2019届二轮复习高频考点之三视图问题学案（全国通用）

2019届二轮复习高频考点之三视图问题学案（全国通用）

考纲要求:‎ ‎1.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎3.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. ‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.‎ ‎2.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：‎ ‎(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°).‎ ‎(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴.‎ ‎(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.‎ ‎(4)在已知图形中过O点作 轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 ′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中仍平行于 ′轴且长度不变.‎ 应用举例:‎ 类型一、三视图及形状的判断 ‎【例1】【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】如图所示，在正方体中，为的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是（ ）| |X|X|K]‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的结构特征，可知点M在平面上的正投影是的中点，再结合点的投影特征，即可得到图象.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的结构特征，属于基础题.‎ 例2.【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法，根据正视图侧视图三角形竖线的位置可排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正视图三角形的竖线在左侧可排除选项，由侧视图三角形的竖线在右侧可排除选项，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ 类型二、三视图及表面积 ‎【例3】【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 所以棱锥P-ABCD的表面积为 ‎ 选C.‎ 点睛:空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【例4】【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试】已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四二分之一圆弧），则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.‎ 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.‎ 类型三、与三视图及体积 ‎【例5】【广东省2019届高三六校第一次联考】某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，‎ ‎ 学 ]‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.‎ ‎【例6】【广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第一次联考】如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】 学 ‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图，得 该几何体是如图所示的直四棱锥；‎ 且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；‎ 所以，该四棱锥的体积为 V=S底面积•h=.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ 方法、规律归纳:‎ ‎（1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”‎ ‎（2）空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．‎ ‎（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎（4）还要注意画直观图时长度的变化．‎ ‎（5）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.‎ 实战演练:‎ ‎1．【上海市浦东新区2018届高三5月综合练习】正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．‎ ‎2．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱 柱挖去一个三棱锥，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎3．【福建省漳州一中2017-2018学年度高一下学期数学期末】某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有(　　)‎ A． 8桶 B． 9桶 C． 10桶 D． 11桶 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形 ‎【详解】‎ 易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。‎ ‎4．【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　‎ A． 1‎ B． 2‎ C． 3‎ D． 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知几何体的形状如图：‎ ‎，，，，BCDE是矩形，，‎ 所以几何体的体积为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．‎ ‎5．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】‎ 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可。‎ ‎【详解】‎ 根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：‎ 所以表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题。‎ ‎6．【四川省宜宾市第四中学2018届高三高考适应性考试】‎ 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，由此可求该几何体的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，该几何体是一个组合体， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．‎ ‎7．【广西壮族自治区南宁市第二中学2018届高三年级6月份考试】某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（　　）‎ A． 8 B． C． 20 D． 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图得到几何体的直观图，然后结合直观图的特征和相关数据求得几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原几何体如下图所示的三棱锥，其中棱与底面垂直，；底面三角形为直角三角形，且两直角边分别为．‎ 所以该四面体的体积是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 以三视图为载体考查几何体的表面积和体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再结合题意求解．‎ ‎8．【四川省成都市双流中学2017-2018学年数学考前模拟】一个几何体三视图如下，则其体积为（ ）‎ A． 12 B． 8 C． 6 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在长方体中还原立体图为三棱锥。‎ ‎【详解】‎ 在长方体中还原立体图为三棱锥如下图所示，由此解得体积为4，故选D ‎【点睛】‎ 由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长方体为模型，还原三视图。长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求解很方便。‎ ‎9．【河北省石家庄市2017届高三12月联考】如图， 格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A． 三棱锥 B． 三棱柱 C． 四棱锥 D． 四棱柱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出几何体的图形即可得到选项．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎10．【广东省深圳市2018届高考模拟测试二】一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，代入球的表面积公式可得答案．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.‎ ‎11．【湖南省长沙市周南中学2018届高三第三次模拟考试】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积．参考公式：其中分别表示上、下底面的面积，为高)‎ ‎ ‎ A． 2 寸 B． 3 寸 C． 4 寸 D． 5 寸 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由梯形中位线定理求得盆中水的上底面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.‎ 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎12．【广东省广州市仲元中学2018届高三七校联合体考前冲刺交流考试】如图，画出的是某四棱锥的三视图， 格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A． 15 B． 16‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 由题得几何体原图是下图中的四棱锥A-BCDE,‎ 底面四边形BCDE的面积为 学 ‎ 所以四棱锥的体积为.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三视图还原几何体原图，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找原图常用的方法有直接法和模型法，本题使用的是模型法.‎ ‎13．【广东省东莞市2018年全国卷考前冲刺演练精品卷】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球直径为（ ）‎ A． 12 B． 13 C． 18 D． 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体，再通过补形法确定外接球球心，解得外接球直径.‎ ‎【点睛】‎ 若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎14．【宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第四次模拟考试】‎ 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D 学 ]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体（正方体截去一个角），再根据柱与锥体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 几何体为边长为2的正方体截去一个三棱锥，三棱锥高为1，底面为腰长为2的等腰三角形，所以体积为 ，选D.‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎15．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三下学期考前押题卷（一）】如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，利用体积公式计算即可.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图还原直观图，正方体与三棱锥的三视图以及体积计算问题，考查空间想象能力和计算能力，三视图正确还原几何体是解题关键.‎