【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的正交分解与坐标表示学案

【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的正交分解与坐标表示学案

‎2.3.1 平面向量基本定理 ‎2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示 ‎【教 目标】‎ ‎ 1.知识与技能 ‎ (1) ‎.了解平面向量的基本定理及其意义；‎ (2) ‎.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 表示;‎ (3) ‎.掌握平面向量正交分解。‎ ‎ 2.过程与方法 ‎ (1) ‎.初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；‎ (2) ‎.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底 表达。‎ ‎ 3.情感态度价值观 ‎ 通过平面向量的正交分解，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。‎ ‎【教法指导】‎ ‎1．教 重点 平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解；‎ ‎2．教 难点 平面向量基本定理的运用.‎ ‎【教 过程】‎ ‎☆情境引入☆‎ ‎1．在物理 中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中 ,会产生什么样的结论呢？‎ ‎2.问题 如图，设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.‎ ‎☆探索新知☆‎ ‎1.给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.由1.可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、 表示向量,那么 ‎ 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢? ‎ ‎ 都可以 ‎3.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。‎ ‎ 我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ 注意 1° 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；‎ ‎ 2° 这个定理也叫共面向量定理；‎ ‎ 3° λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。‎ 4. 思考 (1).若，取何值？ ‎ ‎ ‎ ‎(2).平面内用 表示一个向量的基底有多少组？‎ ‎ 有无数组 ‎(3).若基底选取不同，则表示同一向量的实数是否相同？‎ ‎ 可以相同,也可以不同 ‎5.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？‎ ‎ 平面中的任意两个向量之间都存在夹角。向量的夹角与直线的夹角不一样。‎ ‎ 已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. ‎ 注意 （1）.两向量必须是同起点的。 ] ‎ ‎（2）.当θ=0°时, 与同向;当θ=180°时, 与反向.夹角范围 [00,1800]。‎ ‎（3）..‎ 6. 思考 （1）.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量 表示？‎ ‎ 可以 ‎ (2).把任意一个向量用两个互相垂直的向量 表示会给解决问题带 哪些方便?‎ ‎ 可以与平面直角坐标系、坐标练习起 。‎ ‎7.平面向量的正交分解定义 ‎ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解 ‎8.平面向量的坐标表示 ‎ 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（i，j），叫做向量a的坐标．记作a＝（i，j），此式叫做向量的坐标表示．‎ 说明 以原点O为起点作，设，则向量的坐标（x,y）就是向量终点A的坐标。‎ ‎【例题讲解】‎ 例1．已知向量、 (如图),求作向量-2.5+3.[ 。 。 。X。X。 ]‎ ‎ ‎ ‎★思路点拔 ‎ 1． 怎样作向量-2.5、3？‎ ‎ 2．向量加法应用什么法则？‎ O N A BM CM ‎★解答过程 ‎ 解 作法 1° 取点O，作=-2.5 =3 ‎ ‎ 2° 作 OACB，即为所求[ ]‎ 例2．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标 ‎★思路点拔 ‎ ‎ 向量a,b,c,d用基底向量i , j怎么表示?‎ ‎★解答过程 ‎ ‎【解析】 由图可知,a=+=xi+yj,‎ ‎∴a=(2,3).‎ 同理,b=-2i+3j=(-2,3);‎ c=-2i-3j=(-2,-3);‎ d=2i-3j=(2,-3).[ * * *X*X* ]‎ ‎ 【课堂练习】‎ ‎（ ）‎ ‎ ‎ ‎★解答过程 ‎ ‎[ 。 。 ]‎ ‎2. 设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.[ | | ]‎ ‎★解答过程 ‎ ‎【解析】　因为a＝e1＋2e2　①，b＝－e1＋e2　②‎ 显然a与b不共线 ‎①＋②得a＋b＝3e2 所以e2＝代入②得 e1＝e2－b＝－b＝a－b 故有e1＋e2＝a－b＋＋＝a－b。 ！ ‎ ‎☆课堂提高☆ ‎ ‎1.下列关于基底的说法正确的是 （ ） ‎ ‎ .平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；‚.基底中向量可以是零向量； ‎ ‎ ƒ.平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解也是唯一确定的。‎ A. B.‚ C.ƒ D.‚ ƒ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】基底必须为不共线的非零向量，所以‚错；根据平面向量基本定理知ƒ对。故选C.‎ ‎2.如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝(　　)‎ A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a＋b ‎【答案】　D ‎3．在等边三角形中，的夹角= 。‎ ‎ 【答案】1200.‎ ‎ 【解析】　 的起点不同，其夹角为角B的补角，等于1200.‎ ‎4．在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，求s＋r的值．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图所示，由题意，得＝4 ，∴＝。‎ 又∵＝－，∴＝(－)＝－.‎ ‎∴r＝s＝.∴s＋r＝. ‎ ‎☆课堂小结☆‎ 1、 平面向量基本定理、两向量的夹角；‎ 2、 对基本定理的理解 ‎(1)基底不唯一，关键是不共线；[ ]‎ ‎(2)实数对的存在性和唯一性。‎ ‎3、向量的坐标的概念；‎ ‎4、应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理。‎ ‎☆课后作业☆‎ ‎1.ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a,b为基底分解向量.‎