【数学】2019届一轮复习北师大版二项分布与正态分布学案

【数学】2019届一轮复习北师大版二项分布与正态分布学案

‎ 12.5　二项分布及其应用 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ ‎2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．‎ ‎3.能解决一些简单的实际问题.‎ 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.‎ ‎1．条件概率 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)>0)．‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．‎ ‎(2)如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．‎ ‎(3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．‎ ‎3．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件：‎ ‎(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；‎ ‎(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；‎ ‎(3)各次试验是相互独立的．‎ 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X＝ )＝Cp (1－p)n－ ( ＝0,1,2，…，n)‎ 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　×　)‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件．(　×　)‎ ‎(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)‎ ‎(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)‎ A．0.2 B．0.3‎ C．0.38 D．0.56‎ 答案　C 解析　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，‎ ‎∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)‎ ‎＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝0.2×0.7＋0.8×0.3‎ ‎＝0.38.‎ ‎3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，‎ 则P(AB)＝×，P(A)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和 ‎，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为两人加工成一等品的概率分别为和，‎ 且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P＝×＋×＝.‎ ‎5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ P(B|A)＝＝.‎ ‎6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)‎ A. B.3× C× D．C×3× 答案　B 解析　由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.‎ 题型一　条件概率 ‎1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝，‎ 则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.‎ ‎2．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．‎ 解　如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，‎ ‎∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝，‎ P(A|B)＝＝.‎ 思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是通用的求条件概率的方法．‎ ‎(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ 题型二　相互独立事件的概率 典例 (2017·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列．‎ 解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，‎ P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．‎ ‎(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，‎ 于是P()＝P()P()＝×＝，‎ 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，‎ 因为P(X＝0)＝P()＝×＝，‎ P(X＝100)＝P(F)＝×＝＝，‎ P(X＝120)＝P(E)＝×＝，‎ P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝，‎ 故所求的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P 思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ 跟踪训练为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．‎ ‎(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；‎ ‎(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．‎ 解　(1)记“甲回答正确这道题”、“乙回答正确这道题”、“丙回答正确这道题”分别为事件A，‎ B，C，则P(A)＝，‎ 且有 即 所以P(B)＝，P(C)＝.‎ ‎(2)有0个家庭回答正确的概率为 P0＝P()＝P()·P()·P()‎ ‎＝××＝，‎ 有1个家庭回答正确的概率为 P1＝P(A＋B＋C)‎ ‎＝××＋××＋××＝，‎ 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P＝1－P0－P1＝1－－＝.‎ 题型三　独立重复试验与二项分布 命题点1　根据独立重复试验求概率 典例某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.‎ 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 ‎45‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎15‎ 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．‎ ‎(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；‎ ‎(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；‎ ‎(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列．‎ 解　(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 ×10＝3，×10＝4，×10＝2，×10＝1.‎ ‎(2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C4＝，‎ 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为 C22＝.‎ ‎(3)由题意，知X的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 命题点2　根据独立重复试验求二项分布 典例一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ 解　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.‎ 根据题意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝，‎ P(X＝20)＝C×2×1＝，‎ P(X＝100)＝C×3×0＝，‎ P(X＝－200)＝C×0×3＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，‎ 则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 ‎1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.‎ 思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ‎(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生 次的概率时，首先要确定好n和 的值，再准确利用公式求概率．‎ ‎(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．‎ 跟踪训练 (2017·牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 m/h的有40人，不超过100 m/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 m/h的有20人，不超过100 m/h的有25人．‎ ‎(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 m/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；‎ ‎(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 m/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．‎ 解　(1)平均车速不超过100 m/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 m/h且为男性驾驶员的概率为＝，‎ 故X～B.‎ 所以P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C2＝，‎ P(X＝2)＝C2＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 独立事件与互斥事件 典例(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．‎ ‎(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．‎ 错解展示：‎ ‎(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，由A，B是相互独立事件，得所求概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×＋×＋×＝＝.‎ ‎(2)所求概率P＝C×3×2＝.‎ 错误答案　(1)　(2) 现场纠错 解析　(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.‎ ‎∵A，B是互斥事件，‎ ‎∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.‎ ‎(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则 P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)‎ ‎＋P(12A3A4A5)‎ ‎＝3×2＋×3×＋2×3＝.‎ 答案　(1)　(2) 纠错心得　(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”．‎ ‎(2)区分独立事件与n次独立重复试验．‎ ‎1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由古典概型知P(A)＝，P(AB)＝，‎ 则由条件概率知P(B|A)＝＝＝.‎ ‎2．(2018·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ 答案　A 解析　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.‎ ‎3．(2017·武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得(1－p)＋p＝，‎ ‎∴p＝，故选B.‎ ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ 答案　A 解析　3次投篮投中2次的概率为 P( ＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，‎ 投中3次的概率为P( ＝3)＝0.63，‎ 所以通过测试的概率为P( ＝2)＋P( ＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.‎ ‎5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)‎ A．C102 B．C92‎ C．C92 D．C102‎ 答案　D 解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，‎ 因此P(X＝12)＝C92‎ ‎＝C102.‎ ‎6．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P()＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.‎ 故目标被击中的概率P＝1－P()＝.‎ ‎7．(2017·德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．‎ 答案　 解析　记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝，即所求事件的概率是.‎ ‎8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．‎ 答案　 解析　设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，‎ ‎∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，‎ ‎∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P＝×＝.‎ ‎9．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．‎ 答案　 解析　由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2＝C5＝C5＝.‎ ‎10．(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．‎ 答案　 解析　乙队3∶0获胜的概率为，乙队3∶1获胜的概率为×＝，乙队3∶2获胜的概率为 ‎2×＝.‎ ‎∴最后乙队获胜的概率为P＝＋＋＝.‎ ‎11．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．‎ ‎(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；‎ ‎(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列．‎ 解　(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.‎ ‎(2)甲被录取的概率为P甲＝0.5×0.6＝0.3，‎ 同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.‎ ‎∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X～B(3,0.3)，X的可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝ )＝C(0.3) ·(1－0.3)3－ .‎ 故P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，‎ P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，‎ P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，‎ P(X＝3)＝C×0.33＝0.027，‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.343‎ ‎0.441‎ ‎0.189‎ ‎0.027‎ ‎12．张先生家住H小区，他工作在C 技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.‎ ‎(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；‎ ‎(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的分布列．‎ 解　(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，‎ 则P(A)＝C×3＋C××2＝.‎ 所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.‎ ‎(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝×＝，‎ P(X＝1)＝×＋×＝，‎ P(X＝2)＝×＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎13．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①P(B)＝；‎ ‎②P(B|A1)＝；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．‎ 答案　②④‎ 解析　由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，‎ P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，‎ P(B|A1)＝＝，‎ P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，‎ 而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)‎ ‎＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)‎ ‎＝×＋×＋×＝.‎ ‎14．(2017·兰州模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．‎ ‎(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？‎ 解　(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．‎ 故P(1)＝C4＝.‎ 所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.‎ 所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.‎ ‎(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B2，‎ 则P(A2)＝C×2×2＝，‎ P(B2)＝C3×1＝.‎ 由于甲、乙射击相互独立，‎ 故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.‎ 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.‎ ‎(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，‎ 则A3＝D5D43(21＋2D1＋D21)，‎ 且P(Di)＝.‎ 由于各事件相互独立，故 P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)‎ ‎＝×××＝.‎ 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.‎ ‎15．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.‎ 答案　 解析　∵X～B(2，p)，‎ ‎∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，‎ 解得p＝.又Y～B(3，p)，‎ ‎∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.‎ ‎16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．‎ 解　(1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人中恰有 人去参加甲游戏”为事件A ( ＝0,1,2,3,4)．‎ 则P(A )＝C 4－ .‎ 故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P(A2)＝C22＝.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.‎ 由于A3与A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3×＋C4‎ ‎＝.‎ 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)‎ ‎＝C3＋C3×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝C4＋C4＝.‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P