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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版 随机事件的概率 教案
第十章 概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率意义以及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 知识点一 频率与概率 1.在相同条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有________.我们把这个常数叫做随机事件A的______.记作________. 2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但是频率是随机的,而______是一个确定的值,通常人们用______来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用______来作为随机事件概率的估计值. 答案 1.稳定性 概率 P(A) 2.概率 概率 频率 1.给出下列三个命题: ①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品; ②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中错误的命题有________个. 解析:①错,不一定是10件次品;②错,是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念. 答案:3 2.(2017·长沙模拟)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5 43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[27.5,43.5)的概率约是( ) A. B. C. D. 解析:由条件可知,落在[27.5,43.5)的数据有11+12+7+3=33(个),故所求概率约为=. 答案:C 知识点二 事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A____,则事件B____,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ____________ 相等关系 若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等 ____ 并事件 (和事件) 若某事件发生_______________,称此事件为事件A与事件B的______(或和事件) ____________ 交事件 (积事件) 若某事件发生_________________发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ____________ 互斥事件 若A∩B为______事件,则事件A与事件B互斥 A∩B=∅ 对立事件 若A∩B为______事件,A∪B为________,那么称事件A与事件B互为对立事件 答案 发生 一定发生 B⊇A(或A⊆B) A=B 当且仅当事件A发生或事件B发生 并事件 A∪B(或A+B) 当且仅当事件A发生且事件B A∩B(或AB) 不可能 不可能 必然事件 3.甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是对立事件.那么( ) A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解析:对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立. 答案:B 4.(人教A必修③P121T4)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 解析:事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥. 答案:D 知识点三 概率的基本性质 1.概率的取值范围:____________. 2.必然事件的概率P(E)=____. 3.不可能事件的概率P(F)=____. 4.概率的加法公式. 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=__________. 5.对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=____,P(A)=________. 答案 1.0≤P(A)≤1 2.1 3.0 4.P(A)+P(B) 5.1 1-P(B) 5.从一副混合后的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)=________.(结果用最简分数表示). 解析:∵P(A)=,P(B)=, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=+==. 答案: 6.(2017·太原模拟)某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为________;中10环的概率约为________. 解析:中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2. 答案:0.9 0.2 热点一 随机事件间的关系 【例1】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件:某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中 (1)恰有1名男生和恰有2名男生; (2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是女生. 【解】 (1)是互斥事件,不是对立事件. “恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件,不是对立事件. (2)不是互斥事件,也不是对立事件. “至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果,它们可能同时发生. (3)是互斥事件且是对立事件. “至少有1名男生”,即“选出的两人不全是女生”,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件. ∴两个事件互斥且对立. 【总结反思】 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系. 下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面”,事件N:“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件. ②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件. ③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件. ④若事件A与B互为对立事件,则事件A+B为必然事件. 其中真命题是( ) A.①②④ B.②④ C.③④ D.①② 解析:对①,将一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故①错.对②,对立事件首先是互斥事件,故②正确.对③,互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错.对④,事件A、B为对立事件,则在一次试验中A、B一定有一个要发生,故④正确. 答案:B 热点二 随机事件的频率与概率 【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 【解】 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 【总结反思】 (1)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法:利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率. 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 解:(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数0.950的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为0.950. 热点三 互斥事件与对立事件的概率 【例3】 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 【解】 (1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.故事件A,B,C的概率分别为,,. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C. ∵A、B、C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C )==.故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-=. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 【总结反思】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法. 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟). (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==. P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1--=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的,当条件变化时,事件的性质也发生变化. 2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况,因此,任何事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1. 3.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要而不充分条件. 4.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交,事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成集合的补集. 5.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和,然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件的概率,然后利用P(A)=1-P()可得解.查看更多