【数学】2018届一轮复习北师大版二次函数的再研究与幂函数教案

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【数学】2018届一轮复习北师大版二次函数的再研究与幂函数教案

第四节 二次函数的再研究与幂函数 ‎ [考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图像,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.‎ ‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f (x)=ax2+bx+c(a≠0);‎ 顶点式:f (x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);‎ 零点式:f (x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f (x)的零点.‎ ‎(2)二次函数的图像与性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0)‎ y=ax2+bx+c(a<0)‎ 图像 定义域 R 值域 单调性 在上减,‎ 在上增 在上增,‎ 在上减 对称性 函数的图像关于x=-对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义:如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数.‎ ‎(2)五种常见幂函数的图像与性质 y=x y=x2‎ y=x3‎ y=x y=x-1‎ 图像 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ‎(-∞,0)减,‎ ‎(0,+∞)增 增 增 ‎(-∞,0)和 ‎(0,+∞)减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(  )‎ ‎(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  )‎ ‎(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0).(  )‎ ‎(4)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)已知幂函数f (x)=xα的图像过点(4,2),若f (m)=3,则实数m的值为(  )‎ A.         B.± C.± D.9‎ D [由题意可知4α=22α=2,所以α=.‎ 所以f (x)=x=,‎ 故f (m)==3⇒m=9.]‎ ‎3.已知函数f (x)=ax2+x+5的图像在x轴上方,则a的取值范围是(  )‎ ‎【导学号:66482042】‎ A. B. C. D. C [由题意知即得a>.]‎ ‎4.(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x)=2x2+bx-3(b∈R)零点的个数是(  )‎ ‎【导学号:66482043】‎ A.0    B.1 ‎ C.2    D.4‎ C [因为判别式Δ=b2+24>0,所以原二次函数有2个零点,故选C.]‎ ‎5.若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-2,0),B(4,0)且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是________.‎ ‎【导学号:66482044】‎ y=-x2+2x+8 [设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,‎ 当x=1时,ymax=-‎9a=9,∴a=-1,‎ ‎ ∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.]‎ 求二次函数的解析式 ‎ 已知二次函数f (x)满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.‎ ‎[解] 法一(利用一般式):‎ 设f (x)=ax2+bx+c(a≠0). 2分 由题意得8分 解得 ‎∴所求二次函数为f (x)=-4x2+4x+7. 12分 法二(利用顶点式):‎ 设f (x)=a(x-m)2+n.‎ ‎∵f (2)=f (-1),‎ ‎∴抛物线的图像的对称轴为x==. 3分 ‎∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.‎ ‎∴y=f (x)=a2+8. 8分 ‎∵f (2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,‎ ‎∴f (x)=-42+8=-4x2+4x+7. 12分 法三(利用零点式):‎ 由已知f (x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,2分 故可设f (x)+1=a(x-2)(x+1),‎ 即f (x)=ax2-ax-‎2a-1. 6分 又函数的最大值是8,即=8,‎ 解得a=-4,‎ ‎∴所求函数的解析式为f (x)=-4x2+4x+7. 12分 ‎[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,选法如下 ‎[变式训练1] 已知二次函数f (x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f (2-x)=f (2+x),求f (x)的解析式.‎ ‎[解] ∵f (2-x)=f (2+x)对x∈R恒成立,‎ ‎∴f (x)的对称轴为x=2. 2分 又∵f (x)的图像被x轴截得的线段长为2,‎ ‎∴f (x)=0的两根为1和3. 6分 设f (x)的解析式为f (x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).‎ 又∵f (x)的图像过点(4,3),‎ ‎∴‎3a=3,a=1. 10分 ‎∴所求f (x)的解析式为f (x)=(x-1)(x-3),‎ 即f (x)=x2-4x+3. 12分 二次函数的图像与性质 ‎☞角度1 二次函数图像的识别及应用 ‎ (1)设abc>0,则二次函数f (x)=ax2+bx+c的图像可能是(  )‎ A        B       C     D ‎(2)已知函数f (x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f (x)<0成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎(1)D (2) [(1)由A,C,D知,f (0)=c<0.‎ ‎∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.由B知f (0)=c>0,∴ab>0,∴x=-<0,B错误.‎ ‎(2)作出二次函数f (x)的图像,对于任意x∈[m,m+1],都有f (x)<0,则有 即解得-<m<0.]‎ ‎☞角度2 二次函数的最值问题 ‎ (1)(2017·广西一模)若xlog52≥-1,则函数f (x)=4x-2x+1-3的最小值为(  )‎ ‎【导学号:66482045】‎ A.-4   B.-‎3 ‎ ‎ C.-1   D.0‎ ‎(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为(  )‎ A.2 B.-1或-3‎ C.2或-3 D.-1或2‎ ‎(1)A (2)D [(1)xlog52≥-1⇒log52x≥log55-1⇒2x≥,‎ 令t=2x,则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4,‎ 当t=1≥,即x=0时,f (x)取得最小值-4.故选A.‎ ‎(2)函数f (x)=-(x-a)2+a2-a+1图像的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:‎ ‎①当a≤0时,函数f (x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,‎ ‎∴f (x)max=f (0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.‎ ‎②当0<a≤1时,函数f (x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,‎ ‎∴f (x)max=f (a)=-a2+‎2a2+1-a=a2-a+1,‎ 由a2-a+1=2,解得a=或a=.∵0<a≤1,∴两个值都不满足,舍去.‎ ‎③当a>1时,函数f (x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,‎ ‎∴f (x)max=f (1)=-1+‎2a+1-a=2,∴a=2.‎ 综上可知,a=-1或a=2.]‎ ‎☞角度3 二次函数中的恒成立问题 ‎ 已知a是实数,函数f (x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.‎  [由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.‎ 当x=0时,适合;‎ 当x≠0时,a<2-.‎ 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值,所以a<.‎ 综上,实数a的取值范围是.]‎ ‎[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.‎ ‎2.由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f (x)⇔a≥f (x)max,a≤f (x)⇔a≤f (x)min.‎ 幂函数的图像与性质 ‎ (1)幂函数y=f (x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f (x)的图像是(  )‎ A       B       C      D ‎(2)已知幂函数f (x)=xm2-‎2m-3(m∈N*)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值为________.‎ ‎(1)C (2)1 [(1)令f (x)=xα,则4α=2,∴α=,‎ ‎∴f (x)=x.‎ ‎(2)∵f (x)在(0,+∞)上是减函数,‎ ‎∴m2-‎2m-3<0,解得-1<m<3.‎ 又m∈N*,∴m=1或m=2.‎ 由于f (x)的图像关于y轴对称.‎ ‎∴m2-‎2m-3的值应为偶数,‎ 又当m=2时,m2-‎2m-3为奇数,‎ ‎∴m=2舍去.因此m=1.]‎ ‎[规律方法] 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.‎ ‎2.若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.‎ ‎3.若幂函数y=xα在(0,+∞)上递增,则α>0,若在(0,+∞)上递减,则α<0.‎ ‎[变式训练2] (1)设a=0.5,b=0.9,c=log50.3,则a,b,c的大小关系是(  )‎ ‎【导学号:66482046】‎ A.a>c>b      B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c ‎(2)若(a+1)<(3-‎2a),则实数a的取值范围是________.‎ ‎(1)D (2) [(1)a=0.5=0.25,b=0.9,所以根据幂函数的性质知b>a>0,而c=log50.3<0,所以b>a>c.‎ ‎(2)易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.二次函数的三种形式的选法 ‎(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.‎ ‎(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式.‎ ‎(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f (x)更方便.‎ ‎2.研究二次函数的性质要注意 ‎(1)结合图像分析;‎ ‎(2)含参数的二次函数,要进行分类讨论.‎ ‎3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.‎ ‎4.幂函数y=xα(α∈R)图像的特征 α>0时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;‎ α<0时,图像不过原点,在第一象限的图像下降,反之也成立.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数,就隐含着a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0,a≠0两种情况讨论.‎ ‎2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.‎
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