山东专用2021版高考数学一轮复习考案8第八章解析几何综合过关规范限时检测含解析
[考案8]第八章 综合过关规范限时检测
(时间：120分钟 满分150分)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为( B )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x－5
C．y＝3x＋5 D．y＝x＋
[解析] A关于y＝x的对称点为A1(1，－3)，A关于x＝0的对称点为A2(3,1)，又A1、A2都在BC上，∴kBC＝2.∴BC的方程为y＋3＝2(x－1)，即y＝2x－5.
2．(2019·安徽模拟)抛物线y＝x2的焦点到双曲线y2－＝1的渐近线的距离为( B )
A． B．
C．1 D．
[解析] 抛物线y＝x2的焦点为(0,1)，双曲线y2－＝1的渐近线方程为x±y＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为＝，故选B.
3．(2020·四川攀枝花统考)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于( D )
A．1 B．
C． D．2
[解析] 圆x2＋y2＝4在点(－1，)处的切线为l：－x＋y＝4，即l：x－y＋4＝0，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝3，∴点P到直线l的距离的最小值等于d－1＝3－1＝2，故选D.
4．(2020·河南新乡模拟)P为椭圆＋＝1上的一个动点，M，N分别为圆C：(x－3)2＋y2＝1与圆D：(x＋3)2＋y2＝r2(0
0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( D )
A． B．
C．2 D．
[解析] 抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则有A(－1，)，B(－1，－)，
∴|AB|＝，＝4，b＝2a，
∴e＝＝＝.故选D.
7．(2019·湖北省武汉市调研)已知A，B为抛物线y2＝4x上两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则|AB|的最小值为( C )
A．4 B．2
C．8 D．8
[解析] 设OA方程为y＝kx(k>0)，
由，得A(，)，用代换k得B(4k2，－4k)，
∴|AB|＝4
＝4≥8.
当且仅当k＝1时取等号，故选C.
秒杀法：由图形对称性可知|AB|最小时Δ方程为y＝x，由，得A(4,4)，故此时|AB|＝8.
8．(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( C )
A．① B．②
C．①② D．①②③
[解析] 从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积．
∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|x||y|≤1＋，
∴x2＋y2≤2.
①x可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；
②设曲线C上任意一点到原点的距离为d，
则d2＝x2＋y2≤2，
∴d≤，故②正确；
③由图知，图形在第一象限的面积S1>1，图形在第四象限的面积S4>，由对称性得，“心形”区域面积S>(1＋)×2＝3，故③错误，综上可知选C.
二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．(2020·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是( ABC )
A．离心率为
B．双曲线过点(5，)
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
[解析] ∵c＝5，由e＝＝知a＝4，∴b2＝c2－a2＝9，A正确；∵双曲线过点P(5，)，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝－＝8，∴a＝4，B正确；由渐近线方程为3x±4y＝0知＝，又c2＝a2＋b2＝25，∴a＝4，b＝3，C正确；若2a＝4，则a＝2，从而b2＝c2－a2＝21，D错，故选ABC.
10．已知△ABC为等腰直角三角形，若圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是( ABD )
A．－1 B．
C． D．＋1
[解析] 因为△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C＝时，离心e＝＝＝，当C＝时，离心率e＝＝＝－1.
(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C＝，
此时，离心率e＝＝＝＝＋1，
故答案为ABD.
11．(2020·山东青岛一中期末)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W，则下述正确的是( BCD )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C.所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D.与的公切线方程为x＋y＝＋1
[解析] 作CM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，曲线W与x轴围成的面积为2＋π，A错；
W上的整点D(－2,0)，C(－1,1)，H(0,2)，B(1,1)，A(2,0)，共5个，B正确；
显然C正确；
由图易知公切线l平行直线MQ：y＝－x＋1，且两直线间距离为1，
设l：y＝－x＋b(b>0)，则＝－1，∴b＝＋1，
∴l：y＝－x＋＋1，D正确；故选BCD.
12．(2020·山东日照联考)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则( ACD )
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离
B．以线段BM为直径的圆与y轴相切
C．当＝2时，|AB|＝
D．|AB|的最小值为4
[解析] 对于选项A，点M到准线x＝－1的距离为(|AF|＋|BF|)＝|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，进而与直线x＝－一定相离；对于选项B，显然AB中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此命题错误；对于选项C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线方程可得，y2－4my－4＝0，y1y2＝－4，x1x2＝1，若设A(4a2,4a )，则B(，－)，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝4a2＋＋2，|AB|最小值为4；当＝2
可得y1＝－2y2，即4a＝－2(－)，所以a2＝，|AB|＝，故答案为ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y2＝4x上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__.
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由，得.
∴抛物线y2＝4x上到其焦点距离为1的点只有1个．
14．(2019·江西师大附中模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 .
[解析] 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，由题意可知圆心C(3,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为，即＝＝，∴＝1－＝，∴e＝＝.
15．(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线，点P在准线l上，若＝，则＝ .
[解析] 分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则|MM1|＝|MF|·|NN1|＝|NF|，
∴＝＝＝
设|NF|＝m，则|MF|＝2m，从而|PN|＝3m，
∴＝＝，则m＝p，
∴＝＝.
16．(2020·山东日照联考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 －1 ；双曲线N的离心率为__2__.
[解析] 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋c，再根据椭圆定义得c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率为＝＝－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，∴＝tan2＝3，∴c2＝＝＝4，∴e＝2.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)，B(0，－1)，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线y＝m与椭圆C有两个不同的交点M、N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－.证明：点D在x轴上．
[解析] (1)由题意知c＝，b＝1，且焦点在x轴上，
∴a2＝b2＋c2＝4
所以椭圆C的方程为：＋y2＝1.
(2)由题意可设M(－x0，m)，N(x0，m)，－1b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
[解析] (1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，
＝，又a2＝b2＋c2，
可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，
则直线PB的方程为y＝kx＋2，
与椭圆方程联立
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·(－)＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
19．(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y－＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过定点P(2,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.
[解析] (1)依题意可设圆C方程为x2＋y2＝b2，
∵圆C与直线x－y＋＝0相切，
∴b＝＝1，∴a2－c2＝1，
又＝，解得a＝，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)依题意可知直线l斜率存在，
设l方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1<0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵F(1,0)，∴k1＋k2＝＋
＝＋
＝2k－k(＋)
＝2k－k()
＝2k－k
＝2k－k＝0，
即∠PFM＝∠PFB.
20．(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y＝2x与抛物线Γ：y2＝2px(p>0)交于O和E两点，且|OE|＝.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A，B两点，P为直线x＝－2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xM·xN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由．
[解析] (1)由y2＝2px与y＝2x，解得交点O(0,0)，E(，p)，∴|OE|＝＝，得p＝2，
∴抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入y2＝4x中，
则y2－4ty－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
设P(－2，y0)，则直线PA的方程为y－y0＝(x＋2)，
令y＝0，得(y0－y1)xM＝y0x1＋2y1，③
同理可得(y0－y2)xN＝y0x2＋2y2，④
由③×④得(y0－y1)(y0－y2)xM·xN＝(y0x1＋2y1)(y0x2＋2y2)，
即[y－(y1＋y2)y0＋y1y2]xM·xN＝yx1x2＋2y0(y1x2＋y2x1)＋4y1y2＝y×＋2y0(y1×＋y2×)＋4y1y2＝y×yy＋y0y1y2×＋4y1y2，
由①②可得(y－4ty0－8)xM·xN＝4(y－4ty0－8)，
当点P不在直线AB上时，y－4ty0－8≠0，∴xM·xN＝4；
当点P在直线AB上时，xM＝xN＝xQ＝2，∴xM·xN＝4.综上，xM·xN为定值，且定值为4.
21．(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P(1，)为椭圆上一点，且|PF1|＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当∠MAN最小时，求直线AB的方程．
[解析] (1)设F1(－c,0)(c>0)，
则|PF1|＝＝⇒c＝1，
∴|PF2|＝，
则由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
∴a＝，b＝1，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB：x＝ty＋1，
联立方程得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，
∵直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8(t2＋1)>0，
由韦达定理y1＋y2＝，y1y2＝－，
则yN＝－，
∴xN＝tyN＋1＝－＋1＝，
∵MN⊥AB，∴kMN＝－t，
∴|MN|＝·|－2－|＝·
又|AN|＝|AB|＝·|y1－y2|＝·
∴tan∠MAN＝＝
＝(＋)≥·2＝4，
当且仅当＝即t＝±1时取等号．
此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
22．(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P(，－1)，且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|＝λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l的方程．
[解析] (1)由△PF1F2的面积可得·2c·1＝2，
即c＝2，∴a2－b2＝4.①
又椭圆C过点P(，－1)，
∴＋＝1.②
由①②解得a＝2，b＝2，
由椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
则原点到直线l的距离d＝，
由弦长公式可得|AB|＝2＝，
将y＝x＋m代入椭圆方程＋＝1，
得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
由判别式Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
解得－2
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