人教新课标A版高考数学黄金题系列第13题函数的图像理

人教新课标A版高考数学黄金题系列第13题函数的图像理

第 13 题函数的图像 I．题源探究·黄金母题 【例 1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个 图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了 作业本再上学； （2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些 时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． 【解析】图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距 离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时 间开始加速；图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为 零；图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来 心情轻松，缓 缓行进． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 23 页练 习第 2 题 【母题评析】本题考 查了函数的表示法 之一—图像法，意在 培养学生的数形结 合思想，也考察了学 生的分析问题和解 决问题的能力，同时 告诉了学生生活之 中处处有数学，数学 来源于生活又应用 与生活。 【思路方法】数形结 合思想是高中数学 中主要的解题思想 之一，提别是在解决 函数的问题中，函数 图像是强有力的工 具，这种思想是近几 年高考试题常常采 用的命题形式。 【例 2】函数 ( )r f p 的图象如图所示． （1）函数 ( )r f p 的定义域是什么？ （2）函数 ( )r f p 的值域是什么？ 精 彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 25 页习 （3） r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？ 【解析】（1）函数 ( )r f p 的定义域是[ 5,0] [2,6)  ； （2）函数 ( )r f p 的值域是[0, ) ； （3）当 5r  ，或 0 2r  时，只有唯一的 p 值与之对应． 题 1．2B 组第 1 题 【母题评析】本题以 分段函数的图像为 载体考察了函数定 义域、值域的求法， 加强学生对函数概 念及函数三要素的 理解，这对以后学习 函数的性质有很大 的帮助。 【思路方法】函数图 像解决函数问题是 强有力的工具，因此 培养学生的读图、识 图能力很重要。 【例 3】函数 ( ) [ ]f x x 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如[ 3.5] 4   ， [2.1] 2 ．当 ( 2.5,3]x  时，写出函数 ( )f x 的解析式，并作出函数的图象． 【解析】 3, 2.5 2 2, 2 1 1, 1 0 ( ) [ ] 0, 0 1 1, 1 2 2, 2 3 3, 3 x x x f x x x x x x                          图象如下 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 25 页习 题 1．2B 组第 3 题 【母题评析】本题是 一道信息给予题，通 过定义新函数，考查 了学生对分段函数 概念的理解及函数 解析式的求法，同时 培养学生阅读能力 和理解能力。 【思路方法】数形结 合思想是高中数学 中主要的解题思想 之一，提别是在解决 函数的问题中，函数 图像是强有力的工 具，这种思想是近几 年高考试题常常采 用的命题形式。 【例 4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 ( )y f x 的单调区间，以 及在各单调区间上函数 ( )y f x 是增函数还是减函数． （1） 2 5 6y x x   ；（2） 29y x  ． 【解析】（1）函数在 5( , )2  上递减；函数在 5[ , )2  上递增； （2）函数在 ( ,0) 上递增；函数在[0, ) 上递减． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 39 页习 题 1．3A 组第 1 题 【母题评析】本题以 画图的方式让学生 去寻找函数的单调 区间，培养学生的作 图、读图、识图的能 力，。 【思路方法】利用函 数图像求函数的单 调区间是一种常用 的方法，数形结合思 想是高中数学中主 要的解题思想之一， 提别是在解决函数 的问题中，函数图像 是强有力的工具，这 种思想是近几年高 考试题常常采用的 命题形式。 【例 5】出函数 3logy x 及 1 3 logy x 的图象，并且说明这两个函数的相同 点和不同点，如右图所示． 【解析】画出函数 3logy x 及 1 3 logy x 的图象，如下图所示： 相同点：图象都在 y 轴的右侧，都过点 (1,0) 不同点： 3logy x 的图象是上升的， 1 3 logy x 的图象是下降的 关系： 3logy x 和 1 3 logy x 的图象是关于 x 轴对称的． 精彩解读 【试题来源】人教 版 A 版必修 1 第 73 页练习第 1 题 【母题评析】本题以 3logy x 和 1 3 logy x 的 图 像 为载体，让同学们再 次 认 识 对 数 函 数 0 1, 1a a   图像 的异同，加强学生对 对数函数图像的认 识。 【思路方法】利用图 像解决函数的问题， 形象直观，过程简 练，语言简洁。 【例 6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根： （1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x2=4x-4；（4）5x2+2x=3x2+5 【解析】（1）令 f(x)=-x2+3x+5，作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7（1）)，它 与 x 轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0 有两个不相等的实数根． （2）2x(x-2)=-3 可化为 2x2-4x+3=0，令 f(x)=2x2-4x+3， 作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7（2）)，它与 x 轴没有交点，所以方程 2x(x-2)=-3 无实数根． （3）x2=4x-4 可化为 x2-4x+4=0，令 f(x)=x2-4x+4，作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7（3）)，它与 x 轴只有一个交点(相切)，所以方程 x2=4x-4 有两个相等 的实数根． （4）5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2+2x-5=0，令 f(x)=2x2+2x-5，作出函数 f(x)的图 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 88 页练 习第 1 题 【母题评析】本题以 通过图像然学生去 探究方程根的分布 情况，意在培养学生 的数形结合思想，同 时也渗透了函数与 方程思想。 象(图 3-1-2-7（4）)，它与 x 轴有两个交点，所以方程 5x2+2x=3x2+5 有两个不 相等的实数根． 【思路方法】本题为 研究方程根的分布 指明了方向，即转化 为判断函数图像与 x 轴交点个数问题。 【例 7】设函数 2( ) 3 2f x x x    ，若 2( ) 2 [ ( )]g x f x  ， （1）求 ( )g x 的解析式； （2）借助计算机或计算器，画出函数 ( )g x 的图像；（3）求出函数 ( )g x 的零 点（精确度 0．1）． 【解析】（1）由题设有 g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2． （2）函数图象如下图所示． 图 3-1-2-10 （3）由图象可知，函数 g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零 点．取区间(-3，-2)的中点 x1=-2．5，用计算器可算得 g(-2．5)=0．187 5．因 为 g(-3)·g(-2．5)<0，所以 x0∈(-3，-2．5)．再取(-3，-2．5)的中点 x2=-2．75， 用计算器可算得 g(-2．75)≈0．28．因为 g(-3)·g(-2．75)<0，所以 x0∈(-3， -2．75)． 同理，可得 x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)． 由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在区间(-3，-2)内的 近似解可取为-2．812 5．同样可求得函数在区间(-1，0)内的零点约为-0．2． 所以函数 g(x)精确到 0．1 的零点约为-2．8 或-0．2． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 93 页习 题 3．1B 组第 3 题 【母题评析】本题是 一道求复合函数解 析式与函数零点相 结合的问题，同时考 查了如何利用零点 分段法去求函数的 零点。 【思路方法】本题为 研究函数的零点指 明了方向，即转化为 判断函数图像与 x 轴交点个数问题。解 决这类需要我们利 用图象所提供的信 息来分析解决问题 的题目的常用方法 有：①定性分析法， 也就是通过对问题 进行定性的分析，从 而得出图象的上升 (或下降)的趋势，利 用这一特征来分析 解决问题；②定量计 算法，也就是通过定 量的计算来分析解 决问题；③函数模型 法，也就是由所提供 的图象特征，联想相 关函数模型，利用这 一函数模型来分析 解决问题． 分段函数的函数值 时，应首先确定所给 自变量的取值属于 哪一个范围，然后选 取 相 应 的 对 应 关 系．若自变量值为较 大的正整数，一般可 考虑先求函数的周 期．若给出函数值求 自变量值，应根据每 一段函数的解析式 分别求解，但要注意 检验所求自变量的 值是否属于相应段 自变量的范围； II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 I 卷】函数 sin2 1 cos xy x   的部分图像大致为（） 【命题意图】识别辨 析函数的图象，实质 A． B．C．D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数 sin 2 1 cos xy x   为奇函数，故排除 B；当 x  时， 0y  ， 排除 D；当 1x  时， sin 2 01 cos2y   ，排除 A．故选 C． 【例 2】【2017 高考新课标 III 卷】函数 2 sin1 xy x x    的部分图像大致为（） A B C D 【答案】D 【解析】当 1x  时，  1 1 1 sin1 2 sin1 2f       ，故排除 A，C，当 x   时， 1y x  ，故排除 B，满足条件的只有 D，故选 D． 【例 3】【2017 高考山东卷】已知当  0 ,1x 时，函数  21y mx  的图象与 y x m  的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（） A．  0 ,1 2 3 ,  B．   0 ,1 3,  C． 0 , 2 2 3 ,     D．  0 , 2 3,    【答案】B 【解析】当 0 1m  时， 1 1m  ，  21y mx  单调递减，且    2 21 1 ,1y mx m      ， y x m  单调递增，且 y x m   ,1m m  ，此时有且仅有一个交点；当 1m  时， 10 1m   ，  21y mx  在 1 ,1m      上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 就是分析函数的性 质，主要观察以下几 点： ①函数的定义域； ②函数图象的最高 点(最大值)和最低 点(最小值)； ③与坐标轴的交点 （即 ( ) 0f x  或 0x  的点）； ④图象的对称性(函 数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段 上的变化趋势(即函 数的单调性)； ⑥图象的变化规律 (即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹 性． 【考试方向】高考试 题的考查角度有两 种：一种是给出函数 解析式判断函数图 象；一种是函数图象 的应用．图象的判断 以及函数图象的应 用、数形结合的数学 思想方法及利用函 数图象研究函数性  21 1 , 3m m m     ，故选 B． 【例 4】【2017 高考北京卷】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作 情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加 工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零 件数，i=1，2，3． ①记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的是 _________． ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中最 大的是_________． 【答案】 1Q ； 2.p 【解析】 试题分析：作图可得 1 1A B 中点纵坐标比 2 2 3 3,A B A B 中点纵坐标大，所以第一 位选 1Q 分别作 1 2 3, ,B B B 关于原点的对称点 1 2 3, ,B B B  ，比较直线 1 1 2 2 3 3, ,A B A B A B   斜 率，可得 2 2A B 最大，所以选 2.p 质、方程、不等式等 问题仍将是高考的 主要考查内容，备考 时应加强针对性的 训练． 【难点中心】本类试 题主要考查幂、指、 对函数图像与性质、 二次函数函数的图 象与性质、函数与方 程、分段函数的概 念．解答此类问题， 关键在于能利用数 形结合思想，通过对 函数图象的分析，转 化 得 到 代 数 不 等 式．这类题能较好的 考查考生数形结合 思想、转化与化归思 想、基本运算求解能 力等．这类题目一般 比较灵活，对解题能 力要求较高，故也是 高考中的难点，解决 这类问题的方法一 般是利用间接法，即 由函数性质排除不 符合条件的选项． （1）运用函数性质 研究函数图像时，先 要正确理解和把握 函数相关性质本身 的含义及其应用方 向； （2）在运用函数性 质特别是奇偶性、周 期、对称性、单调性、 最值、零点时，要注 意用好其与条件的 相互关系，结合特征 进 行 等 价 转 化 研 究．如奇偶性可实现 自变量正负转化，周 期可实现自变量大 小转化，单调性可实 现去“ f ”，即将函 数值的大小转化自 变量大小关系 III．理论基础·解题原理 考点一由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象 此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点： ①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)； ③与坐标轴的交点（即 ( ) 0f x  或 0x  的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹性． 解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是 通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；② 定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联 想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 考点二利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 ( ) 0f x  的根就是函数 ( )f x 图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 ( ) ( )f x g x 的根就是函数 ( )f x 与 ( )g x 图象交点的横坐标． 考点三、函数图象变换 设函数  y f x ，其它参数均为正数 （1）平移变换：  f x a ：  f x 的图像向左平移 a 个单位；  f x a ：  f x 的图像向右平移 a 个单位  f x b ：  f x 的图像向上平移 a 个单位；  f x b ：  f x 的图像向下平移 a 个单位 （2）对称变换：  f x ：与  f x 的图像关于 y 轴对称；  f x ：与  f x 的图像关于 x 轴对称  f x  ：与  f x 的图像关于原点对称 （3）伸缩变换：  f kx ：  f x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 11 0 1 k k k     ： 收缩 ：拉伸  kf x ：  f x 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 1 0 1 kk k     ： 拉伸倍 ：收缩 （4）翻折变换：  f x ：       , 0 , 0 f x x f x f x x     即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于 y 轴对称的图像  f x ：           , 0 , 0 f x f x f x f x f x    即 x 轴上方的图像不变，下方的图像沿 x 轴对称的翻上去。 考点四二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有 3 种情况， 若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢 （3）与导数的关系：设  'f x 的导函数为  ''f x （即  f x 的二阶导函数），如图所示：增长速度受每 一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随 x 的增大而增大，即  'f x 为增函数  '' 0f x  ； 上凸函数随 x 的增大而减小，即  'f x 为减函数  '' 0f x  ； IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象 的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等 问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练． 【技能方法】 在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的 性质即可进行排除，常见的区分要素如下： （1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于 x 轴上方的区域表示原函数的单调增 区间，位于 x 轴下方的区域表示原函数的单调减区间 （2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点 （4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察 （5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间 为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 【易错指导】 1。利用图像变换作图的步骤： （1）寻找到模板函数  f x （以此函数作为基础进行图像变换） （2）找到所求函数与  f x 的联系 （3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。 例如：作图：  ln 1y x  第一步寻找模板函数为：   lnf x x 第二步寻找联系：可得  1y f x  第三步制定策略：由  1f x  特点可得：先将  f x 图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方图像向上进 行翻折，然后按照方案作图即可 2。如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如：  3 1y f x  ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤   2y f x   ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换 （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时 注意以下原则： ①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ②横坐标的多次变换中，每次变换只有 x 发生相应变化 例如：    2 1y f x y f x    可有两种方案 方案一：先平移（向左平移 1 个单位），此时    1f x f x  。再放缩（横坐标变为原来的 1 2 ），此时 系数 2 只是添给 x ，即    1 2 1f x f x   方案二：先放缩（横坐标变为原来的 1 2 ），此时    2f x f x ，再平移时，若平移 a 个单位，则       2 2 2 2f x f x a f x a    （只对 x 加 a ），可解得 1 2a  ，故向左平移 1 2 个单位 ③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：    2 1y f x y f x    有两种方案 方案一：先放缩：    2y f x y f x   ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1，即     2 2 1y f x y f x    方案二：先平移：     1y f x y f x    ，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 a 倍，那么     1 1y f x y a f x     ，无论 a 取何值，也无法达到  2 1y f x  ，所以需要对前一步进行 调整：平移 1 2 个单位，再进行放缩即可（ 2a  ） 3、变换作图的技巧： （1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。 先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性 （2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与 y 轴的交点等 V．举一反三·触类旁通 考向 1 由式定图 【例 1】【2018 江西省级联考】函数 的图象大致为（） ABCD 【答案】A 【例 2】【2018 广西柳州上学期摸底测试】函数    1 cos sinf x x x  在 ,  上的图象的大致形状是 （） ABCD 【答案】A 【解析】          1+cos sin 1 cos sinf x x x x x f x           ，  f x 为奇函数，故图象关 于原点对称，故排除 C，当 2x  时， 12f      ，故排除 D，当 4x  时， 2 2 2+ 21+ 14 2 2 2f         （ ） ，故排除 B，故选 A 【例 3】【2018】函数 sin cosy x x x  的图像大致为（） ABCD 【答案】D 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及 数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、 考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、特殊点以及 0 , 0 , ,x x x x       时函数图象的变化趋势，利用排除法， 将不合题意选项一一排除． 【例 4】【2018 广西模拟】定义运算 a  b   { ( ) a a b b a b   ，则函数   1f x   2x 的图象是（） ABCD 【答案】A 【解析】   1f x   2 02 { 1, 0 x x x x   ， ，故选 A。 【跟踪练习】 1．【2018 河南豫南九校第二次质量检测】函数   2log xf x x  的大致图象是（） ABCD 【答案】C 【解析】     2 2 2 log 0log log 0 x xx xf x xx xx       ， ， ， ，  f x 为奇函数，排除 B；在 0  , 上，当 0 1x  时，   0f x  ，排除 A； x   时，   0f x  ，排除 D，故选 C 2．【2018 广东珠海一中等六校第一次联考】函数 2lnx xy x  的图象大致是（） ABCD 【答案】D 3．【2018 广西桂林模拟】函数 的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件知 ，函数为奇函数，有定义域得 ，排除 C；当 趋向于 时， 趋 向于 ．当 趋向于 时， 趋向于 ．排除Ｄ；当 趋向于 时， 趋向于 ．故答案为 B． 4．【2018 河南郑州一中上学期入学考试】设曲线   2 1cosf x m x  （ m R ）上任一点  ,x y 处切线 斜率为  g x ，则函数  2y x g x 的部分图象要以为（） A． B． C． D． 【答案】D 考向 2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合 【例 5】【2018 吉林长春一模】已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上所有零点之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，作图如下： 四个交点分别关于 对称，所以零点之和为 ，选 D． 【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函 数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例 6】【2018 河南郑州一中上学期入学考试】设函数   2 2 1 2 2, 0{ 2 log , 0 x x xf x x x     ，若关于 x 的方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则 1 2 2 4 3 4 1x x x x x   的取值范围是（） A． 3,  B． ,3 C． 3,3 D． 3,3 【答案】D 【名师点睛】在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用 数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 4x 的取值范围． 【例 7】【2017 福建师大附中模拟】已知定义在 R 上的奇函数  f x 的导函数为  'f x ，当 0x  时，  f x 满足      2 'f x xf x xf x  ，则  f x 在 R 上的零点个数为（） A．5 B．3 C．1 或 3 D．1 【答案】D 【解析】构造函数  2 0x x f xF x xe （ ） （ ＜ ）所以              2 2 2 2 '2 '' x x x xx x f x xf x xf xxf x e x f x e x f x eF x ee       （ ） 因为 2 ' 0f x xf x xf x x（ ） （ ）＜ （ ）， ＜ ，所以 ' 0F x（ ）＞ ， 所以函数 F x（ ）在 0x＜ 时是增函数， 又 0 0F （ ） 所以当 x 0 0 0F x F ＜ ，（ ）＜（ ） 成立， 因为对任意 2 0 0x xx e ＜ ， ＞ ，所以 0f x（ ）＜ ， 由于 f x（ ）是奇函数，所以 x＞0 时 0f x（ ）＞ ，即 0f x （ ） 只有一个根就是 0． 故选 D． 【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键． 【例 8】【2017 云南昆明第二次统测】已知关于 x 的方程 1 2 a xx  有三个不同的实数解，则实数 a 的 取值范围是（） A． ,0 B． 0,1 C． 1, D． 0, 【答案】C 【例 9】【2016 高考山东理数】已知函数 2 | |,( ) 2 4 , x x mf x x mx m x m      其中 0m  ，若存在实数 b，使得关 于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________． 【答案】 3, 【解析】画出函数图象如下图所示： 由 图 所 示 ， 要  f x b 有 三 个 不 同 的 根 ， 需 要 红 色 部 分 图 像 在 深 蓝 色 图 像 的 下 方 ， 即 2 2 4m m m m m    ， 2 3 0m m  ，解得 3m  。 【例 10】【2016 广东广州一模，理 16】已知函数   2 1 1 , 1, 4 2, 1 x x f x x x x         ， 则函数    2 2xg x f x  的零点个数为个． 【答案】 2 【 例 11 】【 2016 年 南 昌 模 拟 】 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 ， 当  0,3x 时 ， 2 1( ) 2 2f x x x   ，若函数 ( )y f x a  在区间 3,4 上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值 范围是． 【答案】 1(0, )2 【例 12】已知函数 ( ) 2 3f x x x= + ， x RÎ ．若方程 ( ) 1 0f x a x- - = 恰有 4 个互异的实数根，则 实数 a 的取值范围为__________． 【答案】   0,1 9, ． 【解析】 方法一：在同一坐标系中画 ( ) 2 3f x x x= + 和 ( ) 1g x a x= - 的图象（如 图），问题转化为 ( )f x 与 ( )g x 图象恰有四个交点．当 ( )1y a x= - 与 2 3y x x= + （或 ( )1y a x= - - 与 2 3y x x=- - ）相切时， ( )f x 与 ( )g x 图象恰有三个交点．把 ( )1y a x= - 代入 2 3y x x= + ，得 ( )2 3 1x x a x+ = - ，即 ( )2 3 0x a x a+ - + = ，由 0D = ，得( )23 4 0a a- - = ，解得 1a = 或 9a = ．又 当 0a = 时， ( )f x 与 ( )g x 仅两个交点， 0 1a   或 9a  ． 方 法 二 ： 显 然 1a ¹ ， 所 以 2 3 1 x xa x += - ． 令 1t x= - ， 则 4 5a t t= + + ． 因 为 ( ] [ ), ,4 4 4t t Î -¥ - ¥+ + ，所以 ( ] [ )4 5 ,1 9,t t+ + + ．结合图象可得 0 1a< < 或 9a > ． 【例 13】设函数 f(x)＝|1－1 x|(x>0)． （1）作出函数 f(x)的图象； （2）当 04}． (5) {m|00 的解集为：{x|04}． (5)由图象可知若 y＝f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交点，则 0

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