河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学（理）试题 Word版含解析

河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到，建立不等式，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】解：，，且 所以，当时，解得；‎ 当时，‎ 解得 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．‎ ‎2.已知复数（其中是虚数单位，满足），则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数，则的共轭复数可求．‎ ‎【详解】解：，‎ 则．‎ - 24 -‎ 故选：C ．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.郑州市2019年各月的平均气温数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）‎ A. 20 B. 21 C. 20.5 D. 23‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．‎ ‎【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34，‎ 故中位数是：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题．‎ ‎4.圆关于直线对称的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．‎ ‎【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为2，‎ - 24 -‎ 设关于直线的对称点为，‎ 则，解得．‎ ‎，‎ 则圆关于直线对称的圆的方程为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题．‎ ‎5.在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ）‎ A. 30米 B. 20米 C. 米 D. 15米 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，画出轴截面图，即可得解；‎ ‎【详解】解：光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，如图所示，又为等腰直角三角形，故，则要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆锥的轴截面的相关计算，属于基础题；‎ ‎6.若，，则的值为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为 所以 所以 所以 所以，即，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；‎ ‎7.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的的取值范围是（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】解：设输入，‎ 第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；‎ 第三次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；‎ 故，且，‎ 解得：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．‎ ‎8.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等记区域为不平等区域，表示其面积，为 - 24 -‎ 的面积．将，称为基尼系数．对于下列说法：‎ ‎①越小，则国民分配越公平；‎ ‎②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；‎ ‎③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；‎ ‎④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．‎ 其中不正确的是：（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，利用微积分基本定理求出的面积，即可判断；‎ ‎【详解】解：依题意当越小时，越小，则国民分配越公平，故①正确；‎ 当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线，此时，故②错误；‎ 当劳伦茨曲线近似为时，，，所以，故③错误；‎ 当劳伦茨曲线近似为时，，‎ - 24 -‎ ‎，所以，故④正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查微积分基本定理的应用，属于基础题.‎ ‎9.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）‎ A. 96 B. 84 C. 120 D. 360‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.‎ ‎【详解】由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.‎ ‎10.已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，求出公差的值，得到数列的通项公式，前项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：，、、成等比数列，‎ ‎．‎ 得或（舍去），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，则 当且仅当，即时，的最小值为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．‎ ‎11.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD，可得该阳马的外接球的直径为PB，计算得出结果即可.‎ ‎【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，‎ 其中PD⊥底面ABCD．‎ - 24 -‎ AB＝1，AD＝2，PD＝1．‎ 则该阳马的外接球的直径为PB．‎ ‎∴该阳马的外接球的表面积：．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了四棱锥三视图及锥体中的数量关系、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.过双曲线（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为，交双曲线的左支于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的右焦点的坐标,由于直线与直线垂直,所以直线方程为,联立,求出点,由已知,得点,把点坐标代入方程,,整理得,故离心率,选C.‎ 考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ - 24 -‎ ‎13.在的展开式中常数项为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出展开式的通项，令求出r的值即得解.‎ ‎【详解】由题得的展开式的通项为，‎ 令 所以展开式的常数项为.‎ 故答案为160‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式展开式常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知函数，，当且时，方程根的个数是______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对两个函数分析可知，函数与都是奇函数，且是反比例函数，在，上是减函数，在，上是增函数，在，上是减函数，且，；；；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．‎ ‎【详解】解：；‎ 令得，．‎ 在，上是减函数，在，上是增函数，在，上是减函数，‎ 且，；；；‎ 故作函数与在，上的图象如下，‎ - 24 -‎ 结合图象可知，两图象在，上共有3个交点；‎ 又，都是奇函数，且不经过原点，‎ 与在，上共有6个交点，故有6个零点．‎ 故答案：6．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．‎ ‎15.已知直角梯形，，．，，是腰上的动点，则的最小值为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，根据向量的坐标运算和模的计算得到，，问题得以解决．‎ ‎【详解】解：如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，‎ 则，，，‎ 设，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ - 24 -‎ 的最小值为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎16.设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线上存在两点、满足题设要求，则点、只能在轴两侧．设，，则，运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到的范围．‎ ‎【详解】解：假设曲线上存在两点、满足题设要求，‎ 则点、只能在轴两侧．‎ 不妨设，，‎ 则，‎ 是以为直角顶点的直角三角形，‎ ‎，‎ - 24 -‎ 即 若方程有解，存在满足题设要求的两点、；‎ 若方程无解，不存在满足题设要求的两点、．‎ 若，则代入式得：‎ 即，而此方程无解，因此，此时，‎ 代入式得：，‎ 即 令，‎ 则，‎ 在，上单调递增，‎ ‎，‎ 的取值范围是．‎ 对于，方程总有解，即方程总有解．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，即可得到方程组，解得即可；‎ ‎（Ⅱ）由，则，再由累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可；‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则 解得 ‎（Ⅱ）由，．‎ 当时，‎ ‎．‎ 对也适合，‎ ‎，．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎18.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．‎ - 24 -‎ ‎（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；‎ ‎（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？‎ ‎（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用表示所选4人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望．‎ 附：；其中 独立性检验临界表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列详见解析，数学期望为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依题意作出列联表，由列联表计算出卡方，再跟参考数据比较，即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）根据古典概型的概率公式计算可得；‎ ‎（Ⅲ）由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为，则服从二项分布 - 24 -‎ ‎，显然的取值为0，1，2，3，4，再列出分布列，即可求出数学期望；‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）作出列联表：‎ 青春组 风华组 合计 男生 ‎7‎ ‎6‎ ‎13‎ 女生 ‎5‎ ‎12‎ ‎17‎ 合计 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 由列联表数据代入公式得，‎ 因为，‎ 故没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．‎ ‎（Ⅱ）用表示“至少有1人在青春组”，则．‎ ‎（Ⅲ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布．‎ 显然的取值为0，1，2，3，4．且，．‎ 所以得分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ - 24 -‎ 数学期望 ‎【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列，属于中档题.‎ ‎19.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的射影恰好落在边上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，推导出，，从而平面，进而，平面，由此能证明平面平面．‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，因为平面，‎ ‎．‎ 四边形是矩形，，平面，．‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 而平面，‎ 平面平面．‎ - 24 -‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，．‎ 由（Ⅰ）知，又，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即 不妨取，则，，．‎ 而平面的一个法向量为，‎ ‎．‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎20.在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线距离之比为 - 24 -‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是轨迹上两个动点直线与轨迹的另一交点分别为且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）四边形的面积为定值12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，依题意可得，化简即可得解；‎ ‎（Ⅱ）设，，由，得，由点、在椭圆上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形的面积为定值．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设，依题意，，‎ 化简得，所以，动点的轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，，则由斜率之积，得，‎ ‎，因为点、在椭圆上，‎ 所以，．化简得．‎ 直线的方程为，原点到直线的距离为．‎ - 24 -‎ 所以，的面积，‎ 根据椭圆的对称性，四边形的面积，‎ 所以，，‎ 所以 所以，四边形的面积为定值12．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数在上的单调性．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）首先求出函数的导数，求即斜率，再由点斜式求出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）分别求出，的导函数，则，再对分类讨论可得；‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，曲线 ‎．所以 时，切线的斜率为，又切线过点 所以切线方程为．‎ ‎（Ⅱ），，‎ - 24 -‎ ‎，‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，令，，‎ 当时，即，，此时，函数在上单调递增；‎ 当时，即，方程有两个不等实根，‎ 所以，‎ 此时，函数在，上单调递增；在上单调递减．‎ 综上所述，当时，的单减区间是；‎ 当时，的单减区间是，‎ 单增区间是，‎ 当时，增区间．‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.在极坐标系中，圆的方程为．以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程和直线的普通方程，‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆交于两点，且．求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆的标准方程，消去参数即可求直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）因为圆的方程为，所以圆的直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程为（为参数），消去得到 ‎（Ⅱ）由圆的方程可得圆心，半径，‎ 则圆心到直线的距离，‎ ‎．‎ ‎，‎ 即，‎ 则，‎ 即，‎ 则，‎ 则，‎ 由解得，解得．‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题．‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲] ‎ 已知函数．‎ - 24 -‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；‎ ‎（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥，利用绝对值三角不等式处理即可.‎ 详解：（1）当时，‎ 的解集为： ‎ ‎（2）由得：‎ 由，得：‎ 得（当且仅当或时等号成立），‎ 故的最小值为.‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ - 24 -‎ - 24 -‎