宁夏六盘山高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试卷 Word版含解析
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宁夏六盘山高级中学 2020-2021 学年第一学期高三期中测试
卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合 22 , 3 0A x R x B x R x x ，则 A B 等于（ ）
A. 0, B. 2, C. 0,2 D. 2,3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合 B，再根据交集的定义即可求出.
【详解】 2 3 0 0 3B x R x x x x ，
2 3 2,3A B x x .
故选：D.
2. 复数 iz a b （ ,a bR ）满足 2 i(1 )z z ，则 a b ( )
A. 3
5- B. 1
5
C. 1
5 D. 3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
把 z＝a+bi（a，b∈R）代入 2z＝i（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相
等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求．
【详解】∵z＝a+bi，
由 2z＝i（1﹣z），得 2a+2bi＝i（1﹣a﹣bi）＝b+（1﹣a）i，
∴ 2
2 1
a b
b a
，解得 a 1
5
，b 2
5
．
∴a+b 3
5
．
故选 D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
- 2 -
3. 已知命题 p：角 的终边在直线 3y x 上，命题 q： π
3
，那么 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三角函数的定义，以及充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】命题 :p 若角 的终边在直线 3y x 上，则 3y
x
，则角 ,3 k k Z ，
所以命题 p 不能推出 q，反过来， π
3
，则角 的终边在直线 3y x 上，所以 p 是 q的
必要不充分条件.
故选：B
4. 若向量 ,a b
的夹角为120 ， 1a ， 2 7a b ，则 =b
（ ）
A. 1
2 B. 7
2
C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由 2 222 4 4 cos ,a b a b a b a b ，代入已知条件，即可解得 b
.
【详解】因为 2 222 4 4 cos ,a b a b a b a b ，
又 , 120a b ， 1a ， 2 7a b ，
所以 2
7=1 4 2b b ，解得 3
2b
(舍去)或 1b .故选 C.
【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或 2 2a a 求解.
5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知
数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于
同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于
整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到
- 3 -
大的顺序排成一列，构成数列 na ，则 5a （ ）
A. 103 B. 107 C. 109 D. 105
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知正整数能被 21 整除余 2，即可写出通项，求出答案.
【详解】根据题意可知正整数能被 21 整除余 2，
21 +2na n ，
5 21 5+2 107a .
故选：B.
6. 已知函数 ( ) lg( 1)f x x ，记 0.2(5 )a f ， 0.2(log 3)b f ， (1)c f ，则 , ,a b c 的大小关系为
( )
A. b c a B. a b c C. c a b D.
c b a
【答案】A
【解析】
【分析】
可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出 0.2
1
3b f log
，并且
可以得出 0.2
0.2
10 1 53log＜ ＜ ＜ ，从而由 f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出 a，b，c 的大
小关系．
【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；
∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23） 0.2
1
3f log
；
∵50.2＞50＝1， 0.2 0.2
10 0.2 13log log ＜ ＜ ；
∴ 0.2
0.2
10 1 53log＜ ＜ ＜ ；
- 4 -
∴ 0.2
0.2
1 1 53f log f f
＜ ＜ ；
∴b＜c＜a．
故选 A．
【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定
义．
7. 已知函数 sin 2 6f x x
的图象向右平移 0 个单位长度得到 g x 的图象，
3x 为函数 g x 的一个零点，则 的值不可能为（ ）
A. 17
12
B.
12
C. 5
12
D. 11
12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移伸缩，得出 sin 2 2 6g x x
，由于
3x 为函数 g x 的
一个零点，则 g x 关于点 ,03
对称，根据对称的性质，即可求出 5
12 2
k ， k Z ，
即可判断出答案.
【详解】解：函数 sin 2 6f x x
向右平移 个单位长度得： sin 2 2 6g x x
，
由题意可知，
3x 为函数 g x 的一个零点，
则 g x 关于点 ,03
对称，
则 2 2 ,3 6 k k Z ，则 5
12 2
k ， k Z ，
当 0k ， 5
12
； 1k ， 11
12
； 2k ， 17
12
，故 B 不可能.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数图象的平移伸缩以及正弦函数图象的对称性，属于基础题.
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8. 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 2 1xf x ，若 26 ( )f a f a ，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A. , 2 3, B. 3,2
C. 2,3 D. , 3 2, U
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数型函数可知 f x 在 0, 上单调递增,根据 f x 是定义在 R 奇函数,则 f x 在 R
上单调递增,即由 26f a f a 可得 26 a a ,即可求解.
【详解】解:因为当 0x 时, 2 1xf x ,所以 f x 在 0, 上单调递增,
又因为 f x 是定义在 R 奇函数,所以 f x 在 R 上单调递增,
因为 26f a f a ,所以 26 a a ,解得 2 3a ，
故选:C
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查利用函数单调性解不等式,考查指数型函数的性质的
应用.
9. 在梯形 ABCD 中，已知 / /AB CD ， 2AB CD ， 2DM MC ， 2 CN NB ，若
AM AC AN ，则 1 1
（ ）
A. 13
12 B. 64
13 C. 35
12
D. 40
13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则，化简得到 13 1
12 4AM AC AN ，得到 13 1,12 4
，即可求解.
【 详 解 】 由 题 意 ， 根 据 向 量 的 运 算 法 则 ， 可 得 ：
1 1 ( )6 6AM AC CM AC AB AC AC CB
- 6 -
5 1 5 1 5 1 13 1( )6 6 6 4 6 4 12 4AC CB AC CN AC AN AC AC AN ，
又因为 AM AC AN ，所以 13 1,12 4
，
所以 1 1 12 40413 13 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本
定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10. 函数 2 sinf x k x 在 0,2 处的切线l 也是函数 3 2 3 1y x x x 图象的一条切
线，则 k （ ）
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得出 f x 在 0,2 的切线l 的方程，设切线l 在函数 3 2 3 1y x x x
上的切点为( )0 0,x y ，结合导数的几何意义得出在点( )0 0,x y 的切线方程，并将点 0,2 代入
切线方程和函数 3 2 3 1y x x x ，求出 0 1x ， 0 0y ，再代入 2y kx ，即可得出
k 的值.
【详解】∵ cosf x k x ，∴ 0f k ，所以在 0,2 的切线 l 的方程为直线 2y kx
设切线l 在函数 3 2 3 1y x x x 上的切点为( )0 0,x y
由 23 2 3y x x ，得出
0
2
0 03 2 3x xy x x
故切线方程为 2
0 0 0 03 2 3y y x x x x
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由 2
0 0 0 0
3 2
0 0 0 0
2 3 2 3 0
3 1
y x x x
y x x x
整理得 3 2
0 02 3 0x x ，即 3 2 2
0 0 02 2 3 3 0x x x
所以 0 0
2
01 2 3 3 0x x x ，所以
2
0 0
3 151 2 04 8x x
解得 0 1x ， 0 0y
代入 2y kx ，解得 2k .
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
11. 设
Sn
为等差数列
{an}
的前
n
项和，若
a7=5
，
S5=-55
，则
nSn
的最小值为（ ）
A. 343 B. 324 C. 320 D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】
将 7 5a S， 用 1a ,d 表示，解方程组求得 nS ，再设函数求导求得 nnS 的最小值即可.
【 详 解 】 ∵
1
1
a 6 5
5 a 2d 55
d
解 得
1a 19
4,d
∴ 2 3 2
n n
n n 1S 19n 4 2n 21n, nS 2n 21n ,2
设
3 2f x 2x 21x x 0 ,f x 6x x 7 , 当 0
7 时， f x 0 ,
故 nnS 的最小值为 f(7)=-343.
故选 A.
【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数
求最值是关键，是中档题.
12. 已知函数 ( ) xf x e ex a 与 1( ) lng x x x
的图象上存在关于 x 轴对称的点，则 a 的取
值范围是（ ）
A. ( , ]e B. ( , 1] C. [ 1, ) D.
[ , )e- +¥
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【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到方程 1lnxa e ex x x
有解，令 1( ) lnxh x e ex x x
，
则 a 的取值范围是 ( )( 0)y h x x 的值域，对函数 ( )h x 求导，判定其单调性，研究其值域，
即可得出结果.
【详解】函数 ( ) xf x e ex a 与 1( ) lng x x x
的图象上存在关于 x 轴对称的点，
即方程 1ln 0xe ex a x x
有解，即方程 1lnxa e ex x x
有解，
令 1( ) lnxh x e ex x x
，则 a 的取值范围是 ( )( 0)y h x x 的值域，
因为 2 2
1 1 1( ) x x xh x e e e ex x x
，
所以当 1x 时， ( ) 0h x ；
当 0 1x 时， 0xe e ， 2
1 0x
x
，所以 2
1( ) 0x xh x e e x
，则函数
1( ) lnxh x e ex x x
单调递增；
当 1x 时， 0xe e ， 2
1 0x
x
，所以 2
1( ) 0x xh x e e x
，则函数
1( ) lnxh x e ex x x
单调递减；
所以 max( ) (1) 1h x h ，
画出函数 ( )h x 的大致图像如下，
- 9 -
由图像可得， , 1h x ，
所以 a 的取值范围 , 1 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化
为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. 命题“ x R ， 2 1 0x x ”的否定是__________．
【答案】 x R ， 2 1 0x x
【解析】
【详解】
【分析】
命题的否定，
将“ x R ”变为“ x R ”，
将“ 2 1 0x x ”变为“ 2 1 0x x ”．
14. 设数列 na 满足 1 1a ，且 *
1 1n na a n n N ，则数列 1
na
前 2020 项的和为
________．
【答案】 4040
2021
【解析】
【分析】
由 *
1 1n na a n n N 得 到
1 1 2 2 3 2 1, 1, 2,..., 2 n n n n n na a n a a n a a n a a ， 用 累 加 法 求 得
- 10 -
2
2n
n na ，从而得到 2
1 2 1 12 1na n n n n
骣琪= = -琪+ +桫 ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】因为 *
1 1n na a n n N ,
所以 1 1 2 2 3 2 1, 1, 2,..., 2 n n n n n na a n a a n a a n a a ，
左右分别相加得
1
1 22 3 4 ... 2
n
n nna a ，
所以
2
2n
n na ，
所以 2
1 2 1 12 1na n n n n
骣琪= = -琪+ +桫 ，
所以 2020
1 1 1 1 1 1 1 1 40402 ... 21 2 2 3 2020 2021 1 2021 2021
S ，
故答案为： 4040
2021
【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中
档题 .
15. 已知 ,2 2
， cos 2 3sin 1 0 ，则 tan ________.
【答案】 3
3
【解析】
【分析】
结合二倍角余弦公式解方程求得 sin ，由同角三角函数平方关系和商数关系可求得结果.
【详解】 2 2cos2 3sin 1 1 2sin 3sin 1 2sin 3sin 2 0 ，
1sin 2
或sin 2 （舍），
,2 2
Q ， cos 0 ， 2 3cos 1 sin 2
，
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1
sin 32tan cos 33
2
.
故答案为： 3
3
.
16. 如果函数 f x 同时具有下列两个性质（1）对任意的 1 2 1 2,x x R x x ，都有
2 1
2 1
0f x f x
x x
，（2）对任意的 xR ，都有 2 0f x f x ，则称 f x 是“ 函
数”，给出下列函数：① 31f x x ② cos 2f x x ③ sin 1 1f x x x 其
中，所有的“ 函数”的序号为________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由（1）（2）可知，函数是单调递增，并且函数关于点 1,0 对称，然后根据函数的特点判断
选项.
【详解】如满足条件（1）说明函数 f x 单调递增，若满足条件（2）说明函数关于点 1,0 对
称，满足这两个条件， f x 是“ 函数”.
① 31f x x 是增函数，并且关于点 1,0 对称，故①成立；② cos 2f x x 在定义域
上不是单调函数，故②不成立；③ sin 1 1f x x x ， cos 1 1 0f x x ，所
以函数单调递增，并且函数关于点 1,0 对称，故③成立.
故答案为：①③
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的性质，有关单调性的一些式子包含 1.若函数在定义
域满足 1 2 1 2 0x x f x f x （或 0 ），或 1 2
1 2
0f x f x
x x
（或 0 ）说明函数
单调递增（或递减），2.若函数满足 f a x f a x 或 2f a x f x ，说明函数关
于直线 x a 对称，3.若函数满足 f a x f a x 或 2f a x f x ，说明函数关
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于点 ,0a 对称，
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知向量 (2cos , 3cos ), (cos , 2sin ), x x x x x a b R , 设函数 ( )f x a b .
(1) 求 ( )f x 的最小正周期.
(2) 求 ( )f x 在 0, 2
上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）最大值和最小值分别为 3, 0.
【解析】
【分析】
（1）求出 ( )f x 化简，即可得出结论；
（2）根据整体思想，结合 siny x 图像特征，即可求出答案.
【详解】(1) (2cos , 3cos ), (cos , 2sin ), a x x b x x x R
,
( )f x a b · 2cos cos 3cos 2sinx x x x
3sin2 cos2 1x x
3 12 sin 2 cos2 12 2x x
.
2sin(2 ) 16x .
所以 2
2T , 所以 ( )f x 最小正周期为 .
(2) 当 [0, ]2x 时， 7(2 ) [ , ]6 6 6x = ，
1sin(2 ) sin [ ,1]6 2x .
( ) 2sin(2 ) 1 2sin 1 [0,3]6f x x
所以 ( )f x 在 0, 2
上的最大值和最小值分别为 3, 0.
【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的
关键，属于中档题.
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18. 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ，且 1 2n nna n S ， n N .
（1）求证：数列 nS
n
为等比数列；
（2）求数列 nS 的前 n 项和 nT
【答案】（1）证明见解析；（2） ( 1) 2 1n
nT n .
【解析】
【分析】
（1） 1 2n nna n S ，n N ， 1( ) 2n n nn S S n S ，变形为 1 21
n nS S
n n
，即可得
证.
（2）由（1） 12n
nS n ，利用乘公比错位相减法、等比数列求和公式即可得出.
【详解】（1）证明：∵ 1 2n nna n S ， n N .
∴ 1( ) 2n n nn S S n S ，
∴ 1 21
n nS S
n n
，
∴数列 nS
n
为等比数列，首项为 1，公比为 2，.
（2）由（1）可得： 12nnS
n
，
∴ 12n
nS n
∴数列 nS 的前 n 项和 2 11 2 2 3 2 2n
nT n .
∴ 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ( 1)2 2n n
nT n n ，
∴ 2 3 1 2 11 2 2 2 2 2 22 1
n
n n n
nT n n ，
∴ 1 2 1n
nT n .
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，通项公式的求法，乘公比错位相减法求和、等比
数列求和公式等知识，属于中档题.
19. 已知 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为
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2 2, , , sin sin sin sin sina b c B C A B C
（1）求 A ；
（2）已知 2 3a ，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1） π
3A ；（2） 4 3 4 2 3a b c .
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得 2 2b c a bc ，然后由余弦定理可得答案.
(2)由余弦定理可得 2 2 2a b c bc ，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答
案.
【详解】解（1）由 2 2sin sin sin sin sinB C A B C 可得 2 2b c a bc
即 2 2 2b c a bc ，则
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
， 0 πA ，
所以
3A
（2） 2 2 2 2 22 cosbc Aa b c cc bb ，
即 2 22 312 3 4a b c bc b c ，所以 2 3 4b c
所以 4 3 4 2 3a b c
所以三角形周长的取值范围是4 3 4 2 3 ，
20. 正项数列 na 的前项和 nS 满足： 24 2n n nS a a ， *n N ，
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）令 2 2
1
2n
n
nb
n a
，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，证明：对于任意的 *nN 都有 5
64nT .
【答案】（1） 2na n ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用 nS 与 na 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列 na 的通项公式；
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（2）由 2na n 得出数列 nb 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可.
【详解】（1）解：∵正项数列 na 的前项和 nS 满足：
24 2n n nS a a ， *n N ①
则 2
1 1 14 2n n nS a a ， 2n ②
① ②得 2 2
1 14 2 22n n n n na a a a a n
即 2 2
1 12 2 2n n n na a a a n
即 1 1 12 2n n n n n na a a a a a n
又 1 0n na a ， 1 2n na a ， 2n .
又 1 2a ，所以数列 na 是以 2 为首项 2 为公差的等差数列.所以 2na n .
（2）证明：由于 2na n ， 2 2
1
2n
n
nb
n a
则
2 222
1 1 1 1
164 2 2n
nb nn n n
2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1116 3 2 4 3 5 1 1 2nT nn n n
2 22 2
1 1 1 1 1 1 51 116 2 16 2 641 2nT
n n
.
【点睛】本题主要考查了由 nS 求 na 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.
21. 已知函数 2( ) ( 1) lnf x x m x ， Rm .
（1）当 2m 时，求函数 ( )f x 图象在点 (1,0) 处的切线方程：
（2）若函数 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，求 2
1
f x
x
的取值范围.
【答案】（1） 2 2 0x y ；（2） 21 ,0e
e
【解析】
【分析】
(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；
(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即
- 16 -
可.
【详解】 1 当 2m 时， 2( 1) 2f x x lnx ，其导数 2' 2 1f x x x
，
所以 ，即切线斜率为 2，
又切点为 1,0 ，所以切线的方程为 2 2 0.x y
2 函数 f x 的定义域为 0, ，
22 2' 2 1 m x x mf x x x x
，
因为 1x ， 2x 为函数 f x 的两个极值点，
所以 1x ， 2x 是方程 22 2 0x x m 的两个不等实根，由根与系数的关系知
1 2 1 21, 2
mx x x x ， *
又已知 1 2x x ，所以 1 2
10 12x x ， 2
2 2 2
1 1
( 1)f x x mlnx
x x
，
将 * 式代入得 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2
( 1) 2 1 1 21
f x x x x lnx x x lnxx x
，
令 1 2g t t tlnt ， 1 ,12t
，
，令 ，解得 1t
e
，
当 1 1,2x
e
时， ， g t 在 1 1,2 e
递减；
当 1 ,1x
e
时， ， g t 在 1 ,1
e
递增；
所以 1 2 2( ) 1 1min
eg t g ee e
， 1 , 12g t max g g
，
1 1 2 0 12 2g ln g
，
即 2
1
f x
x
的取值范围是 21 ,0 .e
e
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知
- 17 -
识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及
命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意
义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单
调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结
合思想的应用．
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分．
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
2 3
3
x t
y t
（t 为参数），以坐标原点 O 为极
点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为 4cos .
（1）求 l 的极坐标方程和 1C 的直角坐标方程；
（2）若曲线 2C 的极坐标方程为
6
， 2C 与l 的交点为 A ，与 1C 异于极点的交点为 B ，求
AB .
【答案】（1） cos 3 sin 2 0 ； 2 22 4x y （2） 4 3
3
【解析】
【分析】
（1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线 l 的方程，即可．结合
cos , sinx y ，得到 1C 的直角方程，即可．（2）分别计算极径 ,A B ，结合
A BAB ，计算结果，即可．
【详解】（1）因为直线 l 的参数方程为
2 3
3
x t
y t
（t 为参数），
所以直线 l 的普通方程为 3 2 0x y ，
又 cos , sinx y
故直线 l 的极坐标方程为 cos 3 sin 2 0 .
由曲线 C1 的极坐标方程为 4cos ，得 2 4 cos 0 ，
- 18 -
所以曲线 C1 的直角坐标方程为 2 22 4x y .
（2） , , ,6 6A BA B
则 cos 3 sin 2 06 6A A
，解得 1
2 3
3
.
又 4cos 2 36B
所以 2 3 4 32 33 3A BAB .
【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考
查了极坐标下弦长计算公式，难度中等．
23. 已知函数 1 1( ) 2 2
f x x x m 的最大值为 4.
（1）求实数 m 的值；
（2）若 0m ， 0 2
mx ，求 2 2
| | | 2 |
x x
最小值.
【答案】（1） 4m 或 4m ；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得 x 的范围，去绝对值后，再利用
“1”的代换计算.
【详解】（1）∵ 1 1 1 1( ) | | 42 2 2 2
f x x x m x m x m ，
∴ 4m 或 4m .
（2）∵ 0m ，
由（1）可知 4m ，
∴ 0 2x ，
∴ 2 2 2 2 1 1 1 12 [ (2 )]| | | 2 | 2 2 2
x xx x x x x x x x
- 19 -
2 22 2 2 42 2
x x x x
x x x x
，
当且仅当 2 2(2 ) x x ，
即 1x 时，等号成立，
∴
min
2 2 4| | | 2 |
x x .
【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.