. 答案 2 20 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 13.(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小 值是(  ) A. 6- 2 4 B. 6+ 2 4 C. 6- 2 2 D. 6+ 2 2 解析 由正弦定理,得 a+ 2b=2c. 所以 cos C= a2+b2-c2 2ab = a2+b2-(a+ 2b 2 )2 2ab =3a2+2b2-2 2ab 8ab ≥2 6ab-2 2ab 8ab = 6- 2 4 . 当且仅当 3a2=2b2,即 3a= 2b 时,等号成立. 所以 cos C 的最小值为 6- 2 4 . 答案 A 14.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{an}满足 an+1+an=(n+1)·cosnπ 2 (n≥2,n ∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 S2 017+m=1 010,且 a1·m>0,则 1 a1+1 m的 最小值为(  ) A.2 B. 2 C.2 2 D.2+ 2 解析 由 an+1+an=(n+1)·cos nπ 2 (n≥2,n∈N*)得,a3+a2=-3,a4+a3=0,a5 +a4=5,a6+a5=0,a7+a6=-7,a8+a7=0,a9+a8=9,a10+a9=0,…, ∴a2+a3+a4+a5=a6+a7+a8+a9=… =a2 014+a2 015+a2 016+a2 017=2, ∴S2 017=504(a2+a3+a4+a5)+a1=1 008+a1, 又 S2 017+m=1 010, ∴a1+m=2,∴ 1 a1+1 m=1 2(a1+m)·( 1 a1+1 m) =1 2(2+a1 m +m a1)≥2,即 1 a1+1 m的最小值为 2. 答案 A 15.(2018·潍坊调研)设 x,y 满足约束条件 {y ≤ x+1, y ≥ 2x-1, x ≥ 0,y ≥ 0, 若目标函数 z=abx +y(a>0,b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为________. 解析 可行域如图所示,当直线 abx+y=z(a>0,b>0)过点 B(2,3)时,z 取最大值 2ab+3. 于是有 2ab+3=35,ab=16. 所以 a+b≥2 ab=8,当且仅当 a=b=4 时等号成立, 所以(a+b)min=8. 答案 8 16.正数 a,b 满足1 a+9 b=1,若不等式 a+b≥-x2+4x+18-m 对任意实数 x 恒 成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 因为 a>0,b>0,1 a+9 b=1,所以 a+b=(a+b)·(1 a+9 b)=10+b a+9a b ≥10 +2 9=16.由题意,得 16≥-x2+4x+18-m,即 x2-4x-2≥-m 对任意实数 x 恒成立,又 x2-4x-2=(x-2)2-6 的最小值为-6, 所以-6≥-m,即 m≥6. 答案 [6,+∞)
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