高考数学考点04分段函数试题解读与变式

高考数学考点04分段函数试题解读与变式

考点 4 分段函数以及应用 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: （1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同 的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等 于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每 段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚 实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 （4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求 值，直到求出值为止. （5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再 由 x >0, x <0 ,分别代入各段函数式计算 )(xf 与 )( xf  的值，若有 )(xf = )( xf  ,当 x =0 有定义时 0)0( f ，则 )(xf 是奇函数；若有 f(x)= )( xf  ，则 )(xf 是偶函数. （6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函 数的问题. （7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行 判定或解决. （8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值， 直到求出值为止. （9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最 值. （10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然 后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可. （11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不 等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. （12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形 式，每个解析式后边标上对应的范围. 2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值 域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转 化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或 中档题. 将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题 规律作以展望. 二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值 1.1 考题展示与解读 例 1 【2017 山东，文 9】设     ,0 1 2 1 , 1 x xf x x x       ,若    1f a f a  ,则 1f a      A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想 【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入 求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一 段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值 或取值范围． 1.2【典型考题变式】 1.【变式 1：改编条件】已知函数 )(xf =      2,82 20,2 xx xxx ，若 )2()(  afaf ，则 )1(af = （ ） A. 16 5 B. 2 C.6 D. 2 17 【答案】B 【解析】由 2x  时   2 8f x x   是减函数可知,若 2a  ,则    2f a f a  ,所以 0 2a  ,由 ( ) ( +2)f a f a 得 2 2( 2) 8a a a     ,解得 1a  ,则 21 (1) 1 1 2f fa         ,故选 B. 2. 【变式 2：改编结论】设     ,0 1 2 1 , 1 x xf x x x       ,若   1 2f a  ,则 a  （ ） B. 4 1 B. 4 5 C. 4 1 或 4 5 D. 2 【答案】C 【解析】由题意知，      2 1 10 a a 或      2 1)1(2 1 a a ，解得 1 4a  或 4 5a ，故选 C 3.【变式 3：改编问法】已知 )(xf 是定义域为 R 的奇函数，      2)4(2 1 20,sin xx xx ，  ，则 )4 31(f = （ ） A 4 4 .B. 8 2 C. 4 4 D. 8 2 【答案】D 【解析】由题意知 )4 1(4 1)4 1(4 1)4 15(2 1)4 31( ffff  = 4sin4 1  = 8 2 ，故选 D. 2.分段函数的最值与值域 2.1 考题展示与解读 例 2【2016 年高考北京理数】设函数 3 3 ,( ) 2 , x x x af x x x a      . ①若 0a  ，则 ( )f x 的最大值为______________； ②若 ( )f x 无最大值，则实数 a 的取值范围是________. 【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】 2 ， ( , 1)  . 【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值 域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知函数 )(xf =      axax axxx ,4 ,242 . （1）当 1a 时，求 )(xf 的最小值. （2）若函数 )(xf 无最小值，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）-6；（2） ),0()3,(  . 【解析】（1）当 1a 时， )(xf =      1,4 1,242 xx xxx ，当 1x 时， )(in xfm = )2(f =-6， 当 1x 时， 3)1()(  fxf ，所以 )(xf 的最小值为-6. （2）当 2a 时，要使 )(xf 无最小值，由 )(xf 的图象知， 424 22  aaa ，解得 3a ； 当 02  a 时，要使 )(xf 无最小值，由 )(xf 的图象知， 46 2  a ，无解； 当 0a 时，由 )(xf 的图象知， min)(xf =-6； 当 0a 时，由 )(xf 的图象知， )(xf 无最小值； 综上所述，实数 a 的取值范围为 ),0()3,(  . 【变式 2：改编结论】设函数 3 3 ,( ) 2 , x x x af x x x a      ， bxfxg  )()( ，若存在实数 b ， 使得函数 )(xg 恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为______________. 【答案】(0,1). 【变式 3：改编问法】设函数 3 3 ,( ) 2 , x x x af x x x a      ，讨论 )(xf 的值域. 【答案】当 1a 时，函数 )(xf 的值域为 )2,( a ； 当 21  a 时，所以函数 )(xf 的值域为 ]2,( ； 当 2a 时，所以函数 )(xf 的值域为 ]3,( 3 aa  . 【解析】如图作出函数 3( ) 3h x x x  与直线 2y x  的图象，它们的交点是 ( 1,2)A  ， (0,0)O ， (1, 2)B  ，由 2'( ) 3 3h x x  ，知 1x   是函数 ( )h x 的极大值点， 1x 是函数 ( )h x 的极小值点， 当 1a 时，函数 xxy 33  在 ],( a 上的值域为 ]3,( 3 aa  ，函数 xy 2 在 ),( a 上的值域为 )2,( a ，因为 )2(33 aaa  = 0)1)(1(  aaa ，所以 aaa 233  ，所 以函数 )(xf 的值域为 )2,( a ； 当 21  a 时，函数 xxy 33  在 ],( a 上的值域为 ]2,( ，函数 xy 2 在 ),( a 上 的值域为 )2,( a ，因为 22  a ，所以函数 )(xf 的值域为 ]2,( ； 当 2a 时，函数 xxy 33  在 ],( a 上的值域为 ]3,( 3 aa  ，函数 xy 2 在 ),( a 上的值域为 )2,( a ，因为 aaa 32 3  ，所以函数 )(xf 的值域为 ]3,( 3 aa  ； 综上所述，当 1a 时，函数 )(xf 的值域为 )2,( a ； 当 21  a 时，所以函数 )(xf 的值域为 ]2,( ； 当 2a 时，所以函数 )(xf 的值域为 ]3,( 3 aa  . 3.分段函数的解析式 3.1 考题展示与解读 例 3 【 2015 高 考 天 津 ， 理 8 】 已 知 函 数    2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x       函 数    2g x b f x   ，其中b R ，若函数    y f x g x  恰有 4 个零点，则b 的取值 范围是( ) （A） 7 ,4     （B） 7, 4     （C） 70, 4      （D） 7 ,24      【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是 难题. 【答案】D 【解析】由    2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x      得 2 2 2 , 0 (2 ) , 0 x x f x x x       ， 所以 2 2 2 , 0 ( ) (2 ) 4 2 , 0 2 2 2 ( 2) , 2 x x x y f x f x x x x x x x                    ， 即 2 2 2, 0 ( ) (2 ) 2, 0 2 5 8, 2 x x x y f x f x x x x x               ( ) ( ) ( ) (2 )y f x g x f x f x b      ,所以    y f x g x  恰有 4 个零点等价于方程 ( ) (2 ) 0f x f x b    有 4 个不同的解，即函数 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图象 的 4 个公共点，由图象可知 7 24 b  . 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移 项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的 交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知 )(xf =      0,1|1| 0,22 xx xxx ，函数 )(xg = )1(  xfb ，若函数 )()( xgxfy  恰有 2 个零点，则实数b 的取值范围为（ ） A ),1(  .B. )1,2 3(  C. ),1(}2 3{  D. ]2 3,(  【答案】C 【解析】由题知， )1( xf =      1,1|2| 1,12 xx xx ，所以 )1()(  xfxfy =           2,52 12,1 01,1 0,122 2 2 xx x xxx xxx ，函数 )()( xgxfy  恰有 2 个零点，即方程 bxfxf  )1()( =0 恰有两个不同的解，即函数 )1()(  xfxfy 与 by  恰有两个交 点， )1()(  xfxfy 的图象如图所示，由图知， 1b 或 2 3b ，故选 C. 【变式 2：改编结论】已知函数    2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x       函数    2g x b f x   ， 其中b R ，若方程    =0f x g x 恰有 2 个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A）  72, { }4   （B） 2,+ （C） 70, 4      （D） 7 ,24      【答案】A 【解析】由    2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x      得 2 2 2 , 0 (2 ) , 0 x x f x x x       ， 所以 2 2 2 , 0 ( ) (2 ) 4 2 , 0 2 2 2 ( 2) , 2 x x x y f x f x x x x x x x                    ， 即 2 2 2, 0 ( ) (2 ) 2, 0 2 5 8, 2 x x x y f x f x x x x x               ( ) (2 ) 0f x f x b    有 2 个不同的解，即函数 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图象 的 4 个公共点，由图象可知 2b  或 4 7b ，故选.A. 【变式 3：改编问法】已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， )(xf = xx 42  ，则 方程 2)(  xxf 解的个数为 . 【答案】3 【解析】当 0x 时， 0 x ，所以 xxxf 4)()( 2  ， 因为 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，所以 )()( xfxf  = xx 42  ， 所以 xxxf 4)( 2  ， 所以      0,4 04)( 2 2 xxx xxxxf ， ， 所以 2)()(  xxfxg =      0,25 0,25 2 2 xxx xxx ， 由 )(xgy  的图象知， )(xgy  有 3 个零点， 所以方程 2)(  xxf 解的个数为 3. 4.分段函数图像 4.1 考题展示与解读 例 4【2017 天津，文 8】已知函数 | | 2, 1, ( ) 2 , 1. x x f x x xx      ，设 a  R ，若关于 x 的不等式 ( ) | |2 xf x a  在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） （A）[ 2,2] （B）[ 2 3,2] （C）[ 2,2 3] （D）[ 2 3,2 3] 【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数不等式恒成立问题，是难题. 【答案】 A 【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力 【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数 1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最 值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为   0F x  的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围. 4.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知函数   2 2 , 0,{ , 0 x xf x x x   ，若函数      1g x f x k x   恰有 两个零点，则实数 k 的取值范围是 A.    , 1 4,    B.   , 1 4,    C.    1,0 4,   D.    1,0 4,   【答案】C 【解析】      1g x f x k x   恰有两个零点，等价于  y f x 与  1y k x  有两个 交点，同一坐标系，画出  y f x 与  1y k x  的图象，直线过 0,1 时， 1k   ，直 线与  2 0y x x  ，相切时 4k  ，由图知，    1,0 4,k     时，两图象有两交点， 即 k 的取值范围是   1,0 4,   ，故选 C. 【变式 2：改编结论】已知函数 | | 2, 1, ( ) 2 , 1. x x f x x xx      ，则函数 ||)( xxfy  零点个数为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】A 【解析】函数 ||)( xxfy  零点个数，即为方程 ||)( xxf  解得个数，即为函数 )(xfy  与函数 || xy  交点个数， 画出函数  f x 的图象与函数 || xy  ，由图像知，函数 )(xfy  与函数 || xy  交点个数 0， 所以函数 ||)( xxfy  零点个数为 0，故选 A. 【变式 3：改编问法】定义在 1 ,      上的函数  f x ，满足   1f x f x      ，且当 1 ,1x       时，   lnf x x ，若函数    g x f x ax  在 1 ,      上有零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ln ,0      B.  ln ,0  C. 1 ln,e       D. 1,2 e       【答案】B 【解析】设  1,x  ，则 1 1 ,1x       ， 因为   1f x f x      且当 1 ,1x       时，   lnf x x ， 所以   1 lnf x f xx       ，则     1ln , ,1 ln , 1,{ x x x xf x         ， 在坐标系中画出函数  f x 的图象如图： 因为函数    g x f x ax  与 x 轴有交点， 所以直线 y ax 与函数  f x 的图象有交点， 由图得,直线 y ax 与  f x 的图象相交于点 1 , ln     ， 即有 ln lna a       ， 由图象可得,实数 a 的取值范围是：  ln ,0  故选：B. 5.分段函数性质 5.1 考题展示与解读 例 5【2016 高考天津理数】已知函数 f（x）= 2 (4 , 0, log ( 1) 1 3 , 0 3) a x a xa x x x          （a>0,且 a≠1） 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| ( ) | 2f x x  恰好有两个不相等的实数解，则 a 的 取值范围是（ ） （A）（0， 2 3 ] （B）[ 2 3 ， 3 4 ] （C）[ 1 3 ， 2 3 ]  { 3 4 }（D）[ 1 3 ， 2 3 ）  { 3 4 } 【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思 想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C 【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解． 5.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知函数    2 1 ( 1) 2 1 ax xf x x x x x          在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A.  0,1 B.  0,1 C.  1,1 D.  1,1 【答案】C 【解析】当 x ⩽ 1 时,f(x)=−(x−1)2+1 ⩽ 1，当 x>1 时,     21, ' 1 0a af x x f xx x      … 在 (1,+∞)恒成立， 故 a ⩽ x2 在(1,+∞)恒成立，故 a ⩽ 1，而 1+a+1 ⩾ 1，即 a ⩾ −1，综上,a∈，故选 C. 【变式 2：改编结论】已知   2 2 4 3, 0, 2 3, 0, x x xf x x x x         不等式    2f x a f a x   在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式 3：改编问法】已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）个 A. 6 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【 解 析 】 ∵ 函 数 )(xf 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ， ， 函数 的零点就是函数 )(xf 的图象与直线 的交点的横坐标，作出函数 在 的 图 象 ， 如 图 ， 由图可得：函数 )(xf 图象与直线 有 6 个交点，故答案为：6． 6.分段函数的综合应用 6.1 考题展示与解读 例 6 【2017 课标 3，理 15】设函数 1 0( ) 2 0x x xf x x     ， ， ， ， 则满足 1( ) ( ) 12f x f x   的 x 的取 值范围是_________. 【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】 1 ,4      【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题， 解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. 6.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知函数   2 1, 0,{ 1, 0, x xf x x    则满足不等式    21 2f x f x  的 x 的范围是（ ） A.  0, 2 1 B.  1, 2 1  C.  0, 2 1 D.  1, 2 1  【答案】D 【解析】   2 1 0{ 1 0 x xf x x    ， ， ， 的图象如下图所示，不等式    21 2f x f x  等价于 21 0{ 2 0 x x    ，或 2 2 1 0 { 2 0 1 2 x x x x      ， ， ， 解得 1 2 1x    ，故选 D． 【变式 2：改编结论】．已知函数   ,0{ 2 , lnx x ef x lnx x e     ，若正实数 , ,a b c 互不相等，且      f a f b f c  ，则 abc 的取值范围为（ ） A.  2,e e B.  21,e C. 1 ,ee      D. 21 ,ee      【答案】A 【解析】作出 )(xf 的图像，不妨设 cba  ，由图知， 20 1a b e c e      ,由题知， |ln||ln| ba  ， 即 ba lnln  ， 所 以 0)ln(lnln  abba ， 所 以 ab =1, 则 cabc  ),( 2ee ,故选 A. 【变式 3：改编问法】已知定义在 R 上的函数  f x 满足    2 2f x f x  ，且当  2,4x 时，   2 2 4 ,2 3 2 ,3 4 x x x f x x xx            ，   1g x ax  ，对    1 22,0 , 2,1x x      ，使得    2 1g x f x ，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 1 1, ,8 8             B. 1 1,0 0,4 8           C.  0,8 D.  1 1, ,4 8        【答案】D 【解析】因为     2 2 4 ,2 3 2,4 , 2 ,3 4 x x x x f x x xx             ， 2 3x  时，  3 4f x  ， 3 4x  时 ，  11 9 3 2f x  ， 所 以     92,4 ,3 2x f x      2 2f x f x  , 2 0x   时，    3 9 , 2, 14 8f x x     时，若 0a  ，则  2 1 1a g x a     ，因为对    1 22,0 , 2,1x x      ，使得    2 1g x f x ， ，    2g x f x ， 32 1 4 91 8 a a       ，解得 1 8a  ，若 0a  ，则  1 2 1a g x a     ，  1 2,0x   ，  2 2,1x   ，使得    2 1g x f x ， ∴ 92 1 8 91 8 a a       ，解得 1 4a   ， 所以 a 取值范围是  1 1, ,4 8        . 三、课本试题探源 必修 1 P39 页习题 1.3 A 第 6 题：已知函数 )(xf 是定义域在 R 上的奇函数，当 0x 时， )(xf = )1( xx  .画出函数 )(xf 的图象，并求出函数的解析式. 【解析】当 0x 时， 0 x ，所以 )1()( xxxf  ， 因为函数 )(xf 是定义域在 R 上的奇函数， 所以 )1()()( xxxfxf  ， 所以 )1()( xxxf  ， 所以函数的解析式      0),1( 0),1()( xxx xxxxf ， 函数图象如下图所示： 四．典例高考试题演练 1.【2017 届湖北枣阳市 3 模】设函数    12 1{ 1 ( 1) x xf x lnx x     ,则满足   2f x  的 x 的取值 范围是（ ） A. ,2] B. C. 【答案】B 9.【2017 届江西省赣中南五校下学期期中联考】已知函数 关于 的方程 ，有 不同的实数解，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ， ，解得 ，当 时， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减，当 时函数取得最大值 ，方程化简为 ，解得： 或 ，如图画出函数的图象，当 时，方程有 5 个实根，故选 C. 10.【2017 届湖南省岳阳市三模】已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）个 A. 6 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【 解 析 】 ∵ 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ， ，函数 的零点就是函数 的图象与直线 的交点的 横 坐 标 ， 作 出 函 数 在 的 图 象 ， 如 图 ， 由图可得：函数 图象与直线 有 6 个交点，故答案为：6． 11.【2017 届天津市十二重点中学二联考】已知函数       2 1 0 1 ,{ 1 ( 1) x xf x f x m x       在定义域  0, 上单调递增，且对于任意 0a  ，方程  f x a 有且只有一个实数解，则函数    g x f x x  在区间 0,2n   （ *n N ）上的所有零点的和为（ ） A.  1 2 n n  B. 2 1 12 2n n  C.  2 1 2 2 n D. 2 1n  【答案】B 【解析】函数       2 1 0 1 ,{ 1 ( 1) x xf x f x m x       在定义域 0, 上单调递增，且对于任意 0a  ，方程  f x a 有且只有一个实数解，则  f x 是连续函数,可得 1m  ,画出  y f x 与 y x 的图象,图象交点横坐标就是函数    g x f x x  的零点,由图知, 在区间 0,2n   （ *n N ）上的所有零点的和为   2 1 11+2+3... 2 1 2 2 2n n n n      ,故 选 B. 12.【2017 届四川外语学院重庆第二外国语学校 3 月考】已知函数    1 , 0 { 1 1, 02 ln x x f x x x      ， 若 m n ，且    f m f n ，则 n m 的取值范围是（ ） A.  3 2ln2,2 B.  3 2ln2,2 C.  1,2e  D.  1,2e  【答案】A 【解析】作出函数 f(x)的图象如图， 若 m0 得 10 时的情况，可知   3 3 12 , 2 3{ 12 , 2 3 x x xf x x x x     函数 f(x)在 x ＝2 时，取得极大值 16. 令 x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)． 函数 f(x)的定义域为，值域为，分为以下情况考虑： ①当 04； ②当 2≤m≤4 时，函数的值域为，有 am2＝16，所以 a＝ 2 16 m ，因为 2≤m≤4，所以 1≤a≤4； ③当 m>4 时，函数的值域为，有 m(m2－12)＝am2，所以 a＝m－ 12 m ，因为 m>4，所以 a>1. 综上所述，实数 a 的取值范围是 a≥1.